T. C. Gazi ÜNİversitesi fen-edebiyat faküLtesi matematik böLÜMÜ
Yüklə 1,79 Mb. Pdf görüntüsü
|
- Bu səhifədəki naviqasiya:
- Şekil 2.7 İçe Ait Eğriliğin Bulunması
- BÖLÜM 3 AÇI NEDİR
- 3 FARKLI İSPAT İÇİN İPUÇLARI
- 1.İspat
- Şekil 3.5 Açıların çıkarılması ve ölçümleri
- Şekil 3.7 Açıyı rotasyon olarak kullanarak VAT ispatı
- BÖLÜM 4 SİLİNDİR VE KONİLERDE DÜZLÜK
- PROBLEM 4.1 KONİ VE SİLİNDİRLERDE DÜZLÜK a.
- ŞEKİL 4. 3 450 0
- Şekil 4.4 360 0 den Daha Geniş Açılı Koni
|
Teorem 2.1: düzgün bir yüzey üzerindeki her noktada ve her önde bu noktadan geçen ve bu yönde tek bir geodezik vardır. Buradan bütün geodezikler bir büyük dairedir diyebiliriz. Nedenini anlayabildiniz mi?
Küreyi bir şerit ile sarmayı denediniz, burada şerit büyük daire üzerinde sadece bir yol oluşturur.(Eğer hala bunu yapmadıysanız, devam etmeden yapınız). Büyük dairenin yayları kürenin yüzeyinde bulunan ve küreyi saran kağıt parçası üzerindeki düz çizgilere tanjant olan patikalardır. Eğer küreyi küreye enlem dairesi civarında tanjant olan bir kağıt parçası ile sararsanız( Şekil 3.7.),dışa ait olarak kağıt bir koni parçası oluşturacaktır, ve kağıt açıldığında kağıt üzerindeki eğri dairenin yayı olacaktır. Küre yüzeyindeki bir patikanın içe ait eğriliği(1/ yarıçap) bükülmemiş bir kağıdı düzleme koyduğumuzda elde ettiğimiz (1 / yarıçap)’lık eğrilik olarak tanımlanabilir. Daha fazla bilgi için [DG: Henderson]’da Bölüm 3’e bakınız.
Differensiyel geometriciler sabit hızlı hareketin hız vektörü yerine geodezik demeyi tercih ediyorlar. (Hız vektörü, böceğin yürüdüğü patikaya (eğriye) tanjanttır.) Örneğin, büyük daire boyunca yürürseniz hız vektörü yön değiştirecektir, dışa ait olarak 3 boyutlu uzay yön değişimi kürenin merkezine doğru olduğu yerdir. Tüm evreni kürenin yüzeyi olan iki boyutlu böcek için “merkeze doğru” bir yön değişimi olmayacaktır. Böylece böcek hız vektörünü büyük daire üzerinde yön değişimi olarak algılamayacaktır; ama büyük olmayan dairelerde hız vektörünü dairenin merkezine doğru bir yön değişimi olarak algılayacaktır. Differensiyel geometride, böceğe göre değişim oranı kovaryant(veya içe ait) türevdir. Böcek geodezik’i bir yandan öbür yana geçtiği için hız vektörünün kovaryant türevi sıfırdır. Buna paralel taşınmada denir.(Bölüm 7,8 ve 10’da bahsedilecek). differensiyel Geometrideki bu fikirler için [DG: Henderson]’a bakınız.
BÖLÜM 3 AÇI NEDİR? (Düzlem) Açı, bir noktada keşişen ama düz doğru olmayan iki doğrunun oluşturduğu eğimdir.- Öklid, Elementler, Tanım 8 [Appendix A]. Bu bölümde açılar hakkında düşüneceksiniz. 3.1’de değerli fikirleri ve açı tanımlarını ve açılar için aynı(eşit) olmanın ne demek olduğunu göstereceğiz. 3.2’de önemli bir teorem olan dikey açı teoremini (VAT) ispatlayacağız. Bu sırayı izlemeye gerek yok. Problem 3.2’yi 3.1’e göre daha kolay bulabilirsiniz çünkü size açılar hakkında düşünmeniz için yardım edebilir. Açıkçası, 3.1 ve 3.2 üzerinde aynı zamanda çalışmalısınız çünkü birbirleriyle yakından ilişkililer. Bu Bölüm 1 ve 2’de düzlük hakkında öğrendiklerinizi uygulamak ve ne öğrendiğinizi ölçmek için iyi bir fırsat olacaktır. Ayrıca Bölüm 4 ve 5’te düzlük konusunda da yardımcı olacaktır, ama eğer isterseniz Bölüm 4 ve 5’e çalıştıktan sonra bu bölüme çalışabilirsiniz.
“Açı” kavramının olası bazı tanımlarını veriniz. Bütün bu tanımlar düzleme kürelere uygulandıkları gibi uygulanabilirler mi? Bu tanımların her birinin avantajları ve dezavantajları nelerdir? Her bir tanım için, iki açının eşit olması ne demektir? Nasıl kontrol ederiz? ÖNERİLER Dil bilimine göre, ‘açı’ kelimesi Eski İngilizce , Eski Fransızca, Eski Almanca, Latince ve Yunanca “hook” kelimesine karşılık gelir. Ders kitapları bazı değişik tanımlar verirler: Açı aynı bitiş noktasına sahip iki ışının (parçanın) bileşimidir. Eğer, aynı bitiş noktasına sahip iki düz doğru parçası ile başlasak, ve sonra uçlarına düz olmayan parçalar eklesek, sonuç itibari ile aralarındaki açı değişmiştir diyebilir miyiz?Bunun gibi, kitabın sayfasının sol alt köşesinde oluşan açıya bakınız. Birinci sınıf öğrencileri dahi bunun açı kavramına örnek olduğunu anlayacaktır. Şimdi, köşeyi yırtınız(En azından hayalinizde). Hala orada yırttığınız parça üzerinde bir açı var mı? Şimdi açının birkaç yanından birer parça yırtıp alınız, köşeden yırtmamaya dikkat ediniz. Açı hala orada değil mi? Bakınız Şekil 3.1.
Şekil 3.1 Açı Nerededir?
Acaba açının hangi parçası açının genişliğini belirler, yoksa açının bütünü mü belirler? Açı nedir? Burada bir çok durumun birini bizim yapmamızdan çok çocuklar bilebilirler: Bu anlayışa dikkat ediniz. Daha iyi bir “açı” tanımı yapabilir miyiz? Tamamıyla sağlayan formal bir tanım bulmamızı beklemeyin; açı nedir deneyimlerimizi bütün eksik yanları için formal bir tanım bulamayız gibi görünüyor. “açı” tanımı yapabilmeniz için en az 3 farklı bakış açısı (perspektif) var: •
•
Açıyı ölçü olarak alma ve •
Açıyı geometrik şekil olarak alma Açının dinamik düşüncesi; aksiyon (hareket) içerir; dönme, dönme noktası, veya iki doğru arasındaki yön değişimi.Ölçü olarak açı; dairesel yayların uzunluğu yada daire kesitlerinin alanları arasındaki oran olarak düşünülebilir. Geometrik şekil düşüncesi olarak açı; kesişen iki doğru tarafından uzayın çizilmiş şekli olarak görülebilir. Bu bakışların her biri açı eşitliğini kontrol etmek için metotlara sahipler. İki dinamik açının eşitliğini oluşturma ve kopyalama olaylarını içeren hareketlerin hepsinin aynı olduğunu ispatlayarak kontrol edebilirsiniz. Eğer açıyı ölçü olarak düşünürseniz, iki açının da aynı ölçüde olduğunu göstermek zorundasınız. Eğer açıyı geometrik şekil olarak tanımlarsanız, bir açının diğeriyle nasıl çakıştığını izometrileri kullanarak tanımlarsınız. Yukarıdaki tanımlardan hangisi sizin için daha anlamlı? Açıyı tanımlamanın başka kullanışlı yolları var mıdır? Bazen “yönlü açılar” hakkında konuşuruz. Yönlü açıları düşünürken Şekil 3.2’de olduğu gibi α ve β aynı değiller fakat eşit ölçü ve zıt yönlere sahip açılardır deriz. Doğru parçaları ve vektörler arasındaki benzerlik ilişkisini düşününüz.
Şekil 3.2 Yönlü Açılar
PROBLEM 3.2 DİKEY AÇI TEOREMİ (VAT)
Şekil 3.3 VAT İspat: Kesişen iki düz doğrunun oluşturduğu zıt açılar eştir. [Not: α ve β gibi açılar(dikey açılar olarak adlandırılır). İspatınızda kullandığınız düz doğru veya düzlemin özellikleri nelerdir? İspatınız kürelerde de geçerlimidir? Niçin? Problem 3.2 ‘deki hangi tanımları kullandınız? α’yı β ile çakıştırmak için α’yı nasıl hareket ettirebileceğinizi gösteriniz. Amerikan Lise geometrisinde kullanılan 2 satırlık formal ispatı kastetmiyoruz. Pratik matematikçiler genellikle “ispatı” “ neden sorusunun inandırıcı iletişimleri” anlamında kullanırlar. Sizden kullanmanızı istediğimiz ispat fikridir. İspatın 3 özelliği vardır: •
İletişim kurmalıdır( kelimeler ve çizimler açık bir şekilde ne söylemek istediğinizi anlatmalı ve okuyucu veya dinleyicileriniz tarafında anlaşılır olmalıdır) •
olamalı, yani şüpheli olan bir kişiyi inandırmalıdır.) •
Neden sorusunu cevaplamalıdır ( Neden doğru, anlamı ne, nereden geliyor?) Hedef anlayıştır. Anlamadan asla tam olarak memnun olmayacağız. Anlayış ile anlamayı ve anladığımızı diğerlerine iletmeyi genişletmek istiyoruz. Simetriler problem 1.1 ve problem 2.1 için çözümlerinizin önemli elementleriydi. Bu problem içinde çok kullanışlı olacaktır. Bu problemde kusursuz (hatasız) açı ölçümleri hakkında düşünmeniz isteniyor, ama ispatta kullandığımız doğru simetrileri genellikle daha basit. Dikey açıları bütün geometrik şekiller olarak düşünmek çoğu zaman bize yardımcı olur. Ayrıca, açılara bakmanın bir çok farklı yolu bulunduğunu aklımızda bulunduralım, bu nedenle VAT ı ispatlamanın bir çok yolu vardır. Problem 3.1 deki açı fikri ve açı eşliği ile problem 3.2’deki ispatınızın tutarlı olduğundan emin olunuz, ve benzeri. 3.1’deki herhangi bir tanım ayrı ayrı yada birlikte VAT ı ispatlamanızda size yardımcı olur. ! Burada durmalısınız ve Problem 3.1 ve 3.2 hakkındaki görüşleriniz ve fikirleriniz oturmadan okumaya devam etmemelisiniz.
3 FARKLI İSPAT İÇİN İPUÇLARI Bu bölümde, VAT ‘ ın 3 farklı ispatı için ipucu vereceğiz. Her ispat için özel bir açı fikri kabul ediliyor. Bu ispatlarda birini al veya açı fikri ve açı eşliği ile tutarlı sana daha anlamlı gelen farklı bir ispat bul. 1.İspat:
Şekil 3.4. Açıyı ölçü olarak kullanarak VAT. Her bir doğru 180° açı oluşturur. Böylece α+γ=β+γ. Bakınız Şekil 3.4. Böylece, α≈β sonucunu çıkarabiliriz. Ama öyle mi? Verilen iki açıyı 180° den çıkardığımız zaman kalan açılar eş mi oluyor, bu her zaman doğru mu? Bakınız Şekil 3.5
Şekil 3.5 Açıların çıkarılması ve ölçümleri Sayısal olarak, açıları nasıl çıkarttığımız fark etmez ama geometrik olarak büyük bir fark vardır. Bakınız Şekil 3.5! Burada
ε , δ ile aynı olarak düşünülemez. Böylece , ölçü bu durumun geometrisinde gördüğümüzü tam anlamıyla ifade edemez. Açıyı ölçü olarak düşünme fikrini kurtarmak istiyorsanız, VAT’ın ispatında neden γ açısı α+γ=β+γ eşitliğinin her iki tarafından da çıkarılabildiğini açıklamalısınız.
Şekil 3.6 δ ve ε aynı değiller! 2.İspat: Üst üste olan iki doğruyu düşününüz ve onların üzerinde herhangi bir noktayı seçiniz. Doğrular bir noktada kesişmiş olacak ve doğrudan biri sabit kalmak koşulu ile diğer doğruyu çeviriniz. Bakınız Şekil 3.7
Şekil 3.7 Açıyı rotasyon olarak kullanarak VAT ispatı
Ne olur? Burada hangi açı fikri ve açı eşliği çalışmaktadır? 3.İspat: α’nın β üzerine hangi simetrileri vardır? Bakınız Şekil 3.3 veya Şekil 3.4. Bölüm 1 ve 2’de öğrendiğimiz düz doğru özelliklerini kullanınız.
BÖLÜM 4 SİLİNDİR VE KONİLERDE DÜZLÜK Koninin tabanına paralel bir kesit alınırsa, kesitin oluşturduğu iki zıt yüzey hakkında nasıl düşünmeliyiz.-eşit mi, eşit değil mi? Eğer eşit değillerse, koni birçok kırık ve çıkıntıdan (basamak gibi) oluşur. Öyle yandan, eğer eşitlerse, iki komşu çakışık düzlem eşittir. Eşit olmayanlardansa eşit dairelerden oluştuğunu düşünürsek, silindir ortaya çıkacaktır, gülünç gelebilir. Democritus of Abdera ( MÖ ~ 460 - ~ 380) Bu alıntı silindir ve konilerin Öklid öncesi (MÖ ~365 - ~300 ) matematiksel bir araştırma konusu olduklarını göstermektedir. Bu bölümde silindir ve konilerde düzlüğü anlatacağız. Düzlüğü “lokal içe ait fikir” olarak iyice anlamış olmalısınız (böceğin bakış açısını).Bu düzlük düşüncesi differensiyel geometride ki geodezik düşüncesinin temelini oluşturmaktadır. Bölüm 4 ve 5 sırasıyla okunabilir, ama 4.1’de ki silindir ve koniler hakkında ki deneyimler 5.1’de ki hiperbolik düzlemi anlama konusunda okuyucuya yardımcı olacağını düşünüyoruz. Eğer okuyucu düzlüğü “lokal içe ait” düşünce olarak anlamışsa, okuyucu bölüm 18 ve 24’teki geometrik monifoldları çalışmayacaksa, bölüm 4’ü atlayabilir. Ancak, bu bölümün sonunda ki kısmı ( En kısa her zaman düz müdür ve differensiyel geometride bağıntılar) okumanızı tavsiye ederiz. ( Bk. Appendix A)En azından Öklid’in 4. postilat’ı koniler ve silindirler hakkında ne yapmamız gerektiğini ortaya çıkarmak için yeterlidir. Kürenin yüzeyindeki büyük dairelere baktığımız zaman, merkezi simetri dışındaki tüm düz doğru simetrilerini evrensel dışa ait bakış açısından görebiliyorduk. Örneğin, büyük daire dışa ait olarak küreyi birbirinin tıpatıp aynısı olan iki yarım küreye böler. Bu nedenle küreye böceğin lokal ve içe ait bakış açısındansa dıştan bakmak daha kullanışlı olacaktır. Ancak, koni ve silindirlerde lokal içe ait bakış açısını kullanmamız gerekmektedir çünkü özel durumlar dışında diğer dışa ait bakış açısı oluşmamaktadır.
•
Silindir veya koni üzerinde geodezikler kendi kendileriyle kesişebilirler mi? •
Silindir veya koni üzerinde iki noktanın bulunduğu başka geodezik olabilir mi?
•
360 0 den daha büyük koni açısına sahip konilerin açısını değiştirirsek ne olur?
ÖNERİLER! Problem 4.1 problem 2.1 e benzemektedir fakat bu kez yüzey silindir veya koni yüzeyidir. Kağıt modeller yapınız fakat koni ve silindirin alt ve üsttü olmadan tanımsız olarak devam ettiğini düşününüz( tabi ki koni noktası (tepe noktası) dışında). Tekrar, kendimizi bütün evreni koni veya silindir olan bir böcek olarak hayal ediniz. Bu böcek bu yüzeylerden birinin etrafında seyahat ederken düzlük olarak deneyimi ne olacaktır? Daha önce de söylediğimiz geodezik olarak adlandırılan yüzeylerde patikalar düzdür. Bu sorular hakkında düşünmeye başladığınız zaman muhtemelen bu konuyla alakalı diğer geometrik fikirleri de aklınıza gelecektir. Alakasız konuların varlığı sizi endişelendirmesin. Sık sık kendinizi konu ile alakalı olmayan ortamlarda bulabilirsiniz bu anlaşılabilir bir durumdur. Ancak, alakalı konular üzerinde düşünmek sizi problemin derinliğini ve alanını anlamak konusunda daha da zenginleştirecektir. Problem hakkındaki karışıklıklar üzerinde çalışmaktansa diğerlerinin bulduğu öneriler üzerinde çalışmayı deneyiniz. Önerilerin her biri koni ya da silindirin üretimini veya kullanımını içermektedir. •
problemde birçok bakış açısı var ama ilk bakışta silindir üzerinde çalışmak bazı şeyleri basitleştirecektir. •
yuvarlamadığımız zamanda böcek için aynı olacak mıdır? Aksini düşünürsek, eğer kâğıt üzerine düz doğru çizdikten sonra yuvarlarsak, kağıt üzerinde hareket eden böcek için bu doğru düz olmaya devam edecek midir? Burada kâğıdın esnek olmadığını varsayıyor ve kalınlığını ihmal ediyoruz. •
düz doğruyu izleyip izlemeyeceğini kendinize ispatlayın ayrıca,silindir veya konideki bu düz doğrulara lokal ve içe ait olarak baktığımızda düzlem üzerinde aynı simetrilere sahip olduğunu ispatlayınız. •
Eğer bir silindiri bir düzlemle keser ve açarsanız nasıl bir eğri elde edersiniz? Eğri düz müdür?( bu eğriyi görmenin bir yolu kağıt silindiri suya bırakmaktır.). •
keserler? Bu soru problem 4.2 de detaylı incelenecektir ilgili okuyucular oraya yönelebilirler. •
tanedir? Bu soruda problem 4.2 de detaylı incelenecektir. Bu problem üzerinde çalışırken aklımızda tutmamız gereken birkaç önemli nokta var. Birincisi, kesinlikle model kullanmalısınız. Eğer koni veya silindir üzerinde görsel çizgi oluşturursanız bunlar hakkında düşünürken yaptığınız hataları kolaylıkla görebilirsiniz. Şeffaf kağıtlar kullanarak model yapmayı birçok öğrenci yardımcı bulur. İkincisi, kürelerde olduğu gibi silindir veya koni üzerindeki üçgenler ve doğrular hakkında içe ait olarak düşünmelisiniz.(her zaman böceğin bakış açısı ile bakmalısınız). Burada üç boyutlu ortamda ne olduğu ile ilgilenmiyoruz, sadece silindir veya koni yüzeyinde deneyimimizin ne olduğu ve ne gördüğümüzle ilgileniyoruz. Ve son olarak, farklı şekillerdeki (farklı koni açılarına sahip) konilere bakmalısınız.
Geodezikler farklı şekillerdeki konilerde farklı davranırlar. Bu nedenle en önemli değişken tepe açısıdır. Tepe açısı genellikle koni yüzeyi üzerindeki nokta etrafında ölçülmüş açı olarak tanımlanır. Dikkat ederseniz bu açının içe ait tanımıdır. Böcek koni noktasını(tepe noktası) merkez kabul ederek içe ait bir daire oluşturup, sonra bu dairenin çevresini yarıçapa bölerek tepe açısı(radyan) bulabilir.Tepe açısını dışa ait olarak şu şekilde ölçeriz: koniyi ana doğrusunda(tepe noktası etrafında koni üzerindeki doğru) kesiniz ve açınız. Böylece koninin tepe açısının ölçüsü düzlemsel daire diliminin açı ölçüsüne eşit olacaktır.
