Сборник задач по высшей математике. М., Наука, 1964. Общий курс высшей математики для экономистов. Под ред. Ермакова В. И. М., Инфра -м, 2008


Mövzu 22. İkitərtibli diferensial tənliklərin intqerallanan



Yüklə 272,01 Kb.
səhifə4/6
tarix01.01.2022
ölçüsü272,01 Kb.
#50274
növüСборник задач
1   2   3   4   5   6
referat 2331

Mövzu 22. İkitərtibli diferensial tənliklərin intqerallanan

növləri. Sabit əmsallı ikitərtibli xətti bircins və bircins

olmayan diferensial tənliklər

Sadə ikitərtibli diferensial tənliklər

  1. Bəzi diferensial tənliklərin inteqrallanan növləri

  2. Tərtibin azaldılması halları

  3. İkitərtibli sabit əmsallı xətti bircins tənliklər

  4. İkitərtibli sabit əmsallı xətti bircins olmayan tənliklər

Sərbəst dəyişəninə, axtarılan funksiyaya onun birinci və ikinci tərtib törəməsinə nəzərən tənliyə ikitərtibli diferensial tənlik deyilir. Bu tənliyi ümumi şəkildə aşağıdakı kimi yazmaq olar

(1)

İkitərtibli diferensial tənliyi eyniliyə çevirən x məchulundan və iki sərbəst ixtiyari sabitlərindən asılı olan funk­siyasına bu tənliyin ümumi həlli deyilir.

(1) tənliyinin ümumi həllindən C1C2 ixtiyari sabitlərinin verilmiş qiymətlərində alınan həllinə (1) tənliyinin xüsusi həlli deyilir.

Əgər tənliyi yüksək törəməyə nəzərən həll ediləndirsə, onda bu tənliyi

(2)

şəklində göstərmək olar.

Sadə inteqrallanan ikitərtibli diferensial tənliklərə elə tənliklər aiddir ki, (2) bərabərliyinin sağ tərəfində duran funksiya yalnız üç arqumentin birindən asılı olsun.



I növ. Tutaq ki,

. (3)

Bu tənliyi inteqrallasaq alarıq

Yenidən inteqrallasaq nəticədə alarıq



burada – ixtiyari sabitlərdir və qeyri-müəyyən inteqrallar uy­ğun funksiyaların ibtidai funksiyalarıdır.



II növ. Tutaq ki,

(4)

Burada


götürsək ( p-yə y-dən asılı funksiya kimi baxsaq) alarıq



Nəticədə, (4) tənliyi aşağıdakı şəkilə düşər



.

Dəyişənləri ayırsaq:



.

Sonuncu tənliyi inteqrallasaq alarıq:



və ya




olduğundan əvvəlki tənliyi belə yazmaq olar:

Buradan bir daha dəyişənləri ayıraraq və inteqrallayaraq sonda alarıq:





III növ. Tutaq ki,

(5)

Burada götürək. Onda



olar və (5) tənliyi aşağıdakı şəkilə düşər



.

Dəyişənləri ayıraraq inteqrallasaq:



və .

Bu tənlikdən kəmiyyətini müəyyən edərək ikinci dəfə inteq­rallama yolu ilə y-ki də tapmaq olar.


Tərtibin azaldılması halları
İkitərtibli

(1)

diferensial tənliyinin birtərtibli diferensial tənliyinə gətirildiyi aşağıdakı iki hala baxaq.



I hal. Tutaq ki, (1) diferensial tənliyinin sağ tərəfində x dəyişəni aşkar şəkildə daxil deyildir, yəni tənlik

(2)

şəklindədir.

Burada

götürərək



birtərtibli diferensial tənliyi alarıq. Burada sərbəst dəyişən kimi y çıxış edir.



II hal. Tutaq ki, (1) diferensial tənliyinin sağ tərəfində y dəyişəni aşkar şəkildə daxil deyildir, yəni tənlik

(3)

şəklindədir. Burada



götürərək məchul p funksiyasının daxil olduğu birtərtibli diferensial tənlik alarıq



Qeyd edək ki, yuxarıda baxılan II və III növləri (§ 6) (2) və (3) tənliklərinin xüsusi hallarıdır.



Misal 1. (4)

tənliyini həll edin.



Həlli. Birinci hala görə və götürək. Onda (4) tənliyi

şəklinə düşər.

Buradan:

1) p=0 , yəni y=C;

2) , yəni və

Potensiallasaq alarıq



və nəticədə,



İnteqralladıqdan sonra alarıq



və deməli,



burada – ixtiyari sabitlərdir.



Misal 2. x=1 olduqda və başlanğıc şərtləri ödəyən

(5)

tənliyinin həllini tapın.



Həlli. (5) tənliyində və götürək. Onda

yaxud


(6)

Alınan tənlik bircins tənlik olduğundan əvəzləməsi qəbul edək, nəticədə



(6) tənliyində yerinə yazsaq alarıq



;

buradan


, və ya

İnteqrallasaq alarıq



və nəticədə,



, yəni və .

ixtiyari sabitini müəyyən etmək üçün verilmiş başlanğıc şərtləri (x=1 olduqda ) nəzərə alaq: 1=1+ , yəni = 0 və beləliklə,

Buradan alırıq və



. (7)

sabitini başlanğıc şərtlərdən tapırıq. (7) düsturunda x=1 və götürsək alarıq , yəni . Nəticədə, axtarılan xüsusi həll olar.
İkitərtibli sabit əmsallı xətti bircins tənliklər
Tutaq ki, ikitərtibli xətti bircins


Yüklə 272,01 Kb.

Dostları ilə paylaş:
1   2   3   4   5   6




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin