T. C. Gazi ÜNİversitesi fen-edebiyat faküLtesi matematik böLÜMÜ


Şekil 5.4   Hiperbolik Futbol Topu



Yüklə 1,79 Mb.
Pdf görüntüsü
səhifə5/5
tarix28.01.2017
ölçüsü1,79 Mb.
#6582
1   2   3   4   5

Şekil 5.4   Hiperbolik Futbol Topu 

 

FARKLI YARIÇAPLARDA (EĞRİLİKLER) HİPERBOLİK DÜZLEMLER 

Dikkat ederseniz hiperbolik düzlem oluşumu ρ ya ( halkanın yarıçapı) bağlıdır, biz ρ’ya 

hiperbolik düzlemin yarıçapı diyeceğiz. Kürelerde olduğu gibi, ρ’ye bağlı farklı hiperbolik düzlemler 

oluşturabiliriz. Şekil 5.5-5.7’de yarıçapları yaklaşık 4cm, 8cm, 16cm olan örgü hiperbolik düzlemler 

vardır. Bütün resimler aynı yönden çekildi ve ölçüleri göstermek için cm’lik cetveller vardır. 

 

  

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

                                         



Şekil 5.5   4 cm. Yarıçaplı Hiperbolik Düzlem 

 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



Şekil 5.6    8 cm. Yarıçaplı Hiperbolik Düzlem 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 

 

Şekil 5.7    16 cm. Yarıçaplı Hiperbolik Düzlem 

 


Fark ederseniz, ρ arttıkça, hiperbolik düzlem düzleşmeye başlamaktadır ( daha az eğriliğe sahip). 

Küre ve hiperbolik düzlemde ρ sonsuza giderse, küre ve hiperbolik düzlem düzgün (öklidyen) 

düzlemden farksız hale gelir. Böylece düzlem sonsuz yarıçapı olan bir küre ( hiperbolik düzlem) olarak 

adlandırılır. Bölüm 7 de, Gaus’un Eğriliğini tanımlayacağız ve kürede 1/ ρ

ve hiperbolik düzlemde -1/ 



ρ

2  


olduğunu göstereceğiz. 

PROBLEM 5.1 HİPERBOLİK DÜZLEMDE DÜZ NEDİR? 

a.

 

Hiperbolik düzlemde, her halkalı şeritten ışınsal olarak geçen eğriler düşününüz. 

Bunların içe ait olarak düz olduğunu farz ediniz. Ayrıca, herhangi ikisinin asimptotik 

olduğunu gösteriniz başka bir deyişle birbirlerine yaklaştıklarını ama kesişmediklerini 

gösteriniz. 

Her halkalı şeridin lokal içe ait simetrilere bakınız sonra tüm hiperbolik düzlemdeki global 

simetrilere bakınız. Simetrilerin neden limit δ→0 da olduğunu ispatladığınıza emin olunuz. 

Bu Şekilde birbirine yaklaşan iki geodezik asimptotik geodeziktir diyebiliriz. Düzlem üzerinde 

asimptotik olan geodezik (düz doğrular) yoktur. 

b.

 

Fiziksel hiperbolik yüzeydeki diğer geodezikleri de bulunuz. Problem 1.1,2.1, ve 4.1de 

bahsettiğimiz düzlük özelliklerini(simetri gibi) kullanınız. 

İşaret parmaklarınız ve başparmaklarınız arasında iki nokta belirlemeye çalışınız. Yansıma 

simetrisi ile geodezik parçası iki nokta arasında görülmeli. Eğer yüzeyiniz yeterince sağlam ise 

geodezik üzerinde katlayınız. Ayrıca, şeritler kullanarak geodeziği test edebilirsiniz. 



c.

 

Hiperbolik düzlemdeki geodezik için hangi özellikleri buldunuz? Küre ve düzlem 

üzerindeki geodeziklerle nasıl benzerlikleri ve farklılıkları var? 

Kesişme, eşsizlik, simetriyi içeren geodezik özelliklerini düşününüz. Modellerinizi kullanarak 

düşüncelerinizi olabildiğince ispatlayınız.- bazı ispatların tam olması için Bölüm 17 e kadar beklemek 

zorundasınız.  



PROBLEM 5.2 HALKALI HİPERBOLİK DÜZLEMDE KOORDİNAT SİSTEMİ 

Öncelikle, halkalı hiperbolik düzlemde koordinat sistemini tanımlayacağız bu bize bölüm 17 de 

yardımcı olacaktır. ρ halkanın iç yarıçapı olsun ve H

δ 

da, yarıçapı ρ ile kalınlığı δ olan halkadan oluşan 



halkalı hiperbolik düzlemin tahmini yakınlığı olsun H

δ  


üzerindeki halkanın içteki eğrisi taban eğrisidir 

ve bu eğri üzerinde orijin O olmak üzere pozitif yönde herhangi bir nokta alınız. Şimdi, bir (içe ait) 

koordinat sistemi oluşturabiliriz. x

δ 

: R



→ H


δ 

alırız ve x

δ 

(0,0) = 0,    x



δ 

(w,0) taban eğrisi üzerinde O 

dan w kadar uzaklıkta noktadır ve  x

δ 

(w,s), x



δ 

(w,0) dan s kadar uzaklıkta x

δ 

(w,0) boyunca olan çapsal 



geodezik üzerinde olan noktadır, pozitif yön dıştan içe doğru seçilmiştir. Böyle koordinatlara geodezik 

dikdörtgen koordinat denir. Bakınız Şekil 5.8. 

 

 

 



 

 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



Şekil 5.8  Halkalı Hipebolik Düzlem Üzerinde Geodezik Dikdörtgen Koordinatlar 

 

a.Koordinat haritasının R





nin tamamından halkalı hiperbolik düzlemlere 1-1 ve örten olduğunu 

gösteriniz. Halkalı şeritlerin ve geodeziklerin haritası nasıl olur? 

          b.λ ve µ, a’da bahsedilen çapsal geodeziklerin ikisi olsun. Taban eğrisi üzerindeki λ ve µ 

arasındaki uzaklık w ise,bu uzaklığın  kâğıt hiperbolik model üzerinde taban eğrisinden s=n

δ  



uzaklığında  olduğunu gösteriniz. 

w(ρ/ ρ+δ)

= w(ρ/ ρ+δ)



s/δ

 

Şimdi, δ→0 iken limit alınız ve λ ve µ arasındaki uzaklığın wexp(-s/ ρ) olduğunu gösteriniz. 



Böylece, koordinat grafiği x, (dikey) ikinci koordinat eğrisi boyunca uzaklığı korur ama 

x(a,b)noktasında birinci koordinat eğrisindeki uzaklıklar boyunca exp(-b/ ρ)nin etkisi ile korumayabilir. 

(R



deki uzaklıklarla karşılaştırıldığı zaman).  



PROBLEM 5.3 YALANCI KÜRE HİPERBOLİKTİR. 

Lokal olarak halkalı hiperbolik düzlem, z nin sürekli türevleşebilen fonksiyon grafiğinin z ekseni 

etrafında döndürülmesi ile tanımlanan (düzgün) yüzey kısımlarına izometriktir. Bu yüzeye yalancı küre 

denir.  


İSPAT TASLAĞI 

        1. Halkalı hiperbolik düzlemdeki her nokta diğer noktalara benzemektedir( halkalı oluşumu 

düşününüz, halkalı şeridin genişliği δ 0’ a giderken noktanın ebadı değişmez.). 

        2. Halkalı şeritlerden biri ile başlayınız, onu düzlemde tam bir halkaya tamamlayınız. Sonra    

dönüş yüzeyini bu halkanın kenarının iç kısmını diğer halkalı şeritlerle birleştirerek oluşturunuz. 

Halkalı hiperbolik düzlem oluşumunda tanımlanmıştır. (Bakınız Şekil 5.9). İkinci ve sonraki halkalılar 

kesik koni oluşturacaktır. Sonuç olarak, δ 0’ a giderken halkalı şeritlerin genişliklerini hayal ediniz. 



          3.Şekil 5.9 daki geometriyi kullanarak yüzey üzerindeki nokta koordinatları için differensiyel bir 

denklem oluşturunuz. Eğer, f(r) (z koordinatı) z ekseninden r uzaklıktaki yüzeyin yüksekliği ise, 

differensiyel denklem aşağıdaki gibidir. (ρ sabit) 

dr / dz = -r/



–r



2

 ) 


 neden? 

 

 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Şekil 5.9 Yalancı Küre 

          4.(tablo ve bilgisayar cebir sistemini kullanarak) r’nin bir fonksiyonu olan z= f(r) fonksiyonu 

için differensiyel denklemi çözünüz. Dikkat ederseniz, r’yi z ‘nin fonksiyonu olarak elde 

etmiyorsunuz. Bu eğriye tractrix denir. 

          5.Sonra (1.dönem yüksek matematikteki teoremleri kullanarak) r’nin z’nin sürekli türevleşebilir 

bir fonksiyonu olduğunu gösteriniz. 



Ayrıca yalancı küre örebiliriz. 5 veya 6 zincirle başlarız sonra spiral modelle devam ederiz 

hiperbolik düzlem oluşana kadar öreriz. Şekil 5.10’a bakınız. Dikkat ederseniz örgünün alt kısmı tam 

halka oluşturmaktadır, yüzeylerde dalgalar oluşmakta sonra dönme yüzeyi yok olur. 

 

 



 

 

 



 

 

 

 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

Şekil 5.10 Dalgalı Örgü Yalancı Küre 

 

“Yalancı küre”terimi Hermann Van Helmhaltz (1821- 1894, Alman) tarafından oluşturuldu. 

Helmhaltz küresel uzay ile yalancı küresel uzayı karşılaştırmıştı. Ancak Helmhaltz,bu geometri ile bir 

yüzey bulamamıştır. Uvgenio Beltrami (1835- 1900, İtalyan) yalancı küre dediği bir yüzey oluşturdu 

ve bu yüzeyin geometrisini lokal olarak Lobatchevsky’in oluşturduğu hiperbolik geometriyle aynı 

olduğunu gösterdi. (Tarihi açıklama için bak. [HI. Katz] sayfa 781–783) Matematikçiler tamam 

hiperbolik düzlem olabilecek yüzeyler için daha fazla araştırdılar. (o günlerde yüzey “gerçek analitik 

yüzey” demekti.) Hilbert böyle bir yüzeyin olmayacağını bulduktan sonra çalışmalar durduruldu. ( 

onun teoremini bu bölümün birinci kısmının sonunda hiperbolik geometrinin kısa tarihinde anlattık.)  

İÇE AİT / DIŞA AİT/LOKAL / GLOBAL  

Düzlem ve kürelerde, rotasyonlar ve yansımalar hem içe ait hem de dışa ait olabiliyordu. İçe ait 

olur çünkü böcek tarafından iki boyutlu rotasyon ve yansıma görülebilir. Bu içe ait dönme ve 

yansımalar dışa da aittir, çünkü 3 boyutlu uzayda izometri olarak görünebilirler. (örneğin, kürenin 

büyük daire’ye göre yansıması,  3 boyutlu uzayın büyük direyi içeren düzleme göre yansıması olarak 

görülebilir.) 

Böylece rotasyonlar ve yansımaları düzlem ve küre üzerine görmek kolaydır. Ayrıca küre ve düzlem 

üzerindeki bütün rotasyon ve yansımalar globaldir, çünkü bunlar, düzlemin ve  kürenin tamamını 

kendilerine götürür. (örneğin; bir küre üzerindeki herhangi bir nokta etrafındaki bir içe ait rotasyon her 

zaman tüm kürenin bir rotasyondur).Silindir ve konilerde içe ait  rotasyonlar ve yansımalar lokal 

olarak oluşur çünkü silindirler ve koniler lokal olarak düzleme izometriktir. Ancak, koni ve 

silindirlerde bazı içe ait rotasyonlar dışa ait ve globalde olabilir; örneğin tepe açısı <360

olan dairesel 



koninin tepe noktası etrafındaki rotasyonlar veya silindir üzerindeki her hangi bir nokta etrafındaki 

yarım dönüş. Tepe açısı >360

olan dairesel koninin tepe noktası etrafındaki rotasyonlar-koniler 



küresel ama dışa ait değildir. Geodezik boyunca katı (rigid) hareket simetrileri silindirlerde global ve 

dışa ait ama konilerde değildir.(nedenini anladınız mı?) yansımalar genelde ne dışa ait ne de 

globaldirler.(silindir ve konilerdeki istisnaları anladınız mı?). 

 

PROBLEM 5.4 YÜZEYLERDE ROTASYONLAR VE YANSIMALAR 

Fiziksel hiperbolik düzlemlerden gördüğümüz gibi geodezikler iki noktanın birleşiminden 

oluşmaktadır ve bu geodezikler yansıma simetrisine sahiptirler.( eğer bunu problem 5.1c de 

görmediyseniz, geri dönün ve modelinizle tekrar çalışın. Bölüm 17 de daha üst yarı düzlem modeli 

kullanarak ispatlayacağız.). bölüm 17 de bu yansımaların tüm hiperbolik uzayın global yansımaları 

olduğunu göstereceğiz. Hiperbolik düzlemin dışa ait yansımalarının olmadığına dikkat ediniz. Ayrıca, 

verilenlere göre içe ait rotasyonların varlığı da kesin değildir. 

a.l ve m hiperbolik düzlem üzerinde P noktasında kesişen iki geodezik olsun. l üzerindeki R

l

 

yansıması 

 

ile m üzerindeki R



yansımasının bileşimine bakınız. R

m

 R



bileşiminin P etrafında 

rotasyon olduğunu gösteriniz. Rotasyonun açısı nedir? 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

Şekil 5.11 İki Yansımanın Bileşimi Bir Dönmedir 

A,m üzerinde ve B de l üzerinde nokta olsun ve Q m ve l üzerinde olmayan her hangi bir nokta 

olsun. A,B ve Q nun  R

l

 tarafından nereye gönderildiğini bulunuz ve sonra da R



m

 R

tarafından nereye 

gönderildiklerini bulunuz. Bakınız Şekil 5.11. P dışındaki bütün noktalar neden aynı açı ile aynı yönde 

dönüyorlar. 

Bölüm 11 de simetri ve izometri hakkında daha detaylı çalışacağız. Bu bölümde her izometrinin 

(düzlem,küre ve hiperbolik düzlemlerde) bir, iki veya üç yansımanın bileşimi olduğunu göstereceğiz. 



a.Problem 3.2 nin (VAT) silindir, koni (tepe noktalarını içeren)  ve hiperbolik düzlemler için uygun 

olduğunu gösteriniz. 

3.2 ispatınızı kontrol etmek isterseniz, ispatlarınızı simetrileri içerecek şekilde değiştiriniz, 

böylece bu ispatların diğer yüzeyler içinde sağlandığını göreceksiniz. 

b.Tanımlarınızdaki yansıma tanımını kullanmadan bir şeklin P noktası etrafında Өaçısı ile 

rotasyonunu tanımlayınız. 

P noktasında olmayan bir noktaya rotasyon ne yapar? 



c.Popüler lise kitapları rotasyonu iki yansımanın bileşimi olarak tanımlar. Bu iyi bir tanım mı? 

Neden ya da neden değil? 

 

 



 

 

 



 

 

 



  

 

 



 

   


 

 

 

 

 



Yüklə 1,79 Mb.

Dostları ilə paylaş:
1   2   3   4   5




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin