T. C. Gazi ÜNİversitesi fen-edebiyat faküLtesi matematik böLÜMÜ



Yüklə 304.78 Kb.
PDF просмотр
səhifə1/5
tarix28.01.2017
ölçüsü304.78 Kb.
  1   2   3   4   5

 

 

T.C. 

GAZİ ÜNİVERSİTESİ 

 FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ 

MATEMATİK BÖLÜMÜ  

 

 

 

 

MATEMATİK ARAŞTIRMA PROJESİ 

 

 

 

PROJE KONULARI 

 

Düzlük 

Kürelerde Düzlük 

Açı 

Silindir Ve Konilerde Düzlük 

Hiperbolik Düzlemlerde Düzlük 

 

 



 

 

 

HAZIRLAYAN 

 

Çiğdem KARACA 

030420037 

 

 

 

 

 

ÖĞRETİM ÜYESİ 

 

Prof. Dr Baki KARLIĞA 

 

 

 



 

 

 



ANKARA 

2006 


                                                                              

                                                                                                                 BÖLÜM 1 

 

DÜZLÜK NEDİR? 

 

TARİHÇE: BİR DÜZ DOĞRUYU NASIL ÇİZEBİLİRİZ? 

Pergelle bir çember çizerken, bir çember modeli ile başlamayız; bunun

 

yerine


 

çemberin 

üzerindeki noktalar çemberin merkezine sabit uzaklıktadır prensibini kullanırız. Veya Öklit’in çember 

tanımını kullanıyoruz diyebiliriz(Bakınız Ek A, Tanım 15). Peki ya,düz doğru çizimi;düz doğruyu 

çizecek bir alet ( pergel görevi görecek) var mıdır? Birisi düz doğru çizmek için cetvel 

kullanabileceğimizi söyleyebilir. Peki, cetvelin bir düz doğru olduğunu nasıl biliyoruz? Bir şeyin 

düzlüğünü nasıl kontrol edebiliriz? Düzlük ne demektir? Bunun hakkında biraz düşününüz.─Bu 

Problem 1.1’in bir kısmını oluşturuyor. 

Öklit’in üsteki tanımını kullanmayı deneyebilirsiniz. Bir kâğıt parçasını katladığımız takdirde

kat çizgisi düz doğru olacaktır ─bu esnada kenarların düz doğru olması gerekmemektedir. Burada düz 

doğru oluşturmak için ayna simetrisinden yararlanılır. Marangozlar da düzlüğe karar verirken 

simetriden yararlanırlar.─İki tahtayı yüz yüze gelecek şekilde yerleştirirler, kenarları  düzgün olarak 

görünene kadar rendelerler ve sonra tahtalardan birini rendelenmiş kenarlar birbiri üstüne gelecek 

şekilde diğerinin üstüne yerleştirirler. Bakınız Şekil 1.1. Daha sonra tahtaları ışığa doğru tutarlar. Eğer 

kenarlar düzgün değilse, tahtalar arasında bulunan boşluklar ışık sayesinde fark edilecektir. Düz 

doğrunun simetrilerini Problem 1.1’de detaylı olarak inceleyeceğiz. 

 

 

Şekil 1.1. Düzlüğü kontrol etmek için marangozların kullandığı yöntem 

Bazen, aşırı pürüzsüz düz aynaları bilerken, aşağıdaki teknik kullanılır: neredeyse düz olan üç 

cam parçasını alın ve 1. ile 2. parçaları arasına süngertaşı(ponza) koyun sonra birlikte bileyin. Daha 

sonra aynı hareketi 2. ile 3, 3. ile1. parçalar için tekrarlayın. Bu hareketi üç parçada tam düz oluncaya 

kadar tekrar edin.Bakınız Şekil 1.2. bunun neden işe yaradığını anlıyor musunuz?  


 

Şekil 1.2. Düz aynaların bilenişi 

Ayrıca, genel lise tanımını kullanabiliriz, “ iki nokta arasındaki en kısa mesafe bir düz 

doğrudur.”. bu tanım bizi bir ipi gererek düz doğru oluşturmaya götürür. 

Simetri kullanımı, germe ve katlama diğer yüzeylere de uygulanabilirler, bu uygulamaları Bölüm 

2,4 ve 5’te göstereceğiz. Literatürde bulunan “düz doğru tanımsız bir terimdir” ya da “ bir kürenin 

üzerinde bulunan düz doğrular muazzam çemberlerin yaylarıdır” tanımlamaları kafamızı 

karıştırabilir.”simetri” Art/Pattern Strand’dan gelir,”tanımsız terim” Building/Structures Strand’dan 

gelir,”en kısa mesafe” tanımı Navigation/Stargazing Strand’dan gelir. 

Ama hala tam anlamıyla düz doğru çizecek pergele benzer bir mekanizma var mıdır sorusu 

cevapsız kalmıştır. Bu sorunun cevabını mekanik tarihinin içinde bulacağız. Bu bizi Motion/Machines 

Strand’a ve düzlüğün diğer bir anlamına götürecek.  

   



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Şekil 1.3. 13.yy yukarı ve aşağı bıçkıhanesi 

13. yy’ dan bu yana dairesel hareketi düzgün doğrusal harekete dönüştürmek uygulamalı 

mühendislik problemi olmuştur. 13. yy daki bıçkıhane eskizlerinde gördüğümüz gibi linkler(link 

çubukları yüzeye bağlanmış ve son kısımları perçinlenmiş) (bakınız şekil 1.3)  13. yy da kullanıldılar 

ve muhtemelen daha önceleri icat edildiler. Georgius Agricola(1494–1555) ‘nın jeolojik yazıları [ME: 

Agricola] sadece ilk elden kaya ve mineral gözlemlerini yansıtmıyor, bunun yanında maden 

mühendisliğinin her açıdan gözlemlerini ve zaman içindeki pratiklerini(uygulamalarını) de yansıtıyor. 


Onun çalışmalarında ki resimlerde su dolabının sürekli rotasyonunun, pistonun pompalamasına denk 

gelen ileri geri harekete dönüşmesi için kullanılan linkler rahatlıkla görülebilir.1588’de, Agostino 

Ramelli [ME: Ramelli] linkleri yaygın olarak kullanılmış olan, makineler hakkında bir kitap 

yayınlamıştır. Bu kitapların ikisi de okunabilir durumda; kaynakçaya bakınız. 

 18. yy sonlarında insanlar güç için buhar motorlarını kullanmaya başladılar. Oldukça yetenekli 

bir makine tasarımcısı olan JamesWatt (1736–1819), buhar motorlarının verimliliklerini ve güçlerini 

geliştirmek için çalıştı. Buhar motorlarında, buhar basıncı pistonu düz silindir içinde aşağı iter. Watt’ın 

problemi bu doğrusal hareketin nasıl tekerleğin dairesel hareketine dönüştürülebilineceği idi( buhar 

lokomotifinde olduğu gibi). Doğrusal hareketi dairesel harekete dönüştürecek bir düzgün doğru linkini 

tasarlamak Watt’ın yıllarını aldı. Daha sonra oğluna şunları söylemiştir. 



“Her ne kadar şöhrete rağmen endişeli olmasam da paralel hareketten,bugüne dek yaptığım 

diğer mekanik icatlardan daha çok gurur duymaktayım.” 

“Paralel Hareket” Watt’ın kendi linki için kullandığı isimdir. Bu isim 1784’teki patente dâhildir. 

Watt’ın bu linki uygulamalı mühendislik problemine iyi bir çözümdü. Bakınız Şekil 1.4’ de Watt’ın 

linki sol üst köşede bir paralelkenar ve birleşmiş linklerdir. 

 

                     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Şekil 1.4. Watt’ın paralel hareket linkini içeren buhar motoru 

 

          Lakin Watt’ın linkinin sadece yaklaşık bir düz doğru oluşturacağını bilen matematikçiler 



Watt’ınn tatmin olmadılar. Matematikçiler düzlemsel düz doğru linklerini aramaya devam etmişlerdir. 

Fransız subay Charles Nikolas Peaucellier (1832–1913), ve Rus üniversite öğrencisi Lipmann I. 

Lipkin(1851–1875) birbirlerinden bağımsız olarak kesin düz doğru çizen link (makine bağlantısı) 

bulana kadar yani 1864–1871 yıllarına kadar kesin düz doğru çizen bir link bulunamadı. Bakınız Şekil 

1.5( Lipkin hakkında fazla bilgi yok. Bazı kaynaklara göre Litvanya’da doğdu ve St. Petersburg ‘taki 

Chebyshev’de lisans üstü öğrencisiydi. Ama doktora tezini tamamlayamadan öldü. )( Bu keşif 



hakkında daha fazla bilgi için Philip Davis ‘in The Thread adlı kitabına bakınız [EM : Davis ], Bölüm 

4). 


  

 

Şekil 1.5 Peaucellier ve Lipkin’in düz doğru çizmek, için hazırladığı link. 

Şekil 1.5 deki link çalıştı çünkü ilerde Problem 16.3’te göstereceğimiz gibi, Q noktası sadece 

yarıçapı (s



−d



)f /(g

2  

−f 



)olan çemberin yayı boyunca hareket edecektir. Bu sayede geniş bir 

çemberin yayını, çemberin merkezini kullanmaksızın çizebiliriz. Eğer g ve f uzunlukları eşitse, P 

sonsuz yarıçapı olan bir çemberin yayını çizecektir. (Bu link hakkındaki diğer bir görüş için bakınız  

[EG: Hilbert], sayfa 272-273). Böylece Motion/Machines Starnd’dan bakınca düz doğrunun diğer bir 

tanımını bulduk.”Düz doğru yarıçapı sonsuz olan bir çemberdir.”(Yarıçapı sonsuz olan çember 

hakkında bilgi edinmek için Şekil 11.4’ün yanındaki metne bakınız.) 

 

PROBLEM 1.1 NEZAMAN BİR DOĞRUYU DÜZ OLARAK TANIMLARIZ? 

Önsözde yer alan geometri yaklaşımına uygun olarak, sizi düzlük kavramını derinlemesine 

inceleme konusunda teşvik edecek bir soru ile başlayalım. Sizden düzlük hakkında sayısız 

varsayımları kabullenmenizdense deneyimlerinize dayalı bir düzlük fikri oluşturmanızı istiyoruz. Bunu 

formülize etmek zor olsa da düzlük doğal bir kavramdır.  

a.

 

Uygulamalı olarak bir şeyin düz olduğunu nasıl kontrol edersiniz? Düz bir şeyi nasıl 

oluşturursunuz?─Çit kazıklarını bir düz doğru oluşturacak şekilde nasıl yerleştirirsiniz, 

ya da nasıl düz doğru çizersiniz? Farz edelim bunu cetvelle çizerek yaptınız, o zaman 

biz şunu soracağız” Cetvelin düz olduğunu nasıl kontrol edebilirsiniz?” 

İlk olarak, deneyimlerinizdeki düzlük örneklerine bir bakınız. Dışarı çıkın ve düz bir doğru 

boyunca yürümeyi deneyin ve sonra da eğimli bir yol boyunca; düz çizgi doğru çizmeyi deneyin ve 

sonra bu doğrunun düz olduğunu kontrol edin.Düz doğruyu,düz olmayan doğrulardan ayıran özelliğe 

baktığınız için, muhtemelen şu durumu hatırlayacaksınız( çoğunlukla lise geometrisinde tanım olarak 


bulunur): iki nokta arasındaki en kısa mesafeye düz doğru denir. Fakat iki nokta arasındaki bütün 

yolların uzunluklarını ölçebilir misiniz? En kısa yolu nasıl bulursunuz? İki nokta arasındaki en kısa 

mesafe gerçekten bir düz doğru ise, bunun tersi de doğru mudur? İki nokta arasına çizilen bir düz 

doğru her zaman en kısa mesafe midir? Daha sonraki bölümlerde bu sorulara döneceğiz. 

Bu probleme güçlü bir yaklaşım doğruları simetri açısından düşünmek olur. Diğer 

yüzeyleri(küreler, koniler, silindirler ve diğerleri) ele aldıkça bu yaklaşım daha da önem 

kazanacaktır.Doğruların simetrilerinden iki tanesi aşağıdaki gibidir: 

 



Doğruda Yansıma Simetrisi, iki taraflı simetri olarak tanımlanır ─doğru üzerinde bir 

nesneyi yansıtmaktır. 

 

 

 

Şekil 1.6 Düz Doğrunun Yansıma Simetrisi 

 

 



Yarı Dönüş Simetrisi, doğru üzerindeki herhangi bir nokta etrafında 180° dönmektir. 

 

 



 

 

Şekil 1.7 Düz Doğrunun Yarı Dönüş Simetrisi 

 

Bu örneklerin her birinde doğrunun simetrisi üzerinde durmamıza rağmen, farkında olmalısınız 



ki simetri kendi başına doğruya ait bir özellik değildir, aksine simetri hem doğruyu hem de doğru 

etrafındaki uzayı içerir. Simetriler mahalli çevreyi muhafaza eder. Fark ederseniz, doğruda yansıma 

simetrisi, yarı dönüş simetrisi ve doğrunun etrafı simetri hareketinin birer parçasıdırlar ve aralarındaki 

ilişkinin tamamı harekete uygundur. Gerçekten,doğrudaki yansıma kesinlikle doğruyu hareket 

ettirmez, ama bulunduğu uzaylarda doğrunun her iki tarafının da aynı olduğu bir yol sergiler.  

Tanımlar 

İzometri: Açı ölçülerini ve mesafeleri muhafaza ederek yer değiştirmedir. 

Bir Şeklin Simetrisi: Uzaydaki bir bölgenin öyle bir izometrisidir ki şekli(veya şeklin bulunduğu 

bölgenin bir parçasını) kendi üzerine götürür. 

Bir uzayın bütün izometrilerinin öteleme, dönüşüm, yansıma ya da bunların birleşimi olduğu Problem 

11.3’te gösterilecektir



b. Düz Doğrunun Simetrileri Nelerdir? 

Doğrunun diğer simetrileri hakkında da düşünmeye çalışınız( birkaç tane var) Bazı simetriler düz 

doğrular için uygun olsa da bazıları diğer eğriler için de uygun olabilirler. Hangi simetrilerin sadece 


düz doğrulara özgü olduğunu bulunuz ve nedenini düşününüz. Bunun yanında düz doğru oluşturmak 

ya da doğrunun düzlüğüne karar vermek için bu simetrilerin uygulamalarını da düşününüz. 



c. Genelde Farklı Doğruluk Sanıları Nelerdir? 

           “Düz Doğru “ Tanımını Yapabilir misiniz? 

“Düz” diye adlandırdığımız şeyleri araştırınız. Düz doğruları nerelerde görürüsünüz? Neden 

bunlara düz dersiniz? Düz dediğimiz hem fiziksel hem de fiziksel olmayan doğruları araştırınız. Düz 

doğrunun simetrileri nelerdir? Bulduğunuz örneklerle ya da yukarıdaki örneklerle uyuşuyorlar mı? 

Düzlüğü tanımlarken doğrunun simetrilerinden herhangi birini kullanabilir miyiz? İki düzlemin 

kesişimi bir düz doğru mudur? Öyleyse bu neden düz doğrudur? Bize düzlük kavramını anlama da 

yardımcı olur mu?  

Elinizde ucuna taş bağlı uzun bir iple yürüdüğünüzü düşününüz. Bu taş ne zaman sizin yolunuzu 

takip edecektir? Neden? Bu özellik düşen bir su kayakçısını kaldırmak için kullanılır. Bot düz doğru 

boyunca kayakçının yanında gider ve böylece halat botun yolunu takip eder. Sonra bot belli bir açı ile 

kayakçının önünden döner. Çünkü bot artık düz bir yol izlemiyordur, halat düşen kayakçıya doğru 

hareket eder. Burada neler olur? 

Akılda tutulması gereken diğer bir düşünce ise düzlük lokal bir özellik olarak düşünülmelidir. Bir 

doğrunun tamamı düz olmadığı halde bir kısmı düz olabilir. Örneğin, bu doğru düz ise  

 

 

Ve sonra bu doğrunun sonuna eğri eklersek, burada olduğu gibi  



 

 

 



 

şimdi bu doğrunun orijinali değişmediği halde, sadece bir kısım eklendiği için bu doğrunun orijinal 

kısmı düz değil midir diyeceğiz? Ayrıca burada dikkat ederseniz doğru ve doğru parçası arasında bir 

ayrım yapmıyoruz. Genellikle diğerlerine göre daha genel bir terim olan doğru;her doğru parçası, düz 

ve düz olmayan doğrulara gönderme yapmaktadır.  

Muhtemelen düzlük hakkında birçok fikir oluşturdunuz. Şimdi yapmanız gereken, tüm bu düz 

olgular için ortak noktanın ne olduğunu düşünmektir.  

Daha fazla okumadan bu konu hakkında düşününüz, bu soruya verdiğiniz cevapların bazılarını 

açık olarak belirtiniz. Neden düz olduğunu anlayana kadar hiçbir cevabı kabullenmeyiniz. Hiçbir 

cevap önceden tayin edilemez. Bizim asla hayal edemeyeceğimiz bir şeyler bulabilirsiniz. Sonuç 

olarak önemli olan kendi düşüncelerinizde ısrar etmenizdir. Sayfa 25 ten başlayan bu kitap nasıl 

kullanılır kısmını tekrar okuyunuz.  



!

 Bu konu hakkındaki düşüncelerinizi yazarak ya da konuşarak anlatana kadar bundan sonraki 

bölümleri okumamalısınız. 

DOĞRUNUN SİMETRİLERİ 

Doğrusal Simetride Yansıma: Yansımayı 3 boyutlu uzayda olan “tersine çevirme” olarak 

düşünmektense, ekseni doğru olan bir ayna olarak düşünmek bizim için daha kullanışlı olacaktır. 

Böylelikle yansıma simetrisi fikrini kürelere kadar sürdürebiliriz. (tersine çevirme olayı kürelerde 

mümkün değildir.) . Simetri düzlük tanımı