Сборник задач по высшей математике. М., Наука, 1964. Общий курс высшей математики для экономистов. Под ред. Ермакова В. И. М., Инфра -м, 2008

(2)

Bu eyniliyi inteqralladıqda

(3)

münasibəti alınar, burada S ixtiyari sabitdir. Buradan aydındır ki, (3) tənliyi (1) tənliyinin bütün həllərini təyin edir. Buna görə də (3) münasibətinə (1) tənliyinin ümumi inteqralı deyilir.

2. Fərz edək ki, M₁(x), M₂(x), N₁(y), N₂(y) funksiyaları kəsilməzdir. Bu halda

(4)

tənliyinə dəyişənlərinə ayrılan tənlik deyilir. Bu tənliyi həll etmək üçün onun hər iki tərəfini N₁(y) M₂(x) ^ 0 hasilinə bölək:

Dəyişənlərinə ayrılmış bu tənliyin ümumi inteqralı

(5)

olar. (4) tənliyinin (5) ümumi inteqralından alınmayan başqa həlləri də ola bilər. Belə həllər N₁(y) M₂(x) ₌ 0 bərabərliyinin ödənildiyi nöqtələr içərisində olar (N₁( y) ₌ 0, M₂(x) ₌ 0).

Misal. x ₌ 5, y ₌ 1 başlanğıc şərtini ödəyən diferensial tənliyinin həllini tapmalı.

Həlli. ,

(x – 1)dx ₊ ( y ₊ 2)dy ₌ 0 ,

,

( ).

Mərkəzi O(1,–2) nöqtəsində olan çevrələr. Xüsusi həlli tapaq üçün x ₌ 5, y ₌ 1 başlanğıc şərtlərdən istifadə edək:

,

Axtarılan xüsusi inteqral

çevrəni müəyyən edir.

Bircins diferensial tənliklər
Tərif 1. Əgər hər bir k ədədi üçün

(1)

eyniliyi doğru olarsa, onda funksiyasına x və y dəyişənlərinə nəzərən n dərəcəli bircins funksiya deyilir.

İndi isə

(2)

diferensial tənliyinə baxaq.

Tərif 2. Əgər x və y dəyişənlərinin diferensiallarının M (x, y) və
N (x, y) əmsalları eyni dərəcəli bircins funksiyalar olarsa, onda (2) tənliyi birtərtibli bircins diferensial tənlik adlanır.

Bu tənliyi həll etmək üçün , y ₌ xz, dy ₌ xdz ₊ zdx əvəzləməsi vasitəsilə onu dəyişənlərinə ayrılan tənliyə gətirmək lazımdır.

İndi tutaq ki, bircins diferensial tənlik aşağıdakı şəkildə verilmişdir

. (3)

Əgər funksiyası x və y dəyişənlərinə nəzərən sıfır dərəcəli bircins funksiya olarsa, yəni



şərti ödənilərsə, onda (3) tənliyi birtərtibli bircins diferensial tənlik olar.

Misal. diferensial tənliyinin ümumi həllini tapmalı.

Həlli. ,

.

və birdərəcəli bircins funksiyalardır. Doğrudan da,

,

.

Tənliyi həll etmək üçun , y ₌ xz, dy ₌ xdz ₊ zdx əvəzləməsini aparsaq, alarıq

xz lnz·dx-x(xdz₊zdx)=0.

Buradan

xdz₌z(lnz-1)dx,

,

,

,

, ,

, , .

Nəticədə baxılan tənliyin ümumi həlli olar.

Birtərtibli xətti diferensial tənliklər
Axtarılan funksiyaya və onun törəməsinə nəzərən xətti olan tənliyə birtərtibli xətti diferensial tənlik deyilir və aşağıdakı kimi yazılır

. (1)

 0 olduqda alınan

(2)

tənliyinə (1) tənliyinə uyğun xətti bircins tənlik deyilir. ol­duqda (1) tənliyi xətti bircins olmayan diferensial tənlik adlanır. (1) tənliyini müxtəlif üsullarla həll etmək olar. Bu üsullardan biri sabitin variasiyası üsuludur. Bu üsula görə əvvəlcə xətti bircins tənliyin ümumi həlli tapılır. Alınan tənlik dəyişənlərinə ayrılır

Sonuncu tənliyi inteqrallasaq

,

buradan isə (2) tənliyinin ümumi həllini alarıq:

. (3)

İndi isə xətti bircins tənliyin (3) ümumi həllindəki ixtiyari C sabitini x-dən asılı funksiyası hesab edək:

(4)

y-in bu ifadəsini (1) tənliyində yerinə yazaraq sadə çevirmələrdən son­ra alarıq

Buradan isə naməlum C(x) funksiyası tapılır

C(x)-in bu ifadəsini (4) bərabərliyində yerinə yazdıqda (1) tənliyinin ümumi həlli alınar:



Misal. diferensial tənliyi həll edin.

Həlli. Əvvəlcə bircins olmayan

(5)

tənliyinin uyğun

(6)

bircins tənliyini həll edək.

, , ,

Axırıncı bərabərlikdən verilmiş bircins diferensial tənliyin ümumi həllini tapırıq: . Burada C sabitini x-dən asılı funk­siyası hesab edək, onda

. (7)

y-in bu ifadəsini (5) tənliyində yerinə yazsaq alarıq

.

Buradan , yaxud . Bu həlli (7) bərabərliyində yerinə yazdıqda (5) tənliyinin həllini alarıq

.