T. C. Gazi ÜNİversitesi fen-edebiyat faküLtesi matematik böLÜMÜ



Yüklə 1,79 Mb.
Pdf görüntüsü
səhifə3/5
tarix28.01.2017
ölçüsü1,79 Mb.
#6582
1   2   3   4   5

Teorem 2.1: düzgün bir yüzey üzerindeki her noktada ve her önde bu noktadan geçen ve bu 

yönde  tek bir geodezik vardır. 

Buradan bütün geodezikler bir büyük dairedir diyebiliriz. Nedenini  anlayabildiniz mi? 

*İÇE AİT EĞRİLİK 

Küreyi bir şerit ile sarmayı denediniz, burada şerit büyük daire üzerinde sadece bir yol oluşturur.(Eğer 

hala bunu yapmadıysanız, devam etmeden yapınız). Büyük dairenin yayları kürenin yüzeyinde 

bulunan ve küreyi saran kağıt parçası üzerindeki düz çizgilere tanjant olan patikalardır. Eğer küreyi 

küreye enlem dairesi civarında tanjant olan bir kağıt parçası ile sararsanız( Şekil 3.7.),dışa ait olarak 

kağıt bir koni parçası oluşturacaktır, ve kağıt açıldığında kağıt üzerindeki eğri dairenin yayı olacaktır. 

Küre yüzeyindeki bir patikanın içe ait eğriliği(1/ yarıçap) bükülmemiş bir kağıdı düzleme 

koyduğumuzda elde ettiğimiz (1 / yarıçap)’lık eğrilik olarak tanımlanabilir. Daha fazla bilgi için [DG: 

Henderson]’da Bölüm 3’e bakınız. 


 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

Şekil 2.7 İçe Ait Eğriliğin Bulunması 

 

Differensiyel geometriciler sabit hızlı hareketin hız vektörü yerine geodezik demeyi tercih ediyorlar. 



(Hız vektörü, böceğin yürüdüğü patikaya (eğriye) tanjanttır.) Örneğin, büyük daire boyunca yürürseniz 

hız vektörü yön değiştirecektir, dışa ait olarak 3 boyutlu uzay yön değişimi kürenin merkezine doğru 

olduğu yerdir. Tüm evreni kürenin yüzeyi olan iki boyutlu böcek için “merkeze doğru” bir yön 

değişimi olmayacaktır. Böylece böcek hız vektörünü büyük daire üzerinde yön değişimi olarak 

algılamayacaktır; ama büyük olmayan dairelerde hız vektörünü dairenin merkezine doğru bir yön 

değişimi olarak algılayacaktır. Differensiyel  geometride, böceğe göre değişim oranı kovaryant(veya 

içe ait) türevdir. Böcek geodezik’i bir yandan öbür yana geçtiği için hız vektörünün kovaryant türevi 

sıfırdır. Buna paralel taşınmada denir.(Bölüm 7,8 ve 10’da bahsedilecek). differensiyel Geometrideki 

bu fikirler için [DG: Henderson]’a bakınız. 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



                                                                                                                                   

BÖLÜM 3 

 

AÇI NEDİR? 

(Düzlem) Açı, bir noktada keşişen ama düz doğru olmayan iki doğrunun oluşturduğu eğimdir.- Öklid, 

Elementler, Tanım 8 [Appendix A]. 

Bu bölümde açılar hakkında düşüneceksiniz. 3.1’de değerli fikirleri ve açı tanımlarını ve açılar için 

aynı(eşit) olmanın ne demek olduğunu göstereceğiz. 3.2’de önemli bir teorem olan dikey açı teoremini 

(VAT) ispatlayacağız. Bu sırayı izlemeye gerek yok. Problem 3.2’yi 3.1’e göre daha kolay 

bulabilirsiniz çünkü size açılar hakkında düşünmeniz için yardım edebilir. Açıkçası, 3.1 ve 3.2 

üzerinde aynı zamanda çalışmalısınız çünkü birbirleriyle yakından ilişkililer. Bu Bölüm 1 ve 2’de 

düzlük hakkında öğrendiklerinizi uygulamak ve ne öğrendiğinizi ölçmek için iyi bir fırsat olacaktır. 

Ayrıca Bölüm 4 ve 5’te düzlük konusunda da yardımcı olacaktır, ama eğer isterseniz  Bölüm 4 ve 5’e 

çalıştıktan sonra bu bölüme çalışabilirsiniz. 

PROBLEM 3.1 AÇI NEDİR? 

“Açı” kavramının olası bazı tanımlarını veriniz. Bütün bu tanımlar düzleme kürelere uygulandıkları 

gibi uygulanabilirler mi? Bu tanımların her birinin avantajları ve dezavantajları nelerdir? 

Her bir tanım için, iki açının eşit olması ne demektir? Nasıl kontrol ederiz? 



ÖNERİLER 

Dil bilimine göre, ‘açı’ kelimesi Eski İngilizce , Eski Fransızca, Eski Almanca, Latince ve Yunanca 

“hook” kelimesine karşılık gelir. Ders kitapları bazı değişik tanımlar verirler: Açı aynı bitiş noktasına 

sahip iki ışının (parçanın) bileşimidir. 

Eğer, aynı bitiş noktasına sahip iki düz doğru parçası ile başlasak, ve  sonra uçlarına düz olmayan 

parçalar eklesek, sonuç itibari ile aralarındaki açı değişmiştir diyebilir miyiz?Bunun gibi, kitabın 

sayfasının sol alt köşesinde oluşan açıya bakınız. Birinci sınıf öğrencileri dahi bunun açı kavramına 

örnek olduğunu anlayacaktır. Şimdi, köşeyi yırtınız(En azından hayalinizde). Hala orada yırttığınız 

parça üzerinde bir açı var mı? 

Şimdi açının birkaç yanından birer parça yırtıp alınız, köşeden yırtmamaya dikkat ediniz. Açı hala 

orada değil mi? Bakınız Şekil 3.1. 

 

 



 

 

 

                                                    Şekil 3.1 Açı Nerededir? 

 


     Acaba açının hangi parçası açının genişliğini belirler, yoksa açının bütünü mü belirler? Açı nedir? 

Burada bir çok durumun birini bizim yapmamızdan çok çocuklar bilebilirler: Bu anlayışa dikkat 

ediniz. Daha iyi bir “açı” tanımı yapabilir miyiz? 

Tamamıyla sağlayan formal bir tanım bulmamızı beklemeyin; açı nedir deneyimlerimizi bütün eksik 

yanları için formal bir tanım bulamayız gibi görünüyor. 

“açı” tanımı yapabilmeniz için en az 3 farklı bakış açısı (perspektif) var: 

 

Açının dinamik düşünülmesi – açıyı hareket olarak alma



 

Açıyı ölçü olarak alma ve 



 

Açıyı geometrik şekil olarak alma 



Açının dinamik düşüncesi; aksiyon (hareket) içerir; dönme, dönme noktası, veya iki doğru arasındaki 

yön değişimi.Ölçü olarak açı; dairesel yayların uzunluğu yada daire kesitlerinin alanları arasındaki 

oran olarak düşünülebilir. Geometrik şekil düşüncesi olarak açı; kesişen iki doğru tarafından uzayın 

çizilmiş şekli olarak görülebilir. Bu bakışların her biri açı eşitliğini kontrol etmek için metotlara 

sahipler. İki dinamik açının eşitliğini oluşturma ve kopyalama olaylarını içeren hareketlerin hepsinin 

aynı olduğunu ispatlayarak kontrol edebilirsiniz. Eğer açıyı ölçü olarak düşünürseniz, iki açının da 

aynı ölçüde olduğunu göstermek zorundasınız. Eğer açıyı geometrik şekil olarak tanımlarsanız, bir 

açının diğeriyle nasıl çakıştığını izometrileri kullanarak tanımlarsınız. Yukarıdaki tanımlardan hangisi 

sizin için daha anlamlı? Açıyı tanımlamanın başka kullanışlı yolları var mıdır? 

