Reja 1. О‘zgaruvchini almashtirib integrallash usuli. 2. Bо‘laklab integrallash usuli. 3. Sodda kasrlarni integrallash. 10. О‘zgaruvchini almashtirib integrallash usuli. Faraz qilaylik, funksiyaning aniqmas integrali
(1)
berilgan bо‘lib,uni hisoblash talab etilsin.
Kо‘pincha, о‘zgaruvchi ni ma’lum qoidaga kо‘ra boshqa о‘zgaruvchiga almashtirish natijasida berilgan integral sodda integralga keladi va uni hisoblash oson bо‘ladi.
Aytaylik, (1) integraldagi о‘zgaruvchi yangi о‘zgaruvchi bilan ushbu
munosabatda bо‘lib, quyidagi shartlar bajarilsin: 1) funksiya differensiallanuvchi bо‘lsin;
2) funksiya boshlang‘ich funksiya ga ega, ya’ni
(2)
3) funksiya quyidagicha
(3)
ifodalansin.
U holda
bо‘ladi.
◄Murakkab funksiyaning hosilasini hisoblash qoida-sidan foydalanib, (2) va (3) munosabatlarni e’tiborga olib topamiz:
.
Bundan
bо‘lishi kelib chiqadi. ►
Shu yо‘l bilan (1) integralni hisoblash о‘zgaruvchini almashtirib integrallash usuli deyiladi.
Bu usulda, о‘zgaruvchini juda kо‘p munosabat bilan almashtirish imkoniyati bо‘lgan holda ular orasidan qaralayotgan integralni sodda, hisoblash uchun qulay holga keltiradiganini tanlab olish muhimdir.
1-misol. Ushbu integral hisoblansin.
◄Bu integralni о‘zgaruvchisini almashtirib hisoblaymiz:
►
2-misol. Ushbu integral hisoblansin.
◄Avvalo berilgan integralni quyidagicha
yozib olamiz. Bu integralni о‘zgaruvchini almashtirish usuli-dan foydalanib hisoblaymiz:
►
3-misol. Ushbu integral hisoblansin.
◄ Ravshanki,
Unda
bо‘lib,
bо‘lganligi sababli
bо‘ladi.
Agar
bо‘lishini e’tiborga olsak, unda
ekanini topamiz. ►
4-misol. Ushbu integral hisoblansin.
◄Integralda о‘zgaruvchini quyidagicha almashtiramiz:
.
Unda
bо‘lib, undan
bо‘lishi kelib chiqadi.
Natijada
(4)
bо‘lishini topamiz.►