Reja Kirish Asosiy qism. Chiziqli operatorning ta’rifi. Unitar fazolarda chiziqli operatorlar. Evklid fazosidagi chiziqli operatorlar. Xulosa. Foydalanilgan adabiyotlar. Kirish

Teorema. CHekli o`lchamli unitar L fazoda berilgan chiziqli f operatorning musbat bo`lishi uchun uning normal va barcha xos sonlarining musbat bo`lishi zarur va kifoya.
Isbot. CHiziqli f operator musbat bo`lsin: U xolda ya`ni f o`z-o`ziga qo`shma, va demak, normal. Agar bo`lsa, u xolda Bundan

Aksincha f normal va barcha xos sonlari musbat bo`lsin. U xolda biror ortonormal bazisda uning matritsasi quyidagi ko`rinishga ega:

SHunday qilib bu erda g-matritsasi B bo`lgan chiziqli operator.
Isbotlash davomida xar qanday musbat operator biror musbat operatorning k’adratiga teng ekanligini xam ko`rsatdik.
Unitar chiziqli fazodagi f chiziqli operatorning teskarisi mavjud va tenglik o`rinli bo`lsa, u unitar deb ataladi.
1-t e o r e m a. CHekli o`lchamli unitar chiziqli L fazoda anitslangan chiziqli f operator unitar bo`lshii uchun uning skalyar ko`paytmani saqlashi, ya`ni xar qanday uchun

bo`lishi zarur va kifoya.
I s b o t. Agar mavjud va bo`lsa, u xolda . Aksincha, f uchun (1) munosabat o`rinli bo`lsin, 60-§ dagi teoremaga asosan f uchun qo`shma operator mavjud. U xolda (1) ga ko`ra xar qanday uchun

Bundan xar qanday uchun . Bu tenglikdan birlik operator ekanligini olamiz. Bu tenglikdan bu operatorlarning matritsalariga o`tsak, Bu tenglikda matritsalarning determinantlariga o`tsak, . Bundan ekanligini olamiz, ya`ni f uchun teskari operator mavjud. Bunga ko`ra (1) dan: ya`ni

2-t e o r e m a. CHekli o`lchamli unitar fazoda aniqlangan chiziqli f operator unitar bo`lishi uchun uning normal va barcha xos sonlarining moduli birga teng bo`lishi zarur va kifoya.
I s b o t. CHiziqli f operatorning unitar ekanligi tenglikka teng kuchli. Demak u normal. SHuning uchun biror ortonormal bazisda f va larning matritsalari mos ravishda

tenglikdan ekanligi kelib chiqadi.

Aksincha, agar va f ning barcha xos sonlarining moduli birga teng bo`lsa, u xolda biror ortonormal bazis uchun tenglikni olamiz. Bundan ya`ni
Xar qanday unitar operator xar qavday ortonormal bazisni ortonormal bazisga aks ettiradi:

Agar chekli o`lchamli unitar fazoda aniqlangan chiziqli f operator biror ortonormal bazisni ortonormal bazisga aks ettirsa, u xolda f unitar. Xaqiqatan, agar berilgan ortonormal bazis va bo`lsa, u xolda

Xar qanday unitar operatorning ortonormal bazisdagi A matritsasi tenglikni qanoatlantiradi. Oxirgi tenglikni qanoatlantiruvchi matritsa unitar matritsa deb ataladi. Bu tenglik unitar A matritsaning satr va ustunlari tizimiga unitar dagi vektorlar deb qarasak, ular bu fazoda ortonormal tizimni xosil qilishini ko`rsatadi.