Örneğin, bir kağıdı alıp bir tarafın yarısını diğer yarısı ile buluşacak şekilde bükersek 180 0 lik
koni elde ederiz.(bakınız şekil 4.1) 90 0 lik koni yapmakta kolay- sadece kağıdın köşelerini kullanınız ve bir yanı komşu yanla birleştiriniz. Daha geniş konilere de bakmalıyız. Bunun bir yolu değişken koni açısına sahip bir koni yapmak olabilir. Bir kağıt parçasını alıp bir kenardan merkeze doğru keserek(veya yırtarak) elde edebiliriz. (bakınız şekil 4.2) Dikdörtgen bir kağıttansa daire şeklindeki bir kağıt daha kullanışlı olacaktır. Kesit çizgisinin düz olmasına gerek yok.
Şekil 4.2 Değişken Tepe Açılı (0–360) Bir Koni
360 0 lik bir koniye zaten baktınız ( sadece bir düzlem). Tepe açısı 360 0 den büyük olabilir. Bilindik geniş koni 450 0 lik konidir. Buna benzer konileri muhtemelen duvarlarda, koridorlarda ya da odanızın tavanında görmüşsünüzdür. Şekil 4.3 teki gibi bir kağıt parçasını kesip daha sonra 90 0 lik bir parça ekleyerek (360 +90 = 450) bu koniyi elde edebiliriz.
Şekil 4.3 450 0 lik koni
ŞEKİL 4. 3 450 0 ‘lik Koni Yapımı Bunun koni olduğuna inanmayabilirsiniz, dondurma külahı gibi olmaması bunun koni olmayacağı anlamına gelmez. Eğer çıkıntılar ve kıvrımlar sizi rahatsız ediyorsa onları yok edebiliriz- koni içine kıvrık olacaktır. Bu sadece dışa ait görünüşü değiştirecektir. İçe ait olarak bir fark yoktur.Ancak bu kullanışlı değildir. Koninin bazı tanımlarını düşünmek size yardımcı olabilir. Örneğin, P merkezli bir küre ve küre üzerinde kapalı bir a eğrisi alınız P den başlayıp a üzerindeki her bir noktaya giden ışınların bileşimi koniyi oluşturur. Koni açısı a nın uzunluğunun kürenin yarıçapına oranına eşittir( radyan cinsinden). Neden olduğunu anladınız mı? Ayrıca, 180 0 lik açıdan daha çok değişken tepe açısına sahip koniler elde edebiliriz. İki kağıt parçasını alınız. Merkezlerini şekil 4.4 teki gibi bir araya getirerek yarınız . Şekildeki gibi üsteki kesitin sağ tarafını alttakinin sol tarafına şeritle bağlayınız. Şimdi diğer yanları da böyle bağlayınız. Deneyiniz!
0 den Daha Geniş Açılı Koni Kağıtlar kullanarak şekil 4.4 teki gibi koni örnekleri elde etmeyi deneyiniz. 450 0 lik koni üzerindeki doğrular ve üçgenlere ne oldu? En kısa mesafe her zaman düz müdür? Her nokta çifti bir düz doğru tanımlar mı? Sonuç olarak, koni ve silindir üzerindeki doğru simetrilerini düşününüz. Düşündüğünüz simetrilerin bu yüzeylerde çalışıp çalışmadığını kontrol ediniz. İçe ait ve lokal olarak düşünmeyi unutmayınız. Koni ve silindir üzerindeki özel geodezik sınıfına ana doğru denir. Bunlar tepe
noktasından geçen düz doğrular ya da silindir eksenine paralel düz doğrulardır. Bu doğrular bazı dışa ait simetriye sahiptirler( hangileri olduğunu görebildiniz mi?), ama genel olarak geodezikler sadece lokal,içe ait simetriye sahiptirler. Ayrıca, tepe noktasına yakın alanı düşününüz. Bu alanda koninin geri kalan alanı dışında ne olmaktadır? Yüklə 1,79 Mb. Dostları ilə paylaş:
|