Sonlar nazariyasi

......
..........
..........
2
2
1
1
(4) 

---

48 
So’ngra yuqoridagi usul qo’llaniladi. 
Agar (1) sistemaning 
a
i
x 
≡
 b
i
 (mod m
i
) (i =
1
, n)
taqqoslamalari uchun 
(a
i
, m
i
) = 
d
i
va
d
i
|b
i
bo’lsa, u holda har bir 
i
-nchi taqqoslamaning hadlarini va modulini 
d
i
ga 
qisqartirib, (1) sistemaga teng kuchli bo’lgan quyidagi sistema hosil qilinadi: 


















≡






≡






≡
n
n
n
n
n
n
d
m
d
mo
d
b
x
d
a
d
m
d
mo
d
b
x
d
a
d
m
d
mo
d
b
x
d
a
...
..........
..........
..........
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
. (5)
Bu sistemaning taqqoslamalirini 
x
ga nisbatan yechib, (5) sistemaning yechimini 
quyidagi sistemaning yechimiga keltirish mumkin: 


















≡






≡






≡
n
n
n
d
m
d
mo
x
d
m
d
mo
x
d
m
d
mo
x
α
α
α
.......
..........
..........
2
2
2
1
1
1
(6) 
Agar (4) sistemada
m
1
, m
2
,..., m
n
modullar juft-jufti bilan o’zaro tub bo’lsa, 
i 
≠
 j
da 
(m
i
, m
j
)
= 1 bo’lsa, u holda uning yechimini quyidagi formula bilan ham topish 
mumkin
n
n
n
y
m
M
y
m
M
y
m
M
x
α
α
α
+
+
+
=
...
2
2
2
1
1
1
0
, (7) 
bu yerda
M = [m
1
, m
2 
,..., m
n
]
va
y
1
, y
2
 ,..., y
n
lar
(
)
n
i
m
d
mo
y
m
M
i
i
i
,
,
1
1
=
=
taqqoslamalarning yechimlaridan iborat. Sistemaning yechimi 
x 
≡
 x
0
 (mod M) 
taqqoslamadan iborat bo’ladi. 
Agar
n
n
d
m
d
m
d
m
,...,
,
2
2
1
1
muodullar juft-jufti bilang o’zaro tub bo’lsa, Bu usul bilan (6) 
sistemani ham yechish mumkin. 
Misol 1.
 
Quyidagi taqqoslamalr sistemasini yeching: 
(
)
(
)
(
)





≡
≡
≡
14
9
10
3
16
13
d
mo
x
d
mo
x
d
mo
x
Yechilishi.
Birinchi taqqoslamadan: 
x
= 16
t
+ 13. 
ni hosil qilamiz. 
x
ning bu qiymatini ikkinchi taqqoslamag qo’yamiz: 

---

49 
16
t
+ 13 
≡
3 (
mod
10), yoki 16
t
+ 10 
≡
0 (
mod
10), 
Bu yerdan 8
t
≡
0 (
mod
5), yoki 16
t
≡
0 (
mod
5) ni hosil qilamiz.
Demak, 
t
= 5
t
1
. 
t
= 5
t
1
ni
x
= 16
t
+ 13 ifodaga qo’yamiz: 
x
= 16
⋅
5
t
1
+ 13 = 80
t
1
+ 13. 
x
ning topilgan qiymatini uchinchi taqqoslamag qo’yamiz: 
80
t
1
+ 13 
≡
9 (
mod
14), yoki 80
t
1
≡
- 4 (
mod
14), bu yerdan 
80
t
1
≡
10 (
mod
14), yoki 40
t
1
≡
5 (
mod
7), yoki 
8
t
1
≡
1 (
mod
7), bu yerdan
t
1
≡
1 (
mod
7), ya’ni, 
t
1
= 7
t
2
+ 1. 
t
1
= 7
t
2
+ 1 ni
x
= 80
t
1
+ 13 ifodaga qo’yib,
x
= 80 (70
t
2
+ 1) + 13 = 560
t
2
+ 93 
ni hosil qilamiz. Shunday qilib,
x
≡
93 (mod 560). 
■
Tekshirish
: 93 – 13 ayirma 16 ga bo’linadi; 93 – 13 ayirma 10 ga bo’linadi; 93 
– 9 ayirma 14 ga bo’linadi. 
Eslatma.
 
