Unitar fazolarda chiziqli operatorlar.
L- unitar fazo va chiziqli operatorlar bo`lsin.
T a ` r i f. Agar xar qanday uchun
tenglik bajarilsa, g operator ga ko`shma deb ataladi.
Agar operator uchun qo`shma operator mavjud bo`lsa, u yagona. Xaqiqatan, agar g va h operatorlar ga qo`shma bo`lsa, u xolda (1) bilan birga xar qanday uchun
tenglik xam o`rinli. Bu tengliklardan xar qanday uchun tenglikni olamiz. Xususan, uchun . Bundan xar qanday uchun tenglikni, ya`ni ekanligini olamiz.
Kelajakda operatorga ko`shma bo`lgan operator mavjud bo`lsa, u ko`rinishida belgilanadi.
Qo`shma operatorning asosiy xossalarini keltiramiz:
1. Darxaqiqat
2. Darxaqiqat,
3. Xar qanday uchun Darxaqiqat
4. Darxaqiqat
5. Agar chiziqli operatorning teskarisi mavjud bo`lsa, u xolda operatorning xam teskarisi mavjud va Darxaqiqat chunki . SHunga o`xshash
Teorema. CHekli o`lchamli unitar fazoda xar qanday chiziqli f operator uchun qo`shmasi mavjud.
Agar va lar f va operatorlarning ortonormal bazisdagi matritsalari bo`lsa, u xolda (kelajakda bunday xossaga ega bo`lgan V matritsani A* bilan belgilanadi).
Isbot. A-chiziqli f operatorning ortonormal bazisdagi matritsasi bo`lsin:
Bu bazisda matritsaga ega bo`lgan chiziqli operatorni g orqali belgilaymiz:
Bichiziqli va formalarni olamiz. Xar bir va uchun
tengliklardan , ya`ni barcha uchun tenglikni olamiz. Demak,
CHiziqli operator uchun bo`lsa, u normal deb ataladi. Bu xolda va * operatorlar L da umumiy xos e vektorga ega. Mos xos sonlar o`zaro kompleks qo`shma sonlar. Xaqiqatan, bo`lsa, u xolda bundan
T e o r e m a. CHekli o`lchamli unitar L fazoda chiziqli f operator uchun xos vektorlardan iborat ortonormal bazis mavjud bo`lishi uchun uning normal bo`lishi zarur va kifoya.
Isbot. CHiziqli f operator uchun uning xos vektorlaridan iborat ortonormal bazis va ularga mos xos sonlar bo`lsin. Bu bazisda f ushbu
matritsaga, f* esa ushbu
matritsaga ega. Diagonal A va A* matritsalar o`rin almashish xossasiga ega bo`lgani sababli ya`ni f normal.
Teskari tasdiqni bo`yicha ivduktsiya ishlatib isbotlaymiz. Agar bo`lsa, tasdiqning to`g`riligi ravshan. endi chiziqli f va f*operatorlarning L dagi umumiy xos vektori, va bo`lsin. U xolda bo`lib, fazo f va f* ga nisbatan invariant (bu ni chiziqli forma deb qarab, 42-§ dagi teorema kabi isbotlanadi).
Xaqiqatan, agar bo`lsa, u xolda
va
Induktsiya faraziga muvofiq L1 da f operatorning xos ve’sgorlaridan tuzilgan ortonormal bazis mavjud. U xolda tizim L da f operatorning xos vektorlaridan tuzilgan ortonormal bazisdir.
CHiziqli operator uchun bo`lsa, u o`z-o`ziga qo`shma deb ataladi.
Dostları ilə paylaş: |
