Ratsional va irratsional sonlar, haqiqiy sonlar, sonning absalyut qiymati va uning xossalari

TAQRIBIY FORMULALAR
Taqribiy formulalar - hisoblashlarni muayyan aniqlikda bajarishga imkon beruvchi formulalar. Aniq qiymatlarni hisoblash mumkin boʻlmagan yoki murakkab boʻlgan hollarda hamda nazariy tadqiqotlarda qoʻllanadi. Mac., n!ql23...n (faktorial) ni hisoblash uchun Stirling formulasi, anik, integralni hisoblash uchun Simpson formulasi va h.k. Odatda, Taqribiy formulalar hisoblashni istalgan aniklikda topishga imkon beradi, lekin mat.da ancha dagʻal Taqribiy formulalarlar ham qoʻllanadi. Taqribiy formulalarlar kompyuterlar yordamida hisoblashlar uchun asosiy vositadir.
Haqiqiy o‘zgaruvchili uzluksiz f(x) funksiya berilgan bo‘lsin.
f(x)=0 (1)
tenglamaning ildizlari yoki y =f(x) funksiyaning nollarini topish talab qilingan bo‘lsin. Algebraik ko‘pxadlar holida tenglamaning, ildizlari kompleks bo‘lishini bilamiz. SHuning uchun masalani yana ham aniqroq qo‘yish lozim. (1) - tenglamaning kompleks tekislikning biror-bir sohasidagi ildizlarini toping degan masala qo‘yish, yana ham aniqrok bo‘ladi. Masalani echish ikki bosqichdan iboratdir. Birinchi bosqichda ildizlarning joylashish sohasi aniqlanadi va ular ajratiladi, ya’ni har birida birta ildizni o‘z ichida saqlovchi sohalar aniqlanadi. Bundan tashqari yana karrali ildizlar va ularning karrali soni aniqlanadi. SHuning bilan birga ildizlarga biror-bir boshlag‘ich yaqinlashish topiladi. Ikkinchi bosqichda boshlang‘ich berilganlardan foydalanib qidirilayotgan ildizni aniqlashtiruvchi iteratsion jarayon tanlanib uning yordamida ildizga etarlicha yaqin son topiladi.
Ixtiyoriy tenglamaning ildizlari joylashgan sohani aniqlaydigan biror - bir yaxshi metod yo‘q.
Algebraik tenglamalar ildizlarining joylashishini aniqlovchi usullar ancha yaxshi o‘rganilgan va bu metodlarning bir qanchasi algebra kursidan sizga ma’lum.
CHiziqlimas tenglamalarni echish metodlari asosan iteratsion bo‘lib, ular qidirilayotgan echimga (ildizga) etarlicha yaqin bo‘lgan boshlang‘ich berilganning ma’lumligini (berilishini) talab qiladilar.
Iteratsion metodlarni o‘rganishga o‘tishdan odin (1)-tenglama ildizlarini ajratishning ikkita sodda metodi bilan tanishamiz.
Birinchi metod: f(x) funksiyaning xk[a,b], k=0,1,…,n, nuqtalardagi f(xk) qiymatlari topiladi. Agar k-ning biror-bir qiymatida f(xk)f(xk+1)<0 bo‘lsa, unda tenglamaning (xk,xk+1) intervalda tenglamaning eng kamida birta ildizi mavjudligi ma’lum bo‘ladi. Undan so‘ng bu oraliq yana ham kichikroq bo‘laklarga ajratilib ildizlarning joylashishlari aniqlashtiriladi.
Haqiqiy ildizlarni ajratishning ancha sodda usullaridan biri biseksiya metodidir. Faraz qilamiz [a,b] oraliqda birta x* ildiz joylashgan bo‘lsin. f(a)>0 , f(b)<0 bo‘lsin. deb, f(x0) - ni hisoblaymiz. Agar f(x0)<0 bo‘lsa, ildiz (a,x0), oraliqda agar f(x0)>0 bo‘lsa ildiz (x0,b) da joylashgan bo‘ladi. Bundan so‘ng ikki intervaldan f(x) chegaralarida turli ishorali qiymatlarni qabul qiladigan intervalni qaraymiz. Bu interval o‘rtasi x1 - ni topamiz. f(x1) - ni hisoblab yuqoridagi jarayonni takrorlaymiz. Natijada o‘zlarida x* ildizni saqlovchi, uzunliklari har gal ikki barobar qisqaradigan intervallarni hosil qilamiz. Jarayon intervalning uzunligi >0 dan kichik bo‘lgandan so‘ng to‘xtatiladi va x* ildizning taqribiy qiymati qilib shu oxirgi intervalning o‘rtasi olinadi. Agar (a,b) intervalda bir qancha ildiz bo‘lsa, ularning qaysisiga yaqinlashishini bilmaymiz.
Agar x* ildiz m- karrali bo‘lsa va topilgan bo‘lsa unda boshqa ildizni topish

funksiya uchun qaytariladi.

ASOSIY QISM: 1)Oddiy iteratsiya metodi.
Bu metod (1)- tenglamani ekvivalent bo‘lgan
x=S(x) (2)
tenglamaga almashtirilib iteratsiyalar
xk+1=S(xk), k=0,1,… (3)
qoida bilan tashkil qilinadilar. Bunda x0 boshlang‘ich yaqinlashish beriladi. Iteratsion ketma-ketlikning yaqinlashishi uchun S(x) funksiya katta rol o‘ynaydi. Bu funksiyani turli usullar bilan aniqlash mumkin.
Odatda bu funksiya
S(x)=x+(x)f(x) (4)
ko‘rinishda aniqlanadi, bunda (x) ildiz qidirilayotgan sohada o‘z ishorasini o‘zgartirmaydigan funksiya. Bu metodning bo‘lganda yaqinlashishni keyinroq ko‘rsatamiz. Xususiy holda (x)==const bo‘lganda
(5)
relaksatsiya metodi deb aytiladi.
Optimal  parametrni tanlash uchun relaksatsiya tenglamasida
zk = xk - x*
almashirish bajarib
= f(x*+zk)
xatolik tenglamasini hosil qilamiz.
O‘rta qiymat haqidagi teoremaga asosan
f (x*+zk) = f (x*) + zkf (x*+zk) = zkf (x*+zk)
tenglikka ega bo‘lamiz. Bu erda (0,1). SHunday qilib relaksatsiya metodining xatoligi uchun
= f(x*+zk)zk
tenglikka ega bo‘lamiz.
Bundan

tengsizlik hosil bo‘ladi.

Agar ildizning biror bir atrofida
(6)
munosabatlar bajarilsa

tengsizlikka ega bo‘lamiz.

SHunday qilib optimal parametrni aniqlash

funksiyaning  bo‘yicha minimumini topishga olib kelindi. q() funksiyaning grafigidan uning minim

Faraz qilamiz boshlang‘ich yaqinlashish x0 ma’lum bo‘lsin. f(x) funksiyani Teylor qatorining kesmasi bilan almashtiramiz.
f(x) H1(x) = f(x0) +f (x0)(x-x0)
va keyingi yaqinlashish sifatida H1(x) = 0 tenglama ildizini olamiz, ya’ni

qilib olamiz.

Umuman, agar xk yaqinlashish ma’lum bo‘lsa, Nyuton metodi bo‘yicha xk+1 yaqinlashishi
(7)
kabi aniqlanadi.
Nyuton metodi, boshqacha yana urinmalar metodi ham deb aytiladi, chunki xk+1 nuqta f(x) funksiya grafigining (xk,f(xk)) nuqtasida o‘tkazilgan urinmaning abssissa o‘qi bilan kesishgan nuqtasining abssissasidir. Bu metodning yaqinlashishi keyinroq ko‘rsatiladi. Hozir bu metodning o‘ziga xos xususiyatlarini bayon etamiz.
Birinchidan metod kvadratik yaqinlashishga ega, ya’ni keyingi qadamdagi yaqilashish xatoligi oldingi qadamdagi xatolikning kvadratiga proporsional:
xk+1 - x* = O((xk - x*)2).
Ikkinchidan metodning bunday yaqinlashishiga, boshlang‘ich yaqinlashishning ildizga etarlicha yaqin bo‘lgandagina kafolat bersa bo‘ladi. Agar boshlang‘ich yaqinlashish noqulay tanlangan bo‘lsa, metod yo sekin yaqinlashadi, yo umuman yaqinlashmasligi mumkin.