Shartli taqsimot qonunlari

13 MAVZU

3.6 Shartli taqsimot qonunlari

(X,Y) ikki o‘lchovlik t.m.ni tashkil etuvchi X va Y t.m.lar bog‘liq bo‘lsa, ularning bog‘liqligini xarakterlovchi shartli taqsimot qonunlari tushunchalari keltiriladi.

• 
  (X,Y) ikki o‘lchovli diskret t.m. birgalikdagi taqsimot qonuni , bo‘lsin. U holda
  

, (3.6.1)

ehtimolliklar to‘plami, ya’ni lar Y t.m.ning dagi shartli taqsimot qonuni deyiladi. Bu yerda

.
Xuddi shunday,
, (3.6.2)
ehtimolliklar to‘plami, ya’ni lar X t.m.ning dagi shartli taqsimot qonuni deyiladi.
3.5-misol. (X,Y) ikki o‘lchovlik t.m.ni birgalikdagi taqsimot jadvali berilgan:

X \ Y	1	2	3
0.1	0.12	0.08	0.40
0.2	0.16	0.10	0.14

Quyidagilarni toping: a) X av Y t.m.larning alohida taqsimot qonunlari; b) X t.m.ning Y=2 dagi shartli taqsimot qonuni.
a) va tengliklardan:

Y	1	2	3
P	0.28	0.10	0.54

X	0.1	0.2
P	0.60	0.40

,

b) (3.6.2) formulaga asosan: ,

. X t.m.ning Y=2 dagi shartli taqsimot qonuni quyidagiga teng:

X	0.1	0.2

Endi (X,Y) ikki o‘lchovli t.m. uzluksiz bo‘lgan holni ko‘ramiz. (X,Y) t.m.ning birgalikdagi zichlik funksiyasi, va lar esa X va Y t.m.larning alohida zichlik funksiyalari bo‘lsin.

• 
  Y t.m.ning X=x bo‘lgandagi shartli zichlik funksiyasi
  

(3.6.3)

ifodaga orqali aniqlanadi.

Shartli zichlik funksiyasi zichlik funksiyasining kabi xossalariga egadir.

• 
  Xuddi shunday, X t.m.ning Y=y bo‘lgandagi shartli zichlik funksiyasi
  

(3.6.4)
tenglik orqali aniqlanadi.
(3.6.3) va (3.6.4) tengliklarni hisobga olib, zichlik funksiyani quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:

. (3.6.5)

(3.6.5) tenglik zichlik funksiyalarning ko‘paytirish qoidasi(teoremasi) deyiladi.

3.6-misol. (X,Y) ikki o‘lchovli uzluksiz t.m.ning birgalikdagi zichlik funksiyasi berilgan:

25-rasm.

bu yerda (25-rasm). 1) larni toping. 2) X va Y t.m.larning bog‘liqligini ko‘rsating.
1) Avval o‘zgarmas son C ni topamiz:

.

Bundan . ni topamiz:

, .

ni (3.6.4) formulasidan foydalanamiz, buning uchun dastlab ni hisoblash kerak:

, ,

2) X va Y t.m.lar bog‘liqsiz bo‘lsa, tenglik o‘rinli. , va funksiyalarlar bir-biridan farqli bo‘lganligi uchun X va Y t.m.lar bog‘liq.

3.7 Ikki o‘lchovli tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalari

(X,Y) tasodifiy vektorning sonli xarakteristikalari sifatida turli tartibdagi momentlar ko‘riladi. Amaliyotda eng ko‘p I va II – tartibli momentlar bilan ifodalanuvchi matematik kutilma, dispersiya va korrelatsion momentlardan foydalaniladi.

• 
  Ikki o‘lchovli diskret (X,Y) t.m.ning matematik kutilmasi (MX,MY) bo‘lib, bu yerda
  

(3.7.1)

va .

Agar (X,Y) t.m. uzluksiz bo‘lsa, u holda

. (3.7.2)

• 
  X va Y t.m.larning kovariatsiyasi
  

(3.7.3)

tenglik bilan aniqlanadi. Agar (X,Y) t.m. diskret bo‘lsa, uning kovariatsiyasi

, (3.7.4)

agar uzluksiz bo‘lsa,

(3.7.5)

formulalar orqali hisoblanadi.

Kovariatsiyani quyidagicha hisoblash ham mumkin:

. (3.7.6)

Bu tenglik (3.7.3) formula va matematik kutilmaning xossalaridan kelib chiqadi:

Kovariatsiya orqali X va Y t.m.larning dispersiyalarini aniqlash mumkin:
,
.
(X,Y) vektorning kovariatsiya matritsasi

- ifoda bilan aiqlanadi.

Kovariatsiyaning xossalari:

1. ;
2. Agar bo‘lsa, u holda ;
3. Agar X va Y ixtiyoriy t.m.lar bo‘lsa, u holda ;
4. yoki ;
5. yoki
;
6. .
Isboti. 1. (3.7.3) dan kelib chiqadi.
2. Agar bo‘lsa, u holda va lar ham bog‘liqsiz bo‘ladi va matematik kutilmaning xossasiga ko‘ra .
3.
.
4. .
5.

6. 3-xossani va t.m.larga qo‘llasak,




.

Dispersiya manfiy bo‘lmasligidan , ya’ni .■

3-xossaga ko‘ra, agar bo‘lsa, X va Y t.m.lar bo‘gliq bo‘ladi. Bu holda X va Y t.m.lar korrelatsiyalangan deyiladi. Lekin ekanligidan X va Y t.m.larning bog‘liqsizligi kelib chiqmaydi. Demak, X va Y t.m.larning bog‘liqsizligida ularning korrelatsiyalanmaganligi kelib chiqadi, teskarisi esa har doim ham o‘rinli emas.

• 
  X va Y t.m.larning korrelatsiya koeffitsienti
  

(3.7.7)

formula bilan aniqlanadi.

Korrelyatsiya koeffisiyentining xossalari:
1. , ya’ni ;
2. Agar bo‘lsa, u holda ;
3. Agar bo‘lsa, u holda X va Y t.m.lar chiziqli funksional bog‘liq bo‘ladi, teskarisi ham o‘rinli.
Shunday qilib, bogliqsiz t.m.lar uchun , chiziqli bog‘langan t.m.lar uchun , qolgan hollarda . Agar bo‘lsa, t.m.lar musbat korrelatsiyalangan va aksincha agar bo‘lsa, ular manfiy korrelyatsialangan deyiladi