Raxmanova gulnoza annakulovna

Ta’rif. n ta elementli ( a_1,a_2,…… a_n) to‘plam berilgan bo‘lsin. Shu to‘plamning ixtiyoriy k ta turli elementidan hosil qilingan tartiblangan (a_i1,a_i2,…… a_in)a ketma-ketlik n ta elementdan k tadan takrorsiz o‘rinlashtirish deb ataladi.
Bunday oʻrinlashtirishlar soni A deb belgilanadi. Bu sonni topish uchun xuddi oldingi masaladagidek ish tutamiz. Birinchi elementni tanlash uchun n ta usul, ikkinchi elementni tanlash uchun n−1 ta usul, uchinchi elementni tanlash uchun (n−2) ta usul va h.k., oxirgi, k- elementni tanlash uchun (n−k+1) ta usul mavjud. Demak,
12-masala. Barcha raqamlari turlicha boʻlgan еtti raqamli telefon nomerlari nechta? Birinchi raqamni tanlash uchun 10 ta usul (0 ham kiradi deb faraz qilamiz), ikkinchi raqamni tanlash uchun 9 ta usul, uchinchi raqamni tanlash uchun 8 ta usul va h.k., oxirgi raqamni tanlash uchun 4 ta usul mavjud.
Demak, 10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4 ta telefon nomer. ▲
13-misol. A alifbo n ta belgidan tashkil topgan bo‘lsin. Uzunligi k ga teng bo‘l-gan hamda turli belgilardan tashkil topgan so‘zlar (ya’ni uzunligi k ga teng bo‘l-gan ketma-ketliklar) soni bo‘ladi. Bu natija yuqoridagi mulohaza-lardan kelib chiqadi. Izoh. Agarda har bir so‘zni tashkil etgan belgilar orasida 31 takrorlanadiganlari bor bo‘lsa, bunday so‘zlar soni n ta elementdan r tadan takror-li o‘rinlashtirishlar soni deb ataladi va kabi belgilanadi.Ko‘paytirish qoidasiga ko‘ra bu miqdor formula yordamida topiladi.
Kombinatorika elementlarining o‘rinlashtirishlar, o‘rin almashtirishlar va guruxlashlar soni kabi bir nechta tushunchalari mavjud bo‘lib yuqorida o‘rin almashtirishlarga misol keltirdik. Endi quyida barcha tushunchalarni misollar yordamida tushuntirishga harakat qilamiz.
Masalan: А = {1, 2, 3} vа B{a, b}
to‘plаmlаr elеmеntlаridаn shundаy juftliklаr tuzаylikki, ulаrdаgi[1]
birinchi o‘rindа А ning tаrtib bilаn оlingаn elеmеnti, ikkinchi o‘rindа B ning tаrtib bo‘yichа оlingаn elеmеnti yozilаdigаn bo‘lsin. Hоsil bo‘lаdigаn juftliklаr to‘plаmini А´B оrqаli bеlgilаsаk,
А´B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}.
Аgаr birinchi o‘ringа B elеmеntlаri qo‘yilаdigаn bo‘lsа, yozilish tаrtibi bilаn оldingisidаn fаrq qilаdigаn
B´A = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}
to‘plаm hоsil bo‘lаdi. (1, a), (1, b), ... juftliklаr (ikkitаliklаr) tаrkibidаgi elеmеntlаr
shu juftlikning kоmpоnеntаlаri yoki kооrdinаtаlаri dеyilаdi (lоtinchа componentis – tаshkil etuvchi).
Shu kаbi bеrilgаn А, B, C to‘plаmlаr elеmеntlаridаn tаrtiblаngаn uchtаliklаr, umumаn, k tа to‘plаm elеmеntlаridаn tаrtiblаngаn k tаliklаr to‘plаmi tuzilаdi. k tа hаr хil elеmеntli to‘plаm uzunligi n = k gа tеng dеyilаdi. Маsаlаn, (1, 9, 25) vа ( 1, 81, 625 ) uchliklаr tеng vа bir хil uzunlikdа (n = 3),
kоmpоnеntаlаri: 1 = 1, 9 = 81, 25 = 625 . Lеkin (a, b, c) vа (c, a, b) uchliklаrning uzunliklаri vа kооrdinаtаlаri bir хil bo‘lsаdа, lеkin ulаr tеng emаs, chunki kооrdinаtаlаr turli tаrtibdа
jоylаshgаn. (1, 2, 3) vа (1, 2, 3, 4) lаr uzunligi hаr хil, dеmаk o‘zlаri hаm tеng emаs. k tаlikdа kоmpоnеntаlаr to‘plаmlаrdаn vа bоshqа nаrsаlаrdаn ibоrаt bo‘lishi hаm mumkin. Shungа ko‘rа ({а, b}, c) vа ({b, a}, c) ikkitаliklаr tеng, chunki {a, b} vа {b, a} bittа to‘plаm. Lеkin ((а, b), c) vа ((b, a), c) ikkitаliklаr tеng emаs, chunki (a, b) juftlik (b, a) juftlikkа tеng emаs. (a, b, c), ((a, b), c), (a, (b, c)) lаr hаm hаr хil: birinchisi uchtаlik, ikkinchi vа uchinchisi hаr хil ikkitаliklаr
Birоrtа hаm kоmpоnеntаgа egа bo‘lmаgаn (ya’ni 0 uzunlikdаgi) k tаlik bo‘sh k tаlik dеyilаdi. Тo‘plаmdа elеmеntlаrning tаrtibi rоl o‘ynаmаydi, k tаlikdа rоl o‘ynаydi, to‘plаmdа elеmеntlаr tаkrоrlаnmаsligi
kеrаk, k tаlikdа kооrdinаtаlаr tаkrоrlаnishi mumkin.
1 –misоl. А = {1, 2}, B = {a, b, c} to‘plаmlаrdаn quyidаgi ikkitаliklаr to‘plаmlаrini tuzish mumkin:
{(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)},
{(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)},
{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.
2 –misоl. 1) 40 хil bоlt vа 13 хil gаykаdаn bittаdаn оlinib nеchа хil juftlik tuzish mumkin?
2) 1 dаn 150 gаchа nаturаl sоnlаr оrаsidа 2, 5, 7 sоnlаridаn hеch birigа bo‘linmаydigаni qаnchа?
3) 1, 2, ..., 9 rаqаmlаridаn nеchtа uch хоnаli nоmеrlаr tuzish mumkin?
Bu tur mаsаlаlаr fаn, tехnikа vа ishlаb chiqаrishdа ko‘plаb uchrаydi. Ulаr bilаn mаtеmаtikаning sоhаlаridаn biri – kоmbinаtоrikа shug‘ullаnаdi. Endi yuqoridagi kabi tabiiy savol paydo bo‘ladi shu va shunga o‘xshagan misollarni 3- yoki 4- sinf o‘quvchilariga qanday tushuntirish mumkin?
Hammamizga ma’lumki kombinatorika elementlaridan guruhlash, guruh alamashtirish va o’rinlashtirishlar soni mos ravishta formulalar yordamida hisoblanadi va bu formulalar o’z o’rni bilan umumiy o’rta ta’lim maktabining katta sinflariga bir qismi o’rgatiladi. Lekin boshlang’ich ta’limda qanday o’rgatish mumkin? Savoliga javob beradigan bo’lsak [28,29,30]:
Buning uchun mavzuning hayotiy tadbiqlariga mos bo‘lgan masala va misollardan foydalanishimiz mumkin. Masalan 4 do‘stlar o‘zaro qo‘l berib salomlashishdi jami salamlashishlar soni nechta bo‘ladi? To‘rtta raqamdan nechta ikki xonali turli sonlar tuzish mumkin? Kodlash mumkin bo‘lgan qulflarga nechta usul bilan uchta raqamdan iborat kodlar tuzish mumkin ?..... kabi misollar yordamida tushuntirishimiz mumkin.
Masalalarni, variantlarni sanab, еching (1–4):
1. Voris, Doniyor, Olim, Kamola va Anora sinfda matematikani eng yaxshi biladigan oʻquvchilardir. Bir nafar oʻgʻil bola va bir nafar qiz bolani “Bilimlar bellashuvi”ga qatnashish uchun tanlash kerak. Buni nechta usulda amalga oshirsa boʻladi?
VK, VA, DK, DA, Ok, OA demak 6 ta usulda.
2. Oshxonada birinchi taom sifatida karam shoʻrvani, qaynatma shoʻrvani, no‘xat shoʻrvani, ikkinchi taom sifatida garnirli goʻsht, baliq, tovuqni, uchinchisiga esa choy va sharbatni buyurish mumkin. Birinchi, ikkinchi va uchinchi taomdan iborat tushlikni nechta usulda buyurish mumkin?
1-taom: karam shoʻrva, qaynatma shoʻrva,no‘xat shoʻrva ;
2-taom: garnirli goʻsht, baliq, tovuq ;
3-taom: choy, sharbat KGCh, KGSh; KBCh, KBSh, KTCh, KTSh, QGCh, QGSh, QBCh, QBSh, QTCh, QTSh, NGCh, NGSh, NBCh, NBSh, NTCh, NTSh. Jami: 18 xil usulda.
3. Gullola, Sanobar, Karim, Olim, Madina va Voris a’lo baholarga oʻqiydi. Maktab ma’muriyati a’lochilar uchun sovgʻa tarzida konsertga 4 ta chipta olib keldi. Shu chiptalalar a’lochilar oʻrtasida necha usulda taqsimlanishi mumkin? Gullola-1, Sanobar-2, Karim-3, Olim-4, Madina-5 va Voris-6 deb olaylik.
Barcha usullarni yozamiz: 1234, 1235, 1236, 1245, 1246, 1256, 1345, 1346, 1356, 1456, 2345, 2346, 2356, 2456, 3456.
Jami:15 usulda.
4. 3 ta oq, 2 ta qizil va 4 ta sariq atirgul bor. Uchta guldan iborat guldastani necha usulda tuzish mumkin?
3 ta oq atirgulni 1,2,3; 2 ta qizil atirgulni 4,5; 4 ta sariq atirgulni 6,7,8,9 deb belgilab olamiz. Dastlab 3 ta oq va 2 ta qizilgullardan guldasta tuzib olamiz va sariq atirgullarni joylaymiz: 146, 147, 148, 149; 156, 157, 158, 159; 246, 247, 248, 249; 256,257,258,259; 346,347,348,349; 356,357,358,359; Jami 24 xil usulda {har bir gulastada oq, qizil va sariq atirgul bo’lish sharti bilan }
Qoʻshish va koʻpaytirish qoidalaridan foydalanib, masalalarni еching (5–10): 5. Kitob javonida matematikadan 9 ta, chet tilidan 4 ta va ona tilidan 6 ta kitob turibdi. Javondan bitta kitobni necha usulda tanlash mumkin? 9+4+6=19
6. Sehrli mamlakatda uchta shahar bor: A, B va C. A shahardan B shaharga 6 ta yoʻl boradi, B shahardan C shaharga esa – 4 ta yoʻl. A shahardan C shaharga necha usulda borsa boʻladi? 6*4=24
7. Do‘konda 7 xil pidjak, 5 xil shim va 4 xil galstuk sotilmoqda. Pidjak, shim va galstukdan iborat uchlikni (to‘plamni) necha usul bilan sotib olsa boʻladi? 7*5*4=140
8. Sehrli mamlakatda toʻrtta shahar bor: A, B, C va D. A shahardan B shaharga 6 ta yoʻl boradi, B shahardan C shaharga esa – 4 ta yoʻl. A shahardan D shaharga 2 ta yoʻl, D shahardan B shaharga ham 2 ta yoʻl boradi. A shahardan C shaharga necha usulda borsa boʻladi? AB=6; BC= 4; 6*4=24 xil usulda borsa bo’ladi. {AD=2 ta; DB=2 ta; BC=4 ta jami: 2*2*4=16 ta va AB+BC=24 ta bilan 16+24=40 usulda.
9. Agar oltita turli rangli mato bor boʻlsa, bir xil kenglikdagi gorizontal yo‘lli uchta rangli bayroqni necha usul bilan tiksa boʻladi?
A₆= =6*5*4=120
{1-gorizantal yo’lga 6 ta matodan bittasi, 2-gorizantal rangga qolgan 5 ta matodan bittasi, 3-gorizantal rangga qolgan 4 ta matodan bittasi jami: 6*5*4=120}
10. “Matbuot tarqatuvchi” do‘konida 5 xil konvert va 4 xil marka sotilmoqda. Konvert bilan markani necha usulda sotib olishimiz mumkin? 5*4=20
11. Shaxmat musobaqasida har bir ishtirokchi boshqa ishtirokchilarning har biri bilan bittadan oʻyin oʻynaydi. Jami 18 ta ishtirokchi boʻlsa, nechta oʻyin oʻynaladi? 18 ∙ (18 − 1) /2 = 153
12. Tekislikda n ta toʻgʻri chiziq shunday chizilganki, bunda hech qanday ikkita to‘g‘ri chiziq parallel emas, hech qanday uchtasi esa bitta nuqtadan oʻtmaydi. To‘g‘ri chiziqlarning kesishishidan hosil boʻlgan uchburchaklar nechta? Uchburchakning 3 ta uchi bo’lganidan 𝐶_n ³ = 𝑛! / 3!∗(𝑛−3!)
13. 7 ta turli rangli boʻyoqdan 4 tasini necha usulda tanlashimiz mumkin?
𝐶₇ ⁴ = 7!/ 4! ∗ (7 − 4!) = 7! /4! ∗ 3! = (5 ∗ 6 ∗ 7) /(1 ∗ 2 ∗ 3 )= 35 𝑡𝑎
14. Bir toʻgʻri chiziqda 10 ta nuqta, unga parallel boʻlgan boshqa toʻgʻri chiziqda esa 11 ta nuqta belgilangan. Uchlari bu nuqtalarda boʻlgan nechta a) uchburchak; b) toʻrtburchaklar mavjud?
a) 10 𝑡𝑎 𝑛𝑢𝑞𝑡𝑎𝑑𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑠𝑡𝑙𝑎𝑏 1 𝑡𝑎𝑠𝑖𝑛𝑖 𝑣𝑎 11 𝑡𝑎 𝑛𝑢𝑞𝑡𝑎𝑑𝑎𝑛 2 𝑡𝑎𝑠𝑖 𝐶₁₀¹ ∗ 𝐶₁₁² ; 10 𝑡𝑎 𝑛𝑢𝑞𝑡𝑎𝑑𝑎𝑛 2 𝑡𝑎𝑠𝑖 𝑣𝑎 11 𝑡𝑎 𝑛𝑢𝑞𝑡𝑎𝑑𝑎𝑛 1 𝑡𝑎𝑠𝑖 𝐶₁₀² ∗ 𝐶₁₁¹ .
𝐽𝑎𝑚𝑖: 𝐶₁₀¹ ∗ 𝐶₁₁²+ 𝐶₁₀² ∗ 𝐶₁₁²
b) 𝐶₁₀² ∗ 𝐶₁₁² {kitobda b javob noto’g’ri bitta to’g’ri chiziqda 3 ta nuqta olinmaydi uchburchak hosil bo’lib qoladi unda}.
15.Ikki kesma kesishsa, u holda ikki uchi a to’g’ri chiziqda, qolgan ikkita uchi b to’g’ri chiziqda bo’lgan to’rtburchaklar hosil bo’ladi.Demak biz a to’g’ri chiziqdan 2 talik va b to’g’ri chiziqdan 2 taliklarni topsak bo’larkan.
𝐶_m² ∗ 𝐶_n²
16. n ta toʻgʻri chiziq eng koʻpi bilan nechta nuqtada kesishishi mumkin?
𝐶𝑛 2 = 𝑛 ∙ (𝑛 − 1)/ 2
17. 100 elementli to‘plamning 40 elementli qism to‘plamlari soni bilan shu to‘plamning 60 elementli qism to‘plamlari sonini solishtiring.
𝐶₁₀₀⁴⁰ = 100! /40! ∗ 60! ; 𝐶₁₀₀⁶⁰= 100! /60! ∗ 40!
𝐷𝑒𝑚𝑎𝑘, 𝐶₁₀₀⁴⁰ = 𝐶₁₀₀⁶⁰
18. Ikkita kub baravar tashlandi. Kublarning yuqori yoqlarida paydo bo‘lishi mumkin bo‘lgan barcha imkoniyatlarni – sonlar juftligini yozib chiqing. {6*6=36}
Javob:2 ta kub yoqlaridagi raqamlarni 1,2,3,4,5,6 raqamlar bilan belgilaymiz.

• 1-1 1-2 1-3 1-4 1-5 1-6

  
  

• 2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6

  
  

• 3-1 3-2 3-3 3-4 3-5 3-6

  
  

• 4-1 4-2 4-3 4-4 4-5 4-6

  
  

• 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6

  
  

• 6-1 6-2 6-3 6-4 6-5 6-6

  
  

19. Tanga 3 marta tashlandi. Bunda qanday imkoniyatlar bo‘lishi mumkin? Ularni yozib chiqing GGG, GGR, GRG, RGG, GRR, RGR, RRG, RRR {2³ = 8 𝑡𝑎}

20. 3, 6, 7, 9 raqamlaridan ularni takrorlamasdan mumkin bo‘lgan barcha 4 xonali sonlarni tuzing. Bu sonlar ichida nechtasi: 1) 4 ga bo‘linadi; 2) 6 raqami bilan boshlanadi; 3) 7 raqami bilan tugaydi; 4) nechta holda toq raqamlar yonma-yon turadi ? 5) 3 ga bo‘linadigan raqamlar yonma-yon turgan hollar nechta ?
Javob:1) 6ta 2) 6ta 3) 6ta 4) 12ta 5) 12ta