Bazen “yönlü açılar” hakkında konuşuruz. Yönlü açıları düşünürken Şekil 3.2’de olduğu gibi α ve β 

aynı değiller fakat eşit ölçü ve zıt yönlere sahip açılardır deriz. Doğru parçaları ve vektörler arasındaki 

benzerlik ilişkisini düşününüz. 

 

 

 



 

 

 



 

 

 



Şekil 3.2 Yönlü Açılar 

 

 



 

 

 



PROBLEM 3.2  DİKEY AÇI TEOREMİ (VAT) 

 

 



 

 

 



 

 

Şekil 3.3 VAT 

 

İspat: Kesişen iki düz doğrunun oluşturduğu zıt açılar eştir. [Not: α ve β gibi açılar(dikey açılar 

olarak adlandırılır). İspatınızda kullandığınız düz doğru veya düzlemin özellikleri nelerdir? İspatınız 

kürelerde de geçerlimidir? Niçin? Problem 3.2 ‘deki hangi tanımları kullandınız? 

α’yı  β ile çakıştırmak için α’yı nasıl hareket ettirebileceğinizi gösteriniz. Amerikan Lise geometrisinde 

kullanılan 2 satırlık formal ispatı kastetmiyoruz. Pratik matematikçiler genellikle “ispatı” “ neden 

sorusunun inandırıcı iletişimleri” anlamında kullanırlar. Sizden kullanmanızı istediğimiz ispat fikridir. 

İspatın 3 özelliği vardır: 

 



İletişim kurmalıdır( kelimeler ve çizimler açık bir şekilde ne söylemek istediğinizi anlatmalı ve 

okuyucu veya dinleyicileriniz tarafında anlaşılır olmalıdır) 

 

İnandırıcı olmalıdır (İspatınızın sizin için, öğrencileriniz için, öğretmeniniz için inandırıcı 



olamalı, yani şüpheli olan bir kişiyi inandırmalıdır.) 

 



Neden sorusunu cevaplamalıdır ( Neden doğru, anlamı ne, nereden geliyor?) 

Hedef anlayıştır. Anlamadan asla tam olarak memnun olmayacağız. Anlayış ile anlamayı ve 

anladığımızı diğerlerine iletmeyi genişletmek istiyoruz. Simetriler problem 1.1 ve problem 2.1 için 

çözümlerinizin önemli elementleriydi. Bu problem içinde çok kullanışlı olacaktır. Bu problemde 

kusursuz (hatasız) açı ölçümleri hakkında düşünmeniz isteniyor, ama ispatta kullandığımız doğru 

simetrileri genellikle daha basit. Dikey açıları bütün  geometrik  şekiller olarak düşünmek çoğu zaman 

bize yardımcı olur. Ayrıca, açılara bakmanın bir çok farklı yolu bulunduğunu aklımızda bulunduralım, 

bu nedenle VAT ı ispatlamanın bir çok yolu vardır. 

Problem 3.1 deki açı fikri ve açı eşliği ile problem 3.2’deki ispatınızın tutarlı olduğundan emin olunuz, 

ve benzeri. 3.1’deki herhangi bir tanım ayrı ayrı yada birlikte VAT ı ispatlamanızda size yardımcı olur. 



!

Burada durmalısınız ve Problem 3.1 ve 3.2 hakkındaki görüşleriniz ve fikirleriniz oturmadan 

okumaya devam etmemelisiniz. 

 


3 FARKLI İSPAT İÇİN İPUÇLARI 

Bu bölümde, VAT ‘ ın 3 farklı ispatı için ipucu vereceğiz. Her ispat için özel bir açı fikri kabul 

ediliyor. Bu ispatlarda birini al veya açı fikri ve açı eşliği ile tutarlı sana daha anlamlı gelen farklı bir 

ispat bul. 



1.İspat

 

 



 

 

 



 

Şekil 3.4. Açıyı ölçü olarak kullanarak VAT. 

Her bir doğru 180° açı oluşturur. Böylece α+γ=β+γ. Bakınız Şekil 3.4. 

Böylece, α≈β sonucunu çıkarabiliriz. Ama öyle mi? Verilen iki açıyı 180° den çıkardığımız zaman 

kalan açılar eş mi oluyor, bu her zaman doğru mu? Bakınız Şekil 3.5 

 

 

 



 

 

 



 

Şekil 3.5 Açıların çıkarılması ve ölçümleri 

Sayısal olarak, açıları nasıl çıkarttığımız fark etmez ama geometrik olarak büyük bir fark vardır. 

Bakınız Şekil 3.5! 

Burada


ε ,

δ ile aynı olarak düşünülemez. Böylece , ölçü bu durumun geometrisinde gördüğümüzü tam 

anlamıyla ifade edemez. Açıyı ölçü olarak düşünme fikrini kurtarmak istiyorsanız, VAT’ın ispatında 

neden γ açısı α+γ=β+γ eşitliğinin her iki tarafından da çıkarılabildiğini açıklamalısınız. 

 

 

 



 

 

 



 

 

Şekil 3.6 

δ  ve ε  aynı değiller! 



2.İspat: Üst üste olan iki doğruyu düşününüz ve onların üzerinde herhangi bir noktayı seçiniz. 

Doğrular bir noktada kesişmiş olacak ve doğrudan biri  sabit kalmak koşulu ile diğer doğruyu 

çeviriniz. Bakınız Şekil 3.7 

 

 



 

 

 



 

 

 



                                 Şekil 3.7 Açıyı rotasyon olarak kullanarak VAT ispatı 

 

 



 Ne olur? Burada hangi açı fikri ve açı eşliği çalışmaktadır? 

 

3.İspat: α’nın β üzerine hangi simetrileri vardır? Bakınız Şekil 3.3 veya Şekil 3.4. Bölüm 1 ve 2’de 

öğrendiğimiz düz doğru özelliklerini kullanınız. 



 

 

 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                                                      BÖLÜM 4 

 

SİLİNDİR VE KONİLERDE DÜZLÜK 

Koninin tabanına paralel bir kesit alınırsa, kesitin oluşturduğu iki zıt yüzey hakkında nasıl 

düşünmeliyiz.-eşit mi, eşit değil mi? Eğer eşit değillerse, koni birçok kırık ve çıkıntıdan 

(basamak gibi) oluşur. Öyle yandan, eğer eşitlerse, iki komşu çakışık düzlem eşittir. Eşit 

olmayanlardansa eşit dairelerden oluştuğunu düşünürsek, silindir ortaya çıkacaktır, gülünç 

gelebilir.    

Democritus of Abdera ( MÖ ~ 460 - ~ 380) 

Bu alıntı silindir ve konilerin Öklid öncesi (MÖ ~365 - ~300 ) matematiksel bir araştırma 

konusu olduklarını göstermektedir. Bu bölümde silindir ve konilerde düzlüğü anlatacağız.  Düzlüğü 

“lokal içe ait fikir” olarak iyice anlamış olmalısınız (böceğin bakış açısını).Bu düzlük düşüncesi 

differensiyel geometride ki geodezik düşüncesinin temelini oluşturmaktadır. Bölüm 4 ve 5 sırasıyla 

okunabilir, ama 4.1’de ki silindir ve koniler hakkında ki deneyimler 5.1’de ki hiperbolik düzlemi 

anlama konusunda okuyucuya yardımcı olacağını düşünüyoruz. Eğer okuyucu düzlüğü “lokal içe ait” 

düşünce olarak anlamışsa, okuyucu bölüm 18 ve 24’teki geometrik monifoldları çalışmayacaksa, 

bölüm 4’ü atlayabilir. Ancak, bu bölümün sonunda ki kısmı ( En kısa her zaman düz müdür ve 

differensiyel geometride bağıntılar) okumanızı tavsiye ederiz. ( Bk. Appendix A)En azından Öklid’in 

4. postilat’ı koniler ve silindirler hakkında ne yapmamız gerektiğini ortaya çıkarmak için yeterlidir. 

Kürenin yüzeyindeki büyük dairelere baktığımız zaman, merkezi simetri dışındaki tüm düz doğru 

simetrilerini evrensel dışa ait bakış açısından görebiliyorduk. Örneğin, büyük daire dışa ait olarak 

küreyi birbirinin tıpatıp aynısı olan iki yarım küreye böler. Bu nedenle küreye böceğin lokal ve içe ait 

bakış açısındansa dıştan bakmak daha kullanışlı olacaktır. Ancak, koni ve silindirlerde lokal içe ait 

bakış açısını kullanmamız gerekmektedir çünkü özel durumlar dışında diğer dışa ait bakış açısı 

oluşmamaktadır. 

 

PROBLEM 4.1 KONİ VE SİLİNDİRLERDE DÜZLÜK 

a.Silindir veya koninin yüzeyinde hangi doğrular düz olur? Neden? Neden değil? 

b.Lütfen inceleyiniz. 

 



Silindir veya koni üzerinde geodezikler kendi kendileriyle kesişebilirler mi? 

 



Silindir veya koni üzerinde iki noktanın bulunduğu başka geodezik olabilir 

mi? 


 

360



den daha büyük koni açısına sahip konilerin açısını değiştirirsek ne 

olur? 


ÖNERİLER! 

Problem 4.1 problem 2.1 e benzemektedir fakat bu kez yüzey silindir veya koni yüzeyidir. Kağıt 

modeller yapınız fakat koni ve silindirin alt ve üsttü olmadan tanımsız olarak devam ettiğini 

düşününüz( tabi ki koni noktası (tepe noktası) dışında). Tekrar, kendimizi bütün evreni koni veya 

silindir olan bir böcek olarak hayal ediniz. Bu böcek bu yüzeylerden birinin etrafında seyahat ederken 

düzlük olarak deneyimi ne olacaktır? Daha önce de söylediğimiz geodezik olarak adlandırılan 

yüzeylerde patikalar düzdür. 

Bu sorular hakkında düşünmeye başladığınız zaman muhtemelen bu konuyla alakalı diğer 

geometrik fikirleri de aklınıza gelecektir. Alakasız konuların varlığı sizi endişelendirmesin. Sık sık 

kendinizi konu ile alakalı olmayan ortamlarda bulabilirsiniz bu anlaşılabilir bir durumdur. Ancak, 

alakalı konular üzerinde düşünmek sizi problemin derinliğini ve alanını anlamak konusunda daha da 

zenginleştirecektir. Problem hakkındaki karışıklıklar üzerinde çalışmaktansa diğerlerinin bulduğu 

öneriler üzerinde çalışmayı deneyiniz. Önerilerin her biri koni ya da silindirin üretimini veya 

kullanımını içermektedir. 

 

Konileri düşünmeden önce silindir üzerinde düşünmeyi yardımcı bulabilirsiniz. Bu 



problemde birçok bakış açısı var ama ilk bakışta silindir üzerinde çalışmak bazı şeyleri 

basitleştirecektir. 

 

Bir kağıt parçasını yuvarlayarak bir koni yada silindir yaparsak,”düz” kavramı biz 



yuvarlamadığımız zamanda böcek için aynı olacak mıdır? Aksini düşünürsek, eğer kâğıt 

üzerine düz doğru çizdikten sonra yuvarlarsak, kağıt üzerinde hareket eden böcek için bu 

doğru düz olmaya devam edecek midir? Burada kâğıdın esnek olmadığını varsayıyor ve 

kalınlığını ihmal ediyoruz. 

 

Koni veya silindir üzerine düz kağıt şeridi ya da ipi seriniz.Yüzeye bağlı olarak şeridin 



düz doğruyu izleyip izlemeyeceğini kendinize ispatlayın ayrıca,silindir veya konideki bu 

düz doğrulara lokal ve içe ait olarak baktığımızda düzlem üzerinde aynı simetrilere sahip 

olduğunu ispatlayınız. 

 



Eğer bir silindiri bir düzlemle keser ve açarsanız nasıl bir eğri elde edersiniz? Eğri düz 

müdür?( bu eğriyi görmenin bir yolu kağıt silindiri suya bırakmaktır.). 

 

Silindir veya koni üzerindeki geodezikler kendi kendilerini keserler mi? kaç defa 



keserler? Bu soru problem 4.2 de detaylı incelenecektir ilgili okuyucular oraya 

yönelebilirler. 

 

Silindir veya koni üzerinde iki noktayı birleştiren birden fazla geodezik var mıdır? Kaç 



tanedir? Bu soruda problem 4.2 de detaylı incelenecektir. 

Bu problem üzerinde çalışırken aklımızda tutmamız gereken birkaç önemli nokta var. Birincisi, 

kesinlikle model kullanmalısınız. Eğer koni veya silindir üzerinde görsel çizgi oluşturursanız bunlar 

hakkında düşünürken yaptığınız hataları kolaylıkla görebilirsiniz. Şeffaf kağıtlar kullanarak model 



yapmayı birçok öğrenci yardımcı bulur. İkincisi, kürelerde olduğu gibi silindir veya koni üzerindeki 

üçgenler ve doğrular hakkında içe ait olarak düşünmelisiniz.(her zaman böceğin bakış açısı ile 

bakmalısınız). Burada üç boyutlu ortamda ne olduğu ile ilgilenmiyoruz, sadece silindir veya koni 

yüzeyinde deneyimimizin ne olduğu ve ne gördüğümüzle ilgileniyoruz. 

Ve son olarak, farklı şekillerdeki (farklı koni açılarına sahip) konilere bakmalısınız. 

DEĞİŞKEN TEPE AÇILARIYLA KONİLER 

Geodezikler farklı şekillerdeki konilerde farklı davranırlar. Bu nedenle en önemli değişken tepe 

açısıdır. Tepe açısı genellikle koni yüzeyi üzerindeki nokta etrafında ölçülmüş açı olarak tanımlanır. 

Dikkat ederseniz bu açının içe ait tanımıdır. Böcek koni noktasını(tepe noktası) merkez kabul ederek 

içe ait bir daire oluşturup, sonra bu dairenin çevresini yarıçapa bölerek tepe açısı(radyan) 

bulabilir.Tepe açısını dışa ait olarak şu şekilde ölçeriz: koniyi ana doğrusunda(tepe noktası etrafında 

koni üzerindeki doğru) kesiniz ve açınız. Böylece koninin tepe açısının ölçüsü düzlemsel daire 

diliminin açı ölçüsüne eşit olacaktır.  

 

                                       

 

 

 

 

                                            Şekil 4.1  180



lik Koni Yapımı 

Örneğin, bir kağıdı alıp bir tarafın yarısını diğer yarısı ile buluşacak  şekilde bükersek 180

lik 


koni elde ederiz.(bakınız şekil 4.1) 90

lik koni yapmakta kolay- sadece kağıdın köşelerini kullanınız 



ve bir yanı komşu yanla birleştiriniz. Daha geniş konilere de bakmalıyız. Bunun bir yolu değişken koni 

açısına sahip bir koni yapmak olabilir. Bir kağıt parçasını alıp bir kenardan merkeze doğru 

keserek(veya yırtarak) elde edebiliriz. (bakınız şekil 4.2) 

Dikdörtgen bir kağıttansa daire şeklindeki bir kağıt daha kullanışlı olacaktır. Kesit çizgisinin düz 

olmasına gerek yok. 

 

 



 

 

 



 

Şekil 4.2 Değişken Tepe Açılı (0–360) Bir Koni 

 

 



360 

lik bir koniye zaten baktınız ( sadece bir düzlem). Tepe açısı 360 



den büyük olabilir. 

Bilindik geniş koni 450

lik konidir. Buna benzer konileri muhtemelen duvarlarda, koridorlarda 



ya da odanızın tavanında görmüşsünüzdür. Şekil 4.3 teki gibi bir kağıt parçasını kesip daha sonra 

90



lik bir parça ekleyerek (360 +90 = 450) bu koniyi elde edebiliriz. 

 

 



 

 

 



Şekil 4.3 450

lik koni 



 

 

 



ŞEKİL 4. 3      450

0

 ‘lik Koni Yapımı 

Bunun koni olduğuna inanmayabilirsiniz, dondurma külahı gibi olmaması bunun koni 

olmayacağı anlamına gelmez. Eğer çıkıntılar ve kıvrımlar sizi rahatsız ediyorsa onları yok edebiliriz-

koni içine kıvrık olacaktır. Bu sadece dışa ait görünüşü değiştirecektir. İçe ait olarak bir fark 

yoktur.Ancak bu kullanışlı değildir. 

Koninin bazı tanımlarını düşünmek size yardımcı olabilir. Örneğin, P merkezli bir küre ve küre 

üzerinde kapalı bir a eğrisi alınız P den başlayıp a üzerindeki her bir noktaya giden ışınların bileşimi 

koniyi oluşturur. Koni açısı a nın uzunluğunun kürenin yarıçapına oranına eşittir( radyan cinsinden). 

Neden olduğunu anladınız mı?  

Ayrıca, 180

lik açıdan daha çok değişken tepe açısına sahip koniler elde edebiliriz. İki kağıt 



parçasını alınız. Merkezlerini şekil 4.4 teki gibi bir araya getirerek yarınız . Şekildeki gibi üsteki 

kesitin sağ tarafını alttakinin sol tarafına  şeritle bağlayınız.  Şimdi diğer yanları da böyle bağlayınız. 

Deneyiniz! 

 

                                 Şekil 4.4   360 





den Daha Geniş Açılı Koni 

Kağıtlar kullanarak şekil 4.4 teki gibi koni örnekleri elde etmeyi deneyiniz. 450

lik koni 



üzerindeki doğrular ve üçgenlere ne oldu? En kısa mesafe her zaman düz müdür? Her nokta çifti bir 

düz doğru tanımlar mı? 

Sonuç olarak, koni ve silindir üzerindeki doğru simetrilerini düşününüz. Düşündüğünüz 

simetrilerin bu yüzeylerde çalışıp çalışmadığını kontrol ediniz. İçe ait ve lokal olarak düşünmeyi 

unutmayınız. Koni ve silindir üzerindeki özel geodezik sınıfına  ana doğru denir. Bunlar tepe 


noktasından geçen düz doğrular ya da silindir eksenine paralel düz doğrulardır. Bu doğrular bazı dışa 

ait simetriye sahiptirler( hangileri olduğunu görebildiniz mi?), ama genel olarak geodezikler sadece 

lokal,içe ait simetriye sahiptirler. Ayrıca, tepe noktasına yakın alanı düşününüz. Bu alanda koninin geri 

kalan alanı dışında ne olmaktadır? 



Yüklə 1,79 Mb.

Dostları ilə paylaş:
1   2   3   4   5




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin