Sonlar nazariyasi

.
,
t
y
t
x
39
35
22
20
■
7-Misol
. Tug’ilgan kunning 12 ga ko’paytmasi va oyning 31 ga 
ko’paytmalarining yig’indisi 299 ekanligi ma’lum bo’lsa, tug’ilgan kunni toping.
Yechilishi.
x
– sana,
y
– oyning raqami bo’lsin. U holda quyidagi tenglamani 
hosil qilamiz 
12
x
+ 31
y
= 299. 
Bu yerdan 12
x
≡
299 (
mod
31) yoki 12
x
≡
20 (
mod
31) taqqoslama kelib 
chiqadi. Oxirgi taqqoslamani yechib,
x
1
= 12 ni hosil qilamiz. Topilgan qiymatni 

---

45 
berilgan tenglamaga quyib, 
y
1
= 5 ni hosil qilamiz. Demak, tug’ilgan kun 12 - may 
ekan. 
■
MAShQLAR 
82.
Manfiy bo’lmagan eng kichik chegirmalarni bevosita sinash usuli bilan 
quyidagi taqqoslamalarni yeching: 
a) 5
x
2
– 15
x
+ 22 
≡
0 (
mod
3); b) 
x
2
+ 2
x
+ 2 
≡
0 (
mod
5); c) 3
x
≡
1 (
mod
5); 
d) 8
x
≡
3 (
mod
14); e) 
x
3
- 2 
≡
0 (
mod
5); f) 
x
2
- 2
x
+ 1
≡
0 (
mod
4); 
g) 27
x
2
- 13
x
+ 11
≡
0 (
mod
5). 
83.
Taqqoslamalarning xossalari yordamida dastlab soddalashtirib, so’ngra 
absolyut qiymati jihatidan eng kichik chegirmalarni bevosita sinash usuli bilan 
quyidagi taqqoslamalarni yeching: 
a) 12
x
≡
1 (
mod
7); b) 8
x
≡
1 (
mod
5); c) 3
x
≡
13 (
mod
11); d) 6
x
≡
3 (
mod
7); 
e) 6
x
+ 5 
≡
1 (
mod
7); f) 90
x
20
+ 46
x
2 
- 52
x
+ 46 
≡
0 (
mod
15). 
84.
Quyidagi taqqoslamalarni yechimga ega emasligini ko’rsating: 
a) 2
x
- 3 
≡
0 (
mod
6); b) 
x
2 
- 2
x
+ 3 
≡
0 (
mod
4); c) 
x
3 
+ 
x
+ 4 
≡
0 (
mod
5); 
d) 
x
4
+ 2
≡
0 (
mod
5); e) 
x
5
– 2
x
3
+ 13
x
- 1 
≡
0 (
mod
4). 
85.
Noma’lumning ixtiyoriy butun qiymatlari quyidagi taqqoslamalarni 
qanoatlantirishini ko’rsating: 
a) 
x
2
- 
x
+ 6 
≡
0 (
mod
2);
b) 
x
(
x
2 
– 1) 
≡
0 (
mod
6); 
c) 
x
4
+ 2
x
3 
- 
x
2
- 2
x
≡
0 (
mod
4);
d) 
x
r
- 
x
≡
0 
(mod r)
. 
86.
Taqqoslamaning xossalaridan foydaldanib, almashtirishlar orqali quyidagi 
taqqoslamalarni yeching: 
a) 2
x
≡
7 (
mod
15); b) 5
x
≡
2 (
mod
8); c) 7
x
≡
2 (
mod
13); 
d) 3
x
≡
23 (
mod
37); ye) 27
x
≡
14 (
mod
25); f) 13
x
≡
10 (
mod
11); 
g) 5
x
≡
3 (
mod
11); h) 7
x
≡
5 (
mod
24). 
87.
x
ning qanday butun qiymatlarida 5
x
2
+ 
x
+ 4 kvadrat uchhad 10 ga 
bo’linadi? 
88.
x
2 
- 4
x
+ 3 
≡
0 (
mod
6) taqqoslamani 
x
2 
– 4
x
+ 3 
≡
0 (
mod
2) zaruriy 
shartdan foydalanib yeching. 
89.
x
ϕ
(30)
≡
1 (
mod
30) taqqoslamani yeching. 
90.
x
ϕ
(m)
≡
1 
(mod m) 
taqqoslama nechta yechimga ega? 
91*.
Agar 
(n, m)
= 1 bo’lsa, u holda
n
-darajali
x
n
+ 
a
1
x
n
-1
+ ... + 
a
n
≡
0 
(mod m)
taqqoslamani yangi 
y 
o’zgaruvchini kiritish bilan (
n
-1) darajali hadi qatnashmaydigan 
y
n
+ 
b
2
y
n
-2
+ ... + 
b
n
≡
0 
(mod m) 
taqqoslamaga keltirish mumkinligini ko’rsating. 
92*.
Oldingi masaladan foydalanib, 
x
3 
+ 5
x
2
+ 6
x
– 8 
≡
0 (
mod
13)
taqqoslamani uch hadli
y
3
+ 
ry
+ 
q
≡
0 (
mod
13) taqqoslamaga keltiring. 
93.
Eyler usuli bilan quyidagi taqqoslamalarni yeching: 
a) 5
x
≡
7 (
mod
10); b) 3
x
≡
8 (
mod
13); c) 7
x
≡
5 (
mod
17); 
d) 13
x
≡
3 (
mod
19); e) 27
x
≡
7 (
mod
58). 
94.
Uzluksiz kasrlar usuli bilan quyidagi taqqoslamalarni yeching: 

---

46 
g)
53
x
+ 17
y
= 25; 
h)
47
x
– 105
y
= 4; 
i)
18
x
– 33
y
= 112; 
j)
11
x
+ 16
y
= 156; 
k)
12
x
– 37
y
= -3; 
l) 23
x
+ 15
y
= 19.
е
) -53
х
≡
84 (
mod
219); 
f) 90
х
+ 18 
≡
0 (
mod
138); 
g) 78
х
≡
42 (
mod
51).
a) 7
x
≡
4 (
mod
19); b) 143
x
≡
41 (
mod
221); c) 13x 
≡
178 (mod 153); 
d) 67
x
≡
64 (
mod
183); y) 89
x
≡
86 (
mod
241); f) 213
x
≡
137 (
mod
516); 
g) 111
x
≡
81 (
mod
447); h) 186
x
≡
374 (
mod
422); i) 129
x
≡
321 (
mod
471). 
95.
Qulay usul bilan quyidagi taqqoslamalarni yeching: 
a) 12
x
≡
9 (
mod
18); 
b) 20
x
≡
10 (
mod
25); 
c) -50
x
≡
67 (
mod
177); 
d) -73
x
≡
60 (
mod
311); 
Javoblarni berilgan taqqoslamaga qo’yish bilan tekshirib ko’ring. 
96*.
Birinchi darajali 21 modul bo’yicha quyidagi taqqoslamalarni tuzing: a) 
faqat yagona yechimga ega bo’lgan; b) 3 va 7 ta yechimga ega bo’lgan; c) 2, 10, 
15 ta yechimga ega bo’lgan. 
97.
Tug’ilgan kunning 12 ga ko’paytmasi va oyning 31 ga ko’paytmalarining 
yig’indisi 198 bo’lsa, tug’ilgan kunni toping. 
98*.
523 sonning chap tomonidan shunday uch xonali sonni yozingki, hosil 
bo’lgan olti xonali son 7, 8 va 9 ga bo’linsin. 
99.
629 sonning o’ng tomonidan shunday uch xonali sonni yozingki, hosil 
bo’lgan olti xonali son 5, 8 va 11 ga bo’linsin. 
100.
723 sonning o’ng tomonidan shunday ikki xonali sonni yozingki, hosil 
bo’lgan 5 xonali sonni 31 ga bo’lganda 7 qoldiq qolsin. 
101.
Quyidagi tenglamalarni butun sonlarda yeching: 
a)
3
x
+ 4
y
= 13; 
b)
8
x
– 13
y
= 63; 
c)
43
x
+ 37
y
= 21; 
d)
45
x
– 37
y
= 25; 
e)
81
x
– 48
y
= 33; 
f)
26
x
+ 3
y
= 13; 
102.
Don tashish uchun 60 kg va 80 kg lik qoplar bor. 440 kg donni tashish 
uchun shu xaltalardan nechtadan kerak bo’ladi? 
103.
14900 so’mga 300 so’mlik va 500 so’mlik chiptalardan nechtadan sotib 
olsa bo’ladi? 
104.
ax + by = c
to’g’ri chiziqning abssissalari 
a
1
va 
a
2 
ga teng bo’lgan kesma-
sida nechta butun son mavjudligini toping:
a) 8
x
– 13
y
+ 6 = 0; 
a
1
= - 100; 
a
2
=150; 
b) 7
x
+ 29
y
= 584; 
a
1
= -20, 
a
2
= 160;
c) 90
x
– 74
y
= 50; 
a
1
= -100, 
a
2
= 200. 
105*.
a
va 
b
ning qanday natural qiymatlarida 
ax – by
= 31 tenglama 
x
=5, 
y
= 9 
yechimga ega? 
106*.
Uchlari 
A(x
1
, y
1)
, V(x
2
, y
2
)
butun nuqtalarda bo’lgan kesmaning ichki 
butun nuqtalari soni 
d
– 1 ga tengligini ko’rsating, bu reda
d = (y
1
 – y
2
, x
1
 – x
2
)
. 
107.
Uchlari 
A (2, 1), B(20, 7), C(8, 15)
nuqtalarda bo’lgan uchburchak ning 
tomonlari nechta butun nuqtalardan o’tadi? 

