T. C. Gazi ÜNİversitesi fen-edebiyat faküLtesi matematik böLÜMÜ
Yüklə 1,79 Mb. Pdf görüntüsü
|
|
! Daha fazla okumadan önce silindir ve koni üzerinde bulunan geodeziklerin nasıl göründüğünü anlamak için kağıt modellerle deney yapınız.
Öncelikle silindir üzerindeki 3 düz doğru sınıfına bakalım. Silindir yüzeyinde yürürken böcek dikey ana doğru boyunca yürüyebilir. Bakınız şekil4.5
Şekil 4.5 Dikey Ana Doğrular Düzdür Böcek,yüzeyin yatay düzlemle kesişiminde yürüyebilir. Bunları büyük daireler olarak adlandırıyoruz.. Bakınız şekil 4.6
Şekil 4.6 Büyük Daireler İçe Ait Olarak Düzdür Veya böcek silindir etrafında sabit bir eğimle heliks ya da sarmal yaparak yürüyebilir. Bakınız şekil 4.7
Şekil 4.7 Helisler İçe Ait Olarak Düzdür
Bunlar neden geodezik? Bunu kendinize nasıl ispatlayabilirsiniz? Neden sadece bunlar geodezik? KONİLERDE GOEDEZİKLER Şimdi de konilerdeki düz doğru sınıflarına bakalım. Ana doğru boyunca yürüme: Koni üzerindeki düz patikalara baktığınız zaman tepe noktasındaki düzlüğü düşünmek zorunda kalırsınız. Böcek tepe noktasına ulaştığı zaman ilk bakışta düz olarak yola devam edemeyeceğini düşünebilirsiniz ve böylece düz yol tepe noktasında bitecektir. Veya böceğin düz doğrunun en az bir simetrisi kadar yola devam edeceğini bulabilirsiniz. Sizce bu yol hangisi? Ya da düz yolun tepe noktası ile sınırlanmış geodezikler kadar olduğunu düşünebilirsiniz. Bakınız şekil 4.8
Şekil 4.8 Tepe noktasında yürüyen böcek Düz ve etrafında yürüme: 90 0 lik koni üzerinde şerit kullanırsanız, şekil 4.9 daki gibi bir geodezik görürsünüz. Bu geodezik parçası kendisi ile kesişmektedir.Ancak bu özelliğin tepe açısına bağlı olduğunu kontrol ediniz. Tepe açısı 180 0 den büyük olsaydı geodezik kendisi ile kesişmeyecekti.Açı 90 0 den küçük olsaydı geodezikler ( ana doğrular dışındaki) en az iki kez kesişecekti. Deneyiniz. Problem 4.2 de geodeziklerin tepe açısına bağlı olarak kendisi ile kesişme sayısının ne olduğuna kara vermenizde ile yardımcı olacak aracı tarif edeceğiz.
PROBLEM 4.2 GEODEZİKLERİN EVRENSEL(GENEL) ÖZELLİKLERİ Şimdi, silindir veya koni etrafında bulunan uzun geodeziklere daha yakından bakacağız. Sorular şunlar:
İki noktada birleşen farklı geodezikleri nasıl bulacağız? Kaç taneler? Tepe açısına nasıl bağlıdır? Her zaman iki noktayı birleştiren bir geodezik var mıdır? Düşüncelerimizi nasıl kanıtlayacağız? b.Silindir veya koni üzerindeki bir geodezik kaç kez kendisi ile kesişir? Bu sayı tepe açısına bağlı mıdır? Hangi açı geodeziği kendisi ile kesiştirir? Bu bağlantıyı nasıl kanıtlarız? ÖNERİLER Burada soruları incelerken yardımcı olabilecek uzay örtüsünün araçlarını tavsiye ederiz.Örtü metodunun bu isimle anılmasının sebebi her birinin yüzeyi kaplayan katmanları kullanmasıdır. Önce silindir ile başlayacağız,çünkü daha basit ve daha kolay.Sonra koniye geçeceğiz. SİLİNDİRİN n-KATLI ÖRTÜSÜ Örtü metodunun nasıl çalıştığını anlamak için, bir kağıt aldığınızı ve dikey ana doğru boyunca kesip düzlem üzerine serdiğinizi düşününüz. Bu,bu problem üzerinde çalışmadan önce silindir elde etmek için kullandığımız yöntem olabilir.Yuvarlanmış sayfa(düzlemin bir parçası) silindirin 1 katlı örtüsüdür. Bakınız şekil 4.10. Eğer silindir üzerinde şekilde olduğu gibi iki tane A ve B noktası işaretlerseniz, silindir kesilip düzleme serildiği zaman bu iki nokta örtü üzerindeki iki nokta olur.(şekilde aynı harflerle gösterilirler). Örtü üzerindeki noktaların silindir üzerindeki noktaların birer gösterimleri olacağı söylenir.
Şimdi bunun gibi birkaç örtüyü uç uca bir araya getirdiğimizi düşünelim. Yuvarladığınız takdirde her örtü bir kez kesin olarak silindiri saracaktır. (tuvalet kağıdı ruloları veya kağıt kuleler silindirin örtülerine kabaca bir fikir verirler).ayrıca her örtü aynı yerelliğe sahip A ve B noktalarına sahiptir. Bunu örtüleri bir cisimle iki noktadan delip sonra açarak görebiliriz. Bu şu anlama geliyor: silindir üzerindeki bütün A ve B noktaları örtüler üzerinde aynı noktaları gösterir. Silindir üzerindeki her nokta için birkaç tane örtü gösterimine sahibiz. Şekil 4.11 de 3 katlı örtü ve A ve B noktalarını birleştiren 6 tane geodezik gösterilmektedir.( bunlardan bir tanesi A ve B arası mesafe, diğerleri ise silindirin etrafında iki yönden biri doğrultusunda bir kez, iki kez ve üç kez dönen sarmallardır). Şekil 4.11 Silindirin 3 Katlı Örtüsü Ayrıca sağdan yada soldan örtü ekleyebiliriz. Bu örtüleri yuvarlayıp, geodeziklerin nasıl göründüğünü görebiliriz. Hatırlarsanız, her örtü silindiri bir kez kaplıyordu- örtüler arası dikey doğruların hepsi silindirin aynı ana doğrusu üzerinde olmalıdır. Sıradan kağıtlar kullanırsanız geodeziklerin bazı kısımlarını orada olmalarına rağmen göremeyebilirsiniz. Şeffaf kağıtlar kullanırsanız daha rahat görürsünüz. Düzlük lokal içe ait özellik olduğu için bu metot çalışır. Böylece örtüler düzleme serildiği zaman düz olan doğrular örtüler silindiri sardığı zaman da düz olmaya devam edecektir. Hatırlarsanız kağıdı kıvırma kağıdın içe ait yapısını değiştirmiyordu. Sadece dışa ait olarak gördüğümüz eğrilik değişiyordu. Önemli olan geodeziklere her zaman böceğin gözünden bakmaktır. Silindir ve örtüleri lokal izometriktir. Problem 4.2 yi düşünürken silindir üzerindeki örtüleri kullanınız. Düz doğruların genel davranışları örtüleri anlamak için daha yararlı olacaktır.
Şekil 4.12 koninin 1 katlı örtüsünü göstermektedir.Tepe noktası dışındaki her yerde kağıt tabaka ve koni lokal olarak izometriktir. Koni noktası (tepe noktası) örtünün Dallanma Noktasıdır. Koni üzerindeki nokta gösterimleri silindir üzerindekiler gibi anlatacağız. Şekil 4.12’de koninin 1 katlı örtüsü ve üzerindeki 2 nokta ve gösterimleri tasvir edilmiştir. Şekil 4.13’te ise koni için 4 katlı örtü tasvir edilmektedir. Örtü üzerinde örtünün merkezinden çizilen ışınların her biri koni üzerindeki bir ışının gösterimidir. Benzer olarak, örtü üzerinde işaretlenmiş noktalar da A ve B’nin gösterimidir.Örtü üzerinde A nın gösterimini A dan farklı B nin gösterimine birleştiren 4 parça vardır.Bu parçaların her biri A ve B yi birleştiren farklı geodezik parçalarının bir gösterimidir.
Şekil 4.13 89 0 lik Koni İçin 4-Katlı Örtü Böceğin yüzey geodeziklerini keşfini genişletmek için araç olarak örtüleri kullanılabileceği yolları düşününüz. Ayrıca, içe ait yollardan gözlemlerinizi kanıtlamak için örtüyü kullanabileceğiniz yolları düşünüz. Kararlı olmak önemli; böceğin kaybetmesini istemezsiniz. İki noktayı düz doğru ile kaç çeşitli yolla birleştirebileceğinizi hesaplayınız ve bu sayının koni açısını ile ilişkisini bulunuz. Düz yolların sayısı sadece koni açısına mı bağlıdır? 450 0 lik koniye bakınız ve her zaman iki noktayı birleştiren bir düz doğru olup olmadığına bakınız. Kağıt model oluşturunuz. Koni açısı ile her bir nokta çiftini birleştiren geodezik sayısı arasında bir eşitlik yazmak mümkün değil. Ama birçok nokta çifti için işe yarayan bir formül bulunabilir. Farklı açılar ölçülerine sahip koniler için örtü uzayı oluşturunuz ve kendi kendisi ile kesişmesi için yapmış olduğunuz tahminlerinizi tavsiye ediniz. Bir koni üzerindeki kendi kendisi ile kesişen l geodeziği üzerinde çalışmak, l doğrusuna dik olan R ışınını anlama konusunda ise yardımcı olabilir (Bk. Şekil 4.14). Şimdi l geodeziğinin bir gösterimi ve bu gösterilişin R ışının gösterimi ile ilişkisi üzerinde çalışınız. Özel kısımlar arasında kalan bağıntılar R’nin gösterimleridir. Şekil 4.14 φ
LOKAL OLARAK İZOMETRİK Şimdiye kadar, bir kağıdı silindir veya koni olacak şekilde yuvarlayıp ya da büktüğümüz zaman, böceğin yüzeydeki içe ait ve lokal deneyimlerinin tepe noktasının dışında değişmediğini kavramış olmalısınız. Dışa ait olarak, kağıt parçası ve koni farklıdırlar ama lokal geometride yüzey için içe ait olma sadece tepe noktasında farklıdır. G ve H iki geometrik uzaydır.G deki nokta G’,H daki nokta H’ olmak üzere eğer G’ deki lokal içe ait deneyim H’de ki ile aynı ise, G ve H lokal olarak izometriktir denir. Yani, G ve H nin komşulukları içe ait geometrik özelliklerine göre eşittir. Silindir ve düzlem lokal olarak izometrik (her noktada), düzlem ve koni ise tepe noktası dışında lokal olarak izometriktir. Eğer iki koninin tepe açıları aynı ise bu iki koni tepe noktasında lokal olarak izometriktir. Silindir ve koniler düzlemlerle lokal olarak izometrik oldukları için, lokal olarak aynı geometrik özelliklere sahiptirler. Kürenin düzlemle lokal izometrik olmadığını daha sonra göstereceğiz.
“EN KISA” HERZAMAN “DÜZ MÜDÜR?” Sıklıkla düz doğrunun iki nokta arası en kısa mesafe olduğunu söyledik.Ama bu gerçekten doğru mu? Kürelerde gördüğümüz gibi birbirine zıt olmayan iki nokta iki tane düz yol ile birleştirilir (biri büyük daire etrafında bir yoldan gider, diğeri diğer yoldan gider). Bu yollardan sadece birisi en kısadır. Diğeri düzdür ama en kısa değildir. 450 0 açılı koninin modelini düşününüz. Böyle koniler çoğunlukla binaların dış köşelerinde görülür (Bk. Şekil 4.15). Düzgünleştirebilecek en iyi kağıt modelidir. Şekil 4.15 A dan B ye Düz Bir Yol Yoktur
Koni üzerindeki hangi noktaların düz doğrular ile birleştirilebildiğini bulmak için kâğıt modeller kullanınız( doğru simetrisinde yansıma gibi algılanabilir).Şekil 4.15 teki gibi işaretlenmiş A ve B noktalarına bakınız. A dan B ye düz doğru olmadığını kendinize ispatlayınız ve bu iki nokta için en kısa mesafenin tepe noktasından geçtiğini ve bu yolun düz olmadığını gösteriniz(simetrinin varlığı).
Diğer bir örnek ise; düzlem üzerinde bulunan uzun bir kutu düzlemi üzerinde seyahat eden bir böcek düşününüz( Şekil 4.16). Bu yüzey birleşmesi- kutunun tabanı ile yüzey bitişiktir- 8 tane tepe noktasına sahiptir. Kutunun üstündeki 4 tanesi 270 0 lik koni açısına, kutunun altındaki 4 tanesi 450 0 lik
koni açısına sahiptir( 180 0 kutu üstünde ve 270 0 yüzeyde). Kutunun zıt taraflarındaki X ve Y noktaları arasındaki en kısa mesafe nedir? Düz yol en kısa mıdır? En kısa yol düz müdür? En kısa yolun düz olmadığını ispatlamak için kutunun alt köşesindeki iki tarafında farklı açı ölçülerine sahip olan yolu görmeye çalışınız.( Eğer X ve Y kutuya yakınsalar, yolun kutu tarafındaki açısı 180 0 den biraz fazla ve diğer taraftaki açı ise yaklaşık 270 0 olacaktır). * DİFFERENSİYEL GEOMETRİDE BAGINTILAR Bazen düz yolların en kısa olmadığını ve en kısa yolların ise düz olmadığını görürüz. Bundan sonra şu soru aklınıza gelebilir birçok kitapta bahsedildiği gibi Öklid geometrisinde iki nokta arası en kısa mesafe düz doğru mudur? Differensiyel geometride “düzgün” yüzeylerde “düz” ve “en kısa” neredeyse aynıdır.”düzgün” yüzey nasıl göründüğüdür. Yani, yüzeye yaklaşıldığı zaman pürüzsüz
yüzeyden farksız olandır.( tanımın detayları için ,[DG: Henderson] da problem 4.1 e bakınız. Ayrıca, Bölüm 1 deki son nota ve özellikle son bölüme bakınız). Koniler tepe noktasında düzgün değildir, ama küreler ve silindirler her noktada düzgündür. Aşağıdaki teorem differensiyel geometriden:
noktalar arasındaki en kısa yoldur.Eğer yüzey tam ise ( bütün geodezikler sonsuza uzanıyorsa), herhangi iki nokta, aralarındaki en kısa yol olan geodezik ile birleştirilebilir. Bakınız ,[DG: Henderson], problem 7.4b ve 7.4d. Üzerinde delik olan düzgün bir yüzey düşününüz. Deliğin yakınlarında ve zıt taraflarında bulunan noktalar için arasındaki en kısa yol düz değildir çünkü en kısa yol deliğin etrafından geçmek zorundadır. Öğrenciler önceki örneklerin ve problemlerin teoremle nasıl bit armoni oluşturduğunu görebilirler. “ Yüzey üzerindeki her geodezik sonsuza uzayabilir” durumu Öklidin 2. postulatındaki “ kısıtlanmış her düz doğru sonsuza giden tek bir düz doğruya uzatılabilir.” yorumuyla uyumludur.[ Appendix A, Önerme 2]. Dikkat ederseniz 2. postulat konilerde tepe noktasından geçen geodezikleri düşünmediğiniz sürece konilerde tutmuyordur. Ayrıca, Öklit dik açıyı şu şekilde tanımlamaktadır: iki düz doğru komşu açılar eşit olacak şekilde kesişirlerse bu açılara dik açı denir[ Appendix A,Tanım 10]. Tepe noktasınca devam eden geodeziği düşünürseniz tepe noktasındaki dik açı koninin yüzeye izometrik olduğu noktadaki dik açıya eşit olmayacaktır. Ve Öklid 4.postulatında der ki; bütün dik açılar eşittir .[ Appendix A, Önerme 4]. Böylece, öklid’in 2. ve 4. postulatları koniler ve tepe noktalarınca ayrılmış yüzeylerde çalışmamaktadır. Öklid’in 4. postulatı kimilerince net değildir(en azından yazara göre). Öklid’in 4. postulatını sağlayan ve düzgün olan bir yüzey bulmak istediğimizde bunun olabilirliği net değildir. Ancak, Öklid’in önermelerinin verilen kısımları “düzgün yüzey” anlamına gelmektedir çünkü kurallar tepe noktalarını dışarıda bırakmaktadır. Eğer lisede olsaydık Öklid’in neden 4. postulat gibi bir önermeyi oluşturduğunu anlayamayabilirdik- nasıl eşit olamazlar? Bu bölümde konilerdeki dik açıların her zaman eşit olmadığını öğrendik.
BÖLÜM 5
HİPERBOLİK DÜZLEMLERDE DÜZLÜK [ Janos’un oğluna] tanrı aşkına! Lütfen bırak artık onu( hiperbolik geometriyi)… Ondan şehvetten korktuğun kadar korkmalısın çünkü senin bütün zamanını alıyor seni sağlığından aklından ve yasama sevincinden mahrum bırakıyor. -Wolfgang Bolyai(1755-1856) [EM: Davis ve Hersh] sayfa, 220 Şimdi hiperbolik geometri çalışacağız. Okuyucu bölüm 17 ve hiperbolik düzlem ile ilgili diğer kısımları okumayacaksa bu bölümü atlayabilir. Ancak hiperbolik düzlem ile ilgili kısımları atlamak geometri tarihinin önemli bir parçasını belki de bizim fiziksel evrenimizin temellerini oluşturan geometriyi atlamak olacaktır. Koni ve silindirde olduğu gibi hiperbolik düzlemlerde içe ait bakış açısını kullanmalıyız. İlerde göreceğiz ki tam bir hiperbolik yüzeyin 3 boyutlu ortamda tam bir gömülümü yoktur.
Hiperbolik geometri önceleri Building Structures Strand’ın Janos Bolyai ( 1802–1860, Bulgar) ve N.I. Lobachevsky(1792–1856, Rus) çalışmalarıyla olgunlaşmıştır. Hiperbolik geometri formel aksiyomatik bakış açısından özeldir çünkü öklid geometrisindeki paralel postulat dışındaki diğer tüm aksiyomları sağlamaktadır. Hiperbolik geometride düz doğrular kesişmeden birbirlerine doğru yönelip birleşebilirler.( Bakınız Appendix A, Öklid’in 5. postulat’ı).Verilen doğruyla bir noktada kesişmeyen birden fazla düz doğru vardır.( Lisedeki genel paralel postulatı bozmaktadır, verilen L doğrusu üzerinde bulunmayan P noktasında L ile kesişmeyen sadece ve sadece bir doğru vardır.). Bakınız Şekil 5.1
Şekil 5.1 Bir Nokta Etrafındaki İki Geodezik Verilen Geodezik İle Kesişmez
Okuyucu bölüm 10 da hiperbolik geometrinin aksiyom doğasını daha detaylı inceleyebilir. Fark ederseniz, 450 0 lik koni de yukarıda bahsedilen postulatı çiğnemektedir. Böylece , 450 0 lik koni hiperbolik düzlemin bazı özelliklerine sahiptir. Hiperbolik geometriyi yüksek matematiğin değerli bir branşı olarak kabul etmek faydalı olacaktır. İki boyutlu görsel uzay geometrisi hiperbolik geometri tarafından en iyi gösterim olarak ortaya çıkmaktadır.( Bakınız [HY: Zage]. Ek olarak, hiperbolik geometri 3 boyutlu fiziksel evrenimiz için olan geometrilerden birisidir.- bu durumu bölüm 18 ve 24 te daha detaylı inceleyeceğiz. Öklidyen olmayan geometri ve hiperbolik geometri birçok kitapta benzer olarak düşünülür, ama bildiğiniz gibi küresel geometri gibi diğer öklidyen olmayan geometriler vardır. Birçok kitapta söylendiği gibi öklidyen olmayan geometrinin 170 yıl önce keşfedildiğini söylemek de doğru değildir. Bölüm 2 de bahsettiğimiz gibi küresel geometri( öklidyen değil) Eski Babiller, Hintler, Yunanlılar, tarafından en az 2000 yıl önce bulundu ve çalışıldı. Birçok çalışmalar ve popüler kitaplar hiperbolik geometriyi aksiyom olarak veya öklidyen düzlemde hiperbolik geometrinin modelleri ile sunarlar. Bu modeller bizim dünya yüzeyinin izdüşümü haritasına benzemektedir. Bu haritalardaki genel olarak düz hiperbolik düzlemdeki içe ait düz doğrularla aynı değildir. Genelde biçimi bozuk uzaklıklar ve açılar vardır. Bölüm 17de izdüşümü ve model konusuna döneceğiz. Bu modeller Art / Pattern Strand ‘ın modellerinden ortaya çıkmıştır. Bu bölümde hiperbolik düzlemin geometrisini 3 boyutlu ortamda yüzeyin içe ait geometrisi olarak ele alacağız, tıpkı 3 boyutlu ortamdaki kürenin geometrisine bakarak küresel geometriyi anlattığımız gibi.Nagivation:/Stargazing Strand tan daha farklıdır. Böyle yüzeyler 3 boyutlu ortamdaki hiperbolik düzlemin izometrik gömülümü olarak anılır. Böyle yüzeyleri gelecek kısımda üreteceğiz. Ancak, birçok çalışmalar ve popüler kitaba göre David Hilbert (1862–1943, Alman,) 1901de böyle bir izometrinin 3 boyutlu Öklidyen uzayının kapalı alt kümelerini örten hiperbolik düzlemlerde olamayacağını ispatlamıştır. Bu yazarlar Hilbert ‘in tam olarak ne ispatladığını unutmuşlardır. Gerçekte Hilbert [HY:Hilbert] reel analitik izometrinin var olamayacağını ispatlamıştı. (Yani kuvvet serileriyle tanımlanan reel değerli fonksiyonların tanımladığı bir izometri yoktur.). 1964’te N.V. Efimov [HY: Efimov] Hilbert’in sonucunu genişletti. Efimov 1. ve 2. türevleri sürekli olan fonksiyon tarafından tanımlanan izometrik gömülümün olmadığını ispatladı. 1955’te açık bir gösterim vermeden N. Kuiper [HY:Kuiper] 3 boyutlu uzayın kapalı alt kümeleri üzerinde türevlenebilen izometrik gömülüm olduğunu ispatladı. Burada kullanılan gösterim William Thurston tarafından 1978’te David ‘e gösterildi.(b.1946, Amerikalı); ama eşitlikle tanımlanmamıştı, çünkü öklidyen uzayda net bir gömülme kavramı yoktu. Bu gösterim hakkındaki öneri ve fikirler [D.G Thurston] da 49. ve 50. sayfalarda ve [D.G: Henderson] da 31. sayfada bahsedilmektedir. Problem 5.3 te bizim izometrik modelin yalancı küre olarak bilinen dönüşün düzgün yüzeyine lokal olarak izometrik olduğunu göstereceğiz. Sonra bölüm 17de hiperbolik yüzeylerin çeşitli(izometrik olmayan) modellerini inceleyeceğiz. (bu modeller birçok çalışmada hiperbolik geometri gösterilişidir.) ve bu modeller ve izometrik oluşumların aynı geometriyi ürettiğini göstereceğiz.
3 boyutlu uzaydaki yüzeyler gibi hiperbolik düzlemlerin( yaklaşık düzlemler) beş farklı izometrik oluşumun detaylarını Appendix B de anlattık. Bu oluşumlardan en az biriyle ilgilenmiş olmanız çok önemli. Yüzey oluşturma size hiperbolik düzlemleri başka bir yöntemle oluşturmanızın zor olduğu hissi verecektir. Thurston tarafından önerilen halkadan hiperbolik düzlem tanımı üzerinden tartışmalarımızı yapacağız.
Hiperbolik düzlemin kâğıt modeli şu şekilde oluşturulabilir. Şekil 5.2 deki gibi özdeş halka şeritler ( ortak merkezli iki daire arasında kalan bölge) kesiniz. Şeritleri birinin iç dairesi diğerinin dış dairesi ile birlikte olacak şekilde şeritleri bantlayınız. Bütün halkalı şeritlerin aynı iç yarıçap ve aynı dış yarıçapa sahip olması önemlidir, ama halkaların uzunlukları farklı olabilir. Ayrıca şeritleri daha kısa kesebilir ya da iki şeridi birleştirip daha da genişletebilirsiniz. Sonuçta oluşan yüzey tabiî ki istenen yüzeye yaklaşık olacaktır. Hiperbolik yüzey yarıçapı ρ’yı sabit tutarak δ→0 oluşturarak bulunur. Yüzey her yerde aynı olacağı için (δ→0), homojendir. ( içe ait olarak ve geometrik olarak her noktanın civarı herhangi bir diğer noktanın civarı ile izomeriktir). Bu oluşumun sonucuna halkalı hiperbolik düzlem diyeceğiz. Okuyucuya birkaç halka kesip, birleştirmesini önemle öneriyoruz.
Şekil 5.3 Örgü Halkalı Hiperbolik Düzlem Hiperbolik düzlemin çok yüzlü oluşumları da vardır. Bunlar halkalı oluşumlara doğrudan bağlı değildir ama öğrenciler( öğretmenler) için oluşturmak daha kolaydır. Bu oluşum ( David’in oğlu Keith henderson tarafından icat edildi) Hiperbolik futbol topu olarak anılır. Oluşumun ayrıntıları için Appendix B ye ve resmi için Şekil 5.4e bakınız. Farklı renklerdeki altıgenleri kullanarak yedigenler oluşturursanız hoş bir görünüm olacaktır. Herhangi birçok yüzlü oluşumdan hiperbolik düzleme yakın yaklaşımlar oluşturamayabiliriz. Halkayı görme yolumuzda yoktur.
Yüklə 1,79 Mb. Dostları ilə paylaş:
|