Reja: nostandart va mantiqiy masalalarni yechishni o'rgatish

NOSTANDART MASALALAR VA ULARNING TURLARI
REJA:
1. NOSTANDART VA MANTIQIY MASALALARNI YECHISHNI O'RGATISH
2. NOSTANDART VAZIFALARI VA MURAKKABLIGI
3. NOSTANDART MASALALAR VA ULARNING TURLARI
Ma'lumki, so'z muammolarini hal qilish talabalar uchun katta qiyinchiliklarni keltirib chiqaradi. Bundan tashqari, hal qilishning qaysi bosqichi ayniqsa qiyin bo'lganligi ma'lum. Bu birinchi bosqich - muammoli matnni tahlil qilish. Talabalar muammoning matniga, uning shartlari va talablariga yomon yo'naltirilgan. Muammoning matni ba'zi bir hayotiy voqealar haqida hikoya qiladi: "Masha 100 metrga yugurdi va unga qarab ...","Birinchi sinf o'quvchilari 12 chinnigullar sotib oldilar, ikkinchisining o'quvchilari ...", "O'zgarish uchun usta 20 qism yasadi, shogirdi esa ...".Matnda hamma narsa muhim; aktyorlar, ularning harakatlari va raqamli xususiyatlari. Muammoning matematik modeli (sonli ifoda yoki tenglama) bilan ishlashda ushbu tafsilotlarning bir qismi qoldiriladi. Ammo aynan biz ba'zi xususiyatlardan mavhumlik va boshqalarni ishlatish qobiliyatini o'rgatamiz.Matematik masala matnida harakat qilish qobiliyati o'quvchining umumiy rivojlanishining muhim natijasi va muhim shartidir. Va buni siz nafaqat matematika darslarida, balki o'qish va tasviriy san'at darslarida ham qilishingiz kerak. Ba'zi vazifalar yaxshi chizilgan mavzulardir. Va har qanday vazifa qayta hikoya qilish uchun yaxshi mavzu. Agar sinfda teatr darslari bo'lsa, unda ba'zi matematik masalalar sahnalashtirilishi mumkin. Albatta, bu usullarning barchasi: qayta hikoya qilish, rasm chizish, dramatizatsiya - matematika darslarida sodir bo'lishi mumkin. Demak, matematik masalalar matnlari ustida ishlash bolaning umumiy rivojlanishining muhim elementi, ta'limni rivojlantirish elementidir.Ammo hozirgi darsliklarda mavjud bo'lgan va hal etilishi majburiy minimalga kiritilgan vazifalar buning uchun etarlimi? Yo'q, etarli emas. Majburiy minimal muammolarning ayrim turlarini hal qilish qobiliyatini o'z ichiga oladi:to'plam elementlari soni to'g'risida;harakat, uning tezligi, yurishi va vaqti haqida;narx va narx haqida ish, uning vaqti, hajmi va unumdorligi haqida.
Ushbu to'rt mavzu standartdir. Ushbu mavzulardagi muammolarni hal qilish qobiliyati umuman muammolarni qanday hal qilishni o'rgatishi mumkinligiga ishoniladi. Afsuski, bu shunday emas. Amaliy hal qila oladigan yaxshi o'quvchilar
sanab o'tilgan mavzular bo'yicha darslikdan biron bir topshiriq ko'pincha boshqa mavzu bo'yicha topshiriqning holatini tushuna olmaydi. Chiqish so'z muammolarining har qanday mavzusi bilan cheklanib qolmasdan, balki nostandart muammolarni, ya'ni mavzusi o'zi o'rganish ob'ekti bo'lmagan muammolarni hal qilishdan iborat. Axir, biz o'qish darslarida hikoyalar syujetlarini cheklamaymiz!Sinfda har kuni nostandart vazifalarni hal qilish kerak. Ular 5-6-sinflar uchun matematika darsliklarida va "Boshlang'ich maktab", "Maktabdagi matematika" va hatto "Quant" jurnallarida uchraydi.
Vazifalar soni shundan iboratki, siz ulardan har bir dars uchun topshiriqlarni tanlashingiz mumkin: har bir dars uchun bitta. Vazifalar uyda hal qilinadi. Ammo ko'pincha siz ularni sinfda qismlarga ajratishingiz kerak. Tavsiya etilgan vazifalar orasida kuchli talaba bir zumda hal qiladigan vazifalar mavjud. Shunga qaramay, kuchli bolalardan etarlicha mulohazalarni talab qilish kerak, bu oson vazifalar bo'yicha odam qiyin muammolarni hal qilishda kerak bo'ladigan fikrlash usullarini o'rganishini tushuntiradi. Bolalarda mantiqiy fikr yuritish go'zalligiga muhabbatni tarbiyalash kerak. Oxirgi chora sifatida siz kuchli o'quvchilarni boshqalar uchun tushunarli tushuntirishni talab qilishni talab qilib, bunga erishishingiz mumkin - tezkor tuzatishni tushunmaydiganlarga.
Nostandart muammo" atamasi ko'plab metodistlar tomonidan qo'llaniladi. Demak, Yu M. Kolyagin ushbu kontseptsiyani quyidagicha ochib beradi: «Under nostandart tushunilgan vazifa, taqdimotga binoan talabalar uni hal qilish usulini yoki echim asosidagi o'quv materialini oldindan bilishmaydi ".Nostandart muammoning ta'rifi L.M.ning mualliflari tomonidan "Qanday qilib muammolarni echishni o'rganish" kitobida keltirilgan. Fridman, E.N. Turetskiy: " Nostandart vazifalar - bular matematika kursi uchun ularni hal qilishning aniq dasturini belgilaydigan umumiy qoidalar va qoidalarga ega bo'lmaganlar. "Nostandart vazifalarni murakkabligi oshgan vazifalar bilan adashtirmaslik kerak. Murakkablikning oshishi muammolari shunday bo'lib, ular o'quvchilarga matematikada muammoni hal qilish uchun zarur bo'lgan matematik apparatni osongina tanlashga imkon beradi. O'qituvchi ushbu turdagi muammolarni hal qilish orqali o'quv dasturi tomonidan berilgan bilimlarni mustahkamlash jarayonini boshqaradi. Ammo nostandart vazifa tadqiqot xarakterini nazarda tutadi. Ammo, agar bitta o'quvchi uchun matematikada muammoning echimi nostandart bo'lsa, chunki u ushbu turdagi muammolarni hal qilish usullari bilan tanish emas, boshqasi uchun masalaning echimi standart usulda sodir bo'ladi, chunki u allaqachon bunday muammolarni va bittadan ko'pini hal qilgan. 5-sinfda matematikada bitta muammo nostandart bo'lib, 6-sinfda bu odatiy va hatto murakkabligi oshmagan.Matematika bo'yicha darsliklar va o'quv qo'llanmalarini tahlil qilish shuni ko'rsatadiki, har bir so'z muammosi ma'lum sharoitlarda nostandart, boshqalarda esa odatiy, standart bo'lishi mumkin. Bir matematika kursidagi standart muammo boshqa kursda nostandart bo'lishi mumkin.Matematikani o'qitishda nostandart muammolardan foydalanish nazariyasi va amaliyotini tahlil qilish asosida ularning umumiy va o'ziga xos rolini belgilash mumkin. Nostandart vazifalar:
Amaliyot shuni ko'rsatdiki, nostandart topshiriqlar nafaqat darslar uchun, balki sinfdan tashqari ishlar uchun, olimpiada topshiriqlari uchun ham juda foydalidir, chunki bu har bir ishtirokchining natijalarini chinakamiga ajratish imkoniyatini beradi. Bunday topshiriqlar darsdagi mustaqil ishlarning asosiy qismini osonlikcha va tezkor ravishda uddalaydigan talabalar yoki qo'shimcha topshiriq sifatida istaganlar uchun individual topshiriqlar sifatida muvaffaqiyatli ishlatilishi mumkin. Natijada talabalar intellektual rivojlanish va faol amaliy faoliyatga tayyorlanishadi. Tenglama – tenglik belgisi bilanbirlashtirilgan ikkita ifoda; bu ifodalarga noma`lum deb ataluvchi bir yoki bir necha o`zgaruvchilar kiradi. Tenglamani yechish – noma`lumlarning tenglamani to`g`ri tenglikka aylantiradigan barcha qiymatlarini topish yoki bunday qiymatla yo`qligini ko`rsatish demakdir.
Maktab matematika kursida , odatda, noma`lumlari son qiymatlar qabul qiladigantenglamalar qaraladi. Bir noma`lumli tenglamada nom`lumning tenglamani qanotlantiruvchi son qiymati bu tenglamaning ildizi yoki yechimi deyiladi. Bir necha noma`lumli tenglamani qanoatlantiruvchi sonlar termasi bu tenglamaning yechimi deyiladi.
Matematikada noma`lumlari butun sonlar (Diofant tenglamalri), vektorlar (vektorial tenglamalar), funksiyalar (integral, funksional, differinsial tenglamalar)va boshqa tabiatli ob`ektlar bo`lgan tenglamalar ham qaraladi. Tenglama bilan birga uning aniqlanish sohasi (noma`lumning ruxsat etiladigan qiymatlari to`plami ) ni ham ko`rsatishadi; agar ruxsat etiladigan qiymatlar to`plami ko`rsatilgan bo`lmasa, bu to`plam- tenglamaning chap va o`ng tomonlarida turgan ifodalarning tabiiy umumiy aniqlanish sohasi deb faraz qilinadi.
Tenglama- matematikaning eng muhim tushunchalaridan biri. Ko`pgina amaliy va ilmiy masalalarda biror kattalikni bevosita o`lchsh yoki tayyor formula bo`yichahisoblash mumkin bo`lmasa, bu miqdor qanotlantiradigan munosabat (yoki bir necha munosabat) tuzishga erishiladi. Noma`lum kattalikni aniqlash uchun tenglama (yoki tenglamalar sistemasi )ana shunday hosil qilinadi.
Matematikaning fan sifatida vujudaga kelganidan boshlab uzoq vaqtgacha tenglamalar yechish metodlarini rivojlantirish algebraning asosiy tadqiqot predmeti bo`ldi. Tenglamarni bizga odat bo`lib qolgan harfiy yozilishi XIV asrda uzil-kesil shakllandi; noma`lumlarni lotin alifbosinig oxirgi harflari, ma`lum miqdorlar (parametrlar) ni latin alifbosining dastlabki harflari orqali belgilash an`anasini fransuz olimi R. Dekartdan boshlangan.
Tenglamalarni algebraik yechishning odatdagi yo`li (ko`pincha, analitik yechish deyiladi) shundan iboratki, uni almashtirishlar yordamida soddaroq tenglamarga keltirishadi. Agar bir tenglamaning barcha yechimlari ikkinchi tenglamaning ham yechimlari bo`lsa, u holdaikkinchi tenglama birinchisining natijasi deyiladi. Agar ikkata tenglamadan har biri boshqasining natijasi bo`lsa (ya`ni ularning yechimlari to`plami ustma-ust tushsa), bunday tenglamalar teng kuchli tenglamalar deyiladi. Tenglamaning ikkala tomoniga bir xil almashtirishni qo`llab, biz uning natijasini hosil qilamiz. Agar bu almashtirish teskarilanuvchan bo`lsa,hosil qilingan tenglama berilganiga teng kuchli bo`ladi. (masalan tenglamaning ikala tomonini bir xil songa ko`paytirsak, biz berilgan tenglamaning natijasini olamiz. Agar bu son noldan farqli bo`lsa, u holda bajarilgan almashtirish teskarilanuvchan , binobarin, hosil qilingan tenglama dastlabkisiga teng kuchli bo`ladi).
Bir noma`lumli tenglamani yechish borasida biz eng sodda tenglamalarga kelishga intilamiz, chunki, ular uchun tayyor formulalar bor . Chiziqli tenglamalar,kvadrat tenglamalar, ko`rinishdagi tenglamalar eng soda tenglamalardir, bunda -son, - asosiy elementar funksiyalardan biri; - darajali, - ko`rsatkichli, - logarifmik, , , - trigonometrik funksiyalar. tenglamaning umumiy yechiminiyozish funksiyaga teskari bo`lgan funksiyani kiritishni talab qiladi. Agar bo`lsa, u holda ; agar bo`lsa, u holda ; agar va bo`lsa, u holda .
Tenglamalar eng soda ko`rinishga qanday keltiriladi? Tenglamalarning konkret tiplari (algebraik, trigonometrik, irratsional, ko`rsatkichli, logarifmik, va h.k )ni yechish uchun xususiy usullar ishlab chiqilgan. Tenglamalarni yechishning umumiy metodlaridan eng ko`p uchraydigan uchtasiga to`xtalamiz.
Agar tenglamaning chap tomonidan ko`paytuchilarga yoyishga erishilsa, u holda berilgan tenglama , , . . . , tenglamalarga ajraladi, ular yechimlari to`plamlarining birlashmasi olingan tenglamaning yechimlar to`plamini beradi. Masalan, tenglamani qo`yidagicha yozish mukin:

Endi va tenglamani yechib, berilgan tenglamaning barcha ildizlarini topamiz: 1, 2 va -3. Bu metodni ko`paytuvchilarga ajratish metodi deb atash qabul qilingan.
Ko`pincha, yangi noma`lum sifatida eski noma`lumning biror funksiyasini qabul qilib, tenglamani soddalashtirishga erishiladi. Masalan, tenglamani yangi noma`lum kiritib, kvadrat tenglamaga keltirish mumkin. Hunonchi va tenglamaga kelamiz.
Ba`zan tenglamaning chap va o`ng tomonidagi ifodalarning funksional xossalarini tahlil qilib, yechishga muvaffaq bo`linadi. Masalan, tenglamaningchap tomoni o`suvchi, o`ng tomoni esa o`zgarmas bo`lgani uchun bu tenglama bittadan ortiq ildizga ega emas. Yagona ildiz esa oson payqaladi. tenglamani yechayotib barcha x lar uchun tengsizliklar bajarilishini hisobga olamiz, u holda , ammo , binobarin, berilagan tenglama ildizlarga ega emas.
Shu vaqtgacha biz tenglamaildizini son yoki parametrning ma`lum funksiyalari kombinatsiyasisifatida topishga imkon beradigan usullarni tahlil qildik. Ammo amaliyotda paydo bo`ladigan hamma tenlamalarni ham shunga o`xshash usullar bilan yechib bo`lmaydi. Masalan, beshinchi darajadan boshlab algebraik tenglamalarni yechish uchun umumiy formula mavjud emasligini XIX asr boshida isbotlandi. Shuning uchun ham , matematikada tenglamalarni taqribiy yechishning taqribiyyechishning turli metodlari ishlabb chiqilgan. Uchinchi darajali tenglamalarni Kardano formulasi yordamida, to`rtinchi darajali tenglamalarni Ferrrari usullari yordamida yechish usulllari aniqlandi. Ulardan eng soddasi qo`yidagi teoremaga asoslanadi, agar funksiya kesmaning barcha nuqtalarida uzluksiz bo`lsa va uning chetki uchlarida turli ishorali qiymatlarni qabul qilsa, u holda tenglama bu kesmada ildizga ega.
Tenglamarni grafik yordamida tadqiq qilish ayniqsa o`ng`ayddir; masalan, funksiya grafigi bo`yicha , tenglama da uchta, da ikkita va da bitta ildizga egaligini darrov ko`ramiz.

Nostandart muammolarning umumiy qabul qilingan tasnifi mavjud emas, ammo B.A. Kordemskiy bunday vazifalarning quyidagi turlarini aniqlaydi:· Maktab matematika kursiga qo'shni bo'lgan muammolar, ammo qiyinlashib borayotgani - masalan, matematik olimpiadalaridagi muammolar. Asosan matematikaga aniq qiziqish ko'rsatadigan maktab o'quvchilari uchun mo'ljallangan; tematik jihatdan bu vazifalar odatda maktab o'quv dasturining ma'lum bir bo'limi bilan bog'liq. Bunga oid mashqlar o'quv materialini chuqurlashtiradi, maktab kursining ayrim qoidalarini to'ldiradi va umumlashtiradi, matematik dunyoqarashini kengaytiradi va qiyin masalalarni echish ko'nikmalarini rivojlantiradi.· Matematik ko'ngilochar kabi muammolar. Ular maktab o'quv dasturi bilan bevosita bog'liq emas va, qoida tariqasida, katta matematik tayyorgarlikni nazarda tutmaydi. Biroq, bu ikkinchi toifadagi vazifalar faqat engil mashqlarni o'z ichiga oladi degani emas. Bu erda juda qiyin echimlar bilan bog'liq muammolar mavjud va ularning echimi hali olinmagan. "Qiziqarli tarzda taqdim etilgan nostandart vazifalar aqliy faoliyatga hissiy onlarni olib keladi. Ularni hal qilish uchun o'rganilgan qoidalar va usullarni qo'llash zarurati bilan bog'liq emas, ular to'plangan barcha bilimlarni safarbar qilishni talab qiladi, odamlarga ularni hal qilishning asl, stereotip bo'lmagan usullarini izlashga o'rgatadi, ularni echish san'atini go'zal misollar bilan boyitadi va aqlning kuchiga qoyil qoladi. "

Ushbu turdagi vazifalar quyidagilarni o'z ichiga oladi:turli xil raqamli jumboqlar ("... raqamlarning barchasi yoki ba'zilari yulduzcha yoki harflar bilan almashtirilganligi misollari. Xuddi shu harflar bir xil raqamlarni almashtiradi, har xil harflar - har xil raqamlar.") va ayyor jumboqlar;echimi hisoblashni talab qilmaydigan, ammo aniq fikrlash zanjirini qurishga asoslangan mantiqiy muammolar;echimlari matematik rivojlanish va amaliy ixtirolarning kombinatsiyasiga asoslangan vazifalar: og'ir sharoitlarda tortish va quyish;matematik sofizmlar - bu to'g'ri ko'rinishga ega bo'lgan qasddan qilingan, yolg'on xulosa. (Sofizm - bu yolg'on gapning isboti, dalildagi xato esa mohirlik bilan yashiringan. Sofizm yunon tilidan tarjimada topqir ixtiro, hiyla, jumboq degan ma'noni anglatadi);hazil vazifalari;ma'lum shartlarni qondiradigan berilgan ob'ektlarning turli xil kombinatsiyalari ko'rib chiqiladigan kombinatoriya muammolari (B.A.Kordemskiy, 1958).
I.V. tomonidan berilgan nostandart muammolarning tasnifi kamroq qiziq emas. Egorchenko:
Agar siz qiziqish uyg'otsangiz, boshqacha qilib aytganda, zamonaviy talaba uchun qiziqarli va mazmunli bo'lgan vazifalarni taklif qilsangiz, siz bolalarni nostandart turdagi muammolarni hal qilishga o'rgatishingiz mumkin. Yoki muammoli hayotiy vaziyatlardan foydalanib, savolning so'zini almashtiring. Masalan, “Diafant tenglamasini yechish” topshirig‘i o‘rniga quyidagi masalani yechishni taklif qiling. mumkin talaba 19 rubllik xarid uchun to'lashi kerak, agar uning uch rubllik veksellari bo'lsa va sotuvchining o'n rubllik veksellari bo'lsa?

Yordamchi vazifalarni tanlash usuli ham samarali. Muammoni yechishga o'rgatishning bu vositasi muammoni hal qilishda ma'lum bir yutuq darajasini ko'rsatadi. Odatda bunday hollarda fikrlaydigan o‘quvchi o‘qituvchi yordamisiz o‘zicha yordamchi masalalarni topishga yoki bu masalalarning shartlarini soddalashtirish va o‘zgartirishga harakat qiladi.

Nostandart masalalarni hal qilish qobiliyati amaliyot orqali erishiladi. Bejiz emaski, qo'shningiz buni ko'rib, matematikani o'rganib bo'lmaydi. O'z-o'zini o'rganish va o'qituvchining yordami samarali o'rganishning kalitidir.
XULOSA
Nostandart tenglamalar xilma xil bo‘lgani singari, uni yechish usullari ham turlichadir. Nostandart tenglamalarni qaysidir ma’noda “standartlashdirish”, ya’ni ularni yechish usullari bo‘yicha klassifikatsiyalash, yechish usulini ilmiy asoslash matematikaning vazifalaridan biridir.
Ushbu bitiruv malakaviy ishda nostandart tenglamlar ularni yechishda foydalanadigan funksiyaning xossalariga qarab klassifikatsiyalandi; Nostandart tenglamalarni funksiyaning sodda xossalaridan (aniqlanish sohasi, chegaralanganligi, funksiya grafigi va b.) foydalanib yechish usullarini o‘rganildi; tenglamalarni funksiya hosilasidan foydalanib yechish usullarini o‘rganildi; parametr qatnashgan tenglamalarni yechishda hosiladan foydalanish usuli o‘rganildi va hosiladan foydalanish asoslandi; nostandart tenglamalarni yechishning klassik tengsizliklardan foydalanish usullarini o‘rganildi.
Ushbu ishda olingan natijalar aniq fanlar yo‘nalishidagi akademik litseylarning matematika ta’limi jarayonida, matematikaga qiziquvchi o‘quvchilarga sinfdan tashqari ishlarni tashkillashtirishda foydalanishi mumkin. Ushbu ishdan talabalar hamda maktab, litsey, kollej matematika o‘qituvchilari foydalanishi mumkin.