1-t e o r e m a. CHekli o`lchamli unitar L fazoda chiziqli f operatortng o`z-o`ziga qo`shma bo`lishi uchun uning normal va barcha xos sonlari xaqiqiy bo`lishi zarur va kifoya.
I s b o t. CHiziqli f operator o`z-o`ziga qo`shma bo`lsin. U xolda ya`ni u normal. Normalligi sababli L da uning xos vektorlaridan iborat ortonormal bazis bor. Bu bazisda f va operatorlarning matritsalari
ko`rinishga ega. Ushbu munosabatdan , ya`ni tenglik kelib chiqadi. Demak lar xaqiqiy. Aksincha, f ning normalligi va barcha larning xaqiqiyligidan va demak kelib chiqadi.
2-t e o r e m a. Unitar L fazoda xar qanday chiziqli f operator ko`rinshida ifodalanishi mumkin, bu erda o`z-o`ziga qo`shma operatorlar.
Is b ot. Ushbu belgilashlar kiritib, munosabatlarni olamiz.
CHiziqli f operatorning o`z-o`ziga qo`shmaligi bichiziqli formaning ermitligiga teng kuchli: agar bo`lsa, u xolda aksincha, dan ya`ni kelib chiqadi.
Agar chiziqli f operator uchun uning xos vektorlaridan iborat bazis bo`lsa, u xodda
SHunday qilib, bu bazis uchun kanonik. Ikkinchi tomondan chekli o`lchamli unitar L fazodagi xar qanday bichiziqli forma ko`rinishda ifodalanishi mumkin, bu erda chiziqli f operatorning matritsasi formaning matritsasiga transportirlangan. Bu muloxazalar bilan quyidagi tasdiq isbotlaydi.
3-teorema. CHekli o`lchamli unitar L fazoda xar qanday ermit bichiziqli forma uchun ortonormal kanonik bazis mavjud.
Natija. Agar chekli o`lchamli kompleks L fazoda ikkita ermit va formalar berilgan va ularning biri musbat bo`lsa, u xolda ular L da umumiy kanonik bazisga ega.
I s b o t. Aniqlik uchun musbat bo`lsin. Bu xolda L da tenglik yordamida skalyar ko`paytma kiritamiz. 3-teoremaga asosan L da uchun ortonormal kanonik bazis mavjud. Bu bazis uchun xam kanonik, chunki
Agar chekli o`lchamli unitar L fazodagi chiziqli f operator uchun tenglikni qanoatlantiruvchi maxsusmas chiziqli g operator mavjud bo`lsa, f musbat deb ataladi. Ravshanki, f xam maxsusmas va xar qanday uchun
Dostları ilə paylaş: |