16
t
≡
0 (
mod
10) taqqoslamani yechishda biz 8
t
≡
0 (
mod
5) 
taqqoslamani hosil qildik, uning yechimi 
t
≡
0 (
mod
5), yoki 
t
= 5
t
1
berilgan 
taqqoslamaning 
x
= 80
t
1
+ 13 yechimiga olib keldi. Ammo 16
t
≡
0 (
mod
10) 
taqqoslamaning ikkinchi 
t
≡
5 (
mod
10), yoki 
t
= 10
t
1
+ 5 yechimi ham mavjud 
(chunki, 
d
= (16, 10) = 2). Bu yechimni 
x
= 16
t
+ 13 ifodaga qo’yib, 
x
= 16(10
t
1
+ 5) 
+13 = 160
t
1
+ 93 yechimni hosil qilamiz. Lekin 93 
≡
13 (
mod
80) bo’lganligi uchun, 
ya’ni 93 va 13 sonlari 80 modul bo’yicha bir sinfga tegishli bo’lganligi uchun 
x 
ning 
bu qiymatiga mos bo’lgan yechim qaralmaydi. 
Bu eslatmadan (1-misol) agar sistemaning biror taqqoslamasi yoki 
t
1
ga nisbatan 
biror taqqoslama 
m
modul bo’yicha 
d
ta yechimga ega bo’lsa, u holda sistemani 
yechimini topish uchun 
d
ta yechimga ega bo’lgan taqqoslama yechimini unga teng 
kuchli bo’lgan 
m/d 
modul bo’yicha taqqoslama yechimi bilan almashtirish yetarlidir. 
Misol 2. Taqqoslamalar sistemasini yeching: 
(
)
(
)
(
)





≡
≡
≡
5
2
3
35
5
15
11
3
7
d
mo
x
d
mo
x
d
mo
x
Yechilishi
. Sistemaning har bir taqqoslamasini alohida yechib, bu sistemaga teng 
kuchli bo’lgan quyidagit sistemani hosil qilamiz: 
(
)
(
)
(
)





≡
≡
≡
5
4
7
5
11
2
d
mo
x
d
mo
x
d
mo
x
Bu sistemaning modullari juf-jufti bilan o’zaro tub sonlardan iborat bo’lganligi 
uchun uning yechimini (7) formula bilan topish mumkin. 
M
= [11, 7, 5] = 385, 
77
55
35
3
2
1
=
=
=
m
M
m
M
m
M
,
,
. 
sonlarni topib, quyidagi taqqoslamalarni tuzamiz: 
35
u
1
≡
1 (
mod
11), 55
u
2
≡
1 (
mod
7), 77
u
3
≡
1 (
mod
5), 

---

50 
bu yerdan
u
1
= 6,
u
2
= - 1, 
u
3
= 3 larni hosil qilamiz. 
Endi (7) formuladan quyidagini hosil qilamiz: 
x
0
= 35
⋅
6
⋅
2 + 55
⋅
(-1) 
⋅
5 + 77
⋅
3
⋅
4 = 1069 
≡
299 (
mod
385). 
Shunday qilib,
x
≡
299 (
mod
385). 
■
Misol 3. Taqqoslamalar sistemasini yeching: 
(
)
(
)
(
)





≡
≡
≡
12
8
3
7
3
4
9
7
5
d
mo
x
d
mo
x
d
mo
x
Yechilishi
. Berilgan sistemaning uchinchi taqqoslamasida (3, 12) = 3, ammo 8 
soni 3 ga bo’linmaydi, shuning uchun bu taqqoslama ham berilgan sistema ham 
yechimga ega emas. 
Misol 4. Taqqoslamalar sistemasini yeching: 
(
)
(
)
(
)





−
≡
≡
≡
6
1
2
3
3
2
d
mo
x
d
mo
x
d
mo
x
Yechilishi
. Sistemaning dastlabki ikkita taqqoslamasi 
x
≡
-1 (
mod
3) va 
x
≡
-1 
(
mod
2) taqqoslamalarga teng kuchli, shuning uchun ularni uchinchi taqqoslamaning 
natijasi bo’lganligi uchun tashlab yuborilsa bo’ladi. Shunday qilib, sistema uchinchi 
taqqoslamasining yechimi sistemaning ham yechimi bo’ladi, ya’ni.
x
≡
-1 
≡
5 (
mod
6). 
■
Misol 5. 2, 3, 4, 5, 6 va 7 sonlariga bo’linganida mos ravishda 1, 2, 3, 4, 5
va 0 qoldiq hosil bo’ladigan sonni toping. 
Yechilishi
. Masala yuidagi taqqoslamalr sistemasiga keltiriladi: 
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)










≡
≡
≡
≡
≡
≡
7
0
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
d
m
о
x
d
m
о
x
d
m
о
x
d
m
о
x
d
mo
x
d
mo
x
x
≡
1 (
mod
2) yoki 
x
≡
3 (
mod
2) taqqoslama 
x
≡
3 (
mod
4) taqqoslamaning natijasi 
sifatida tashlab yuborilishi mumkin. Xuddi shunday 
x
≡
2 (
mod
3) taqqoslama ham 
olinmaydi. 
Shunday qilib, quyidagi sistemani hosil qilamiz: 
(
)
(
)
(
)
(
)







≡
≡
≡
≡
7
0
6
5
5
4
4
3
d
m
о
x
d
m
о
x
d
m
о
x
d
m
о
x
Bu sistemani yechib,
x
≡
119 (
mod
420) ni hosil qilamaiz. 
■
Misol 6.
 
Quyidagi taqqoslama yechimga ega bo’ladigan 
a
ning qiymatlarini 
toping: 

---

51 
(
)
(
)
(
)





≡
≡
≡
35
21
8
18
5
d
m
о
а
x
d
m
о
x
d
m
о
x
Yechilishi.
Birinchi taqqoslamadan 
x
= 18
t
+ 5 
ni hosil qilamiz.
x
ning bu qiymatini ikkinchi taqoslamaga qo’yib, 
t 
ning qiymatini 
topamiz: 
18
t
+ 5 
≡
8 (
mod
21), yoki 18
t
≡
3 (
mod
21), yoki 6
t
≡
1 (
mod
7),
t
≡
6 (
mod
7). 
t
≡
-1 (
mod
7) ni olish qulayroq, bu yerdan 
t
= 7
t
1
– 1. Bu qiymatni 
x
ning ifodasiga 
qo’yib, 
x
= 16 (7
t
1
– 1) = 5 = 126
t
1
– 13. 
x
ning hosil qilingan qiymatini sistemaning uchinchi taqqoslamaga qo’yamiz: 
126
t
1
– 13 
≡
a
(
mod
35), t.ye. 21
t
1
≡
a
= 13 (
mod
35). 
(21, 35) = 7 bo’lganligi uchun oxirgi taqqoslama yechimga ega bo’lishi uchun
a
+ 13 
≡
0 (
mod
7) taqqoslama yechimga ega bo’lishi kerak, bu yerdan 
a
≡
1 (
mod
7). 
Shunday qilib, berilgan sistema 
a
 
≡
 1 (
mod
 7) bo’lganda yechimga ega. 
■
 
Misol 7.