---

47 
108.
x
qanday butun qiymatlarida quyidagi funksiyalar butun qiymatlarni qabul 
qiladi: 
a)
f(x)
= 
7
1
9
−
x
; b)
F(x)
= 
15
1
7
−
x
? 
109*.
Fabrikaga 18 ta vagonda 500 tonna paxta olib kelishdi. Vagonlarda 15, 
20 va 30 tonnadan paxta bo’lgan. 15, 20 va 30 tonnalik vagonlardan nechtadan 
bo’lgan? 
§ 4. Birinchi darajali taqqoslamalar sistemalari 
Bir noma’lumli har xil modulii birinchi darajali taqqoslamalr sistemasining 
umumiy ko’rinishi quyidagidan iborat: 
(
)
(
)
(
)







≡
≡
≡
n
n
n
m
d
mo
b
x
a
m
d
mo
b
x
a
m
d
mo
b
x
a
.........
..........
..........
2
2
2
1
1
1
(1) 
Bu sistema yechimini topishning umumiy usuli quyidagicha: dastlab 
sistemaning birinchi taqqoslamasining 
x 
≡
 
α
 (mod m
1
)
yechimi topiladi, bu yerda 
α
- 
m
1
modul bo’yicha manfiy bo’lmagan eng kichik yoki absolyut qiymati jihatidan eng 
kichik chegirmadan iborat, bu yechimni sonlar sinfi shaklida yozib olinadi: 
α
+
=
t
m
x
1
. (2) 
(Agar birinchi taqqoslama yechimga ega bo’lmasa, berilgan sistema ham yechimga 
ega bo’lmaydi). 
So’ngra
x
ning (2) dagi qiymati sistemaning ikkinchi taqqoslamasiga qo’yilib,
(
)
(
)
2
2
1
2
m
d
mo
b
t
m
a
≡
+
α
(3) 
taqqoslama hosil qilinadi . (3) taqqoslamadan 
t
ning sonlar sinfi shaklidagi 
t = m
2
t
1
 + 
β
 
ko’rinishi topilib, u (2) tenglikka qo’yiladi va 
x
ning yangi qiymati hisoblanadi. (Agar 
(3) taqqoslama yechimga ega bo’lmasa, berilgan sistema ham yechimga ega 
bo’lmaydi). 
Natijada 
x
ning sonlar sinfi shaklida yozilgan va berilgan sistemaning dastlabki 
ikkita taqqoslamasini qanoatlantiradigan qiymati hosil bo’ladi.
x
ning topilgan 
qiymati uchinchi taqoslamaga qo’yilib, hosil bo’lgan taqqoslama 
t
1 
ga nisbatan 
yechiladi va 
t
1 
ning sonlar sinfi shaklida yozilgan qiymati 
x
ning ifodasiga qo’yladi, 
so’ngra 
x
ning bu qiymati to’rtinchi taqqoslamag qo’yiladi va shu taxlitda 
sistemaning oxirgi taqqoslamasigacha yechiladi. 
x ning oxirgi qiymati berilgan 
sistemaning yechimidan iborat bo’ladi. 
Berilgan sistemani yechishda dastavval har bir taqqoslamani alohida yechib, 
sistema quyidagi ko’rinishga keltirib olinadi:
 
(
)
(
)
(
)







≡
≡
≡
n
n
m
d
mo
x
m
d
mo
x
m
d
mo
x
α
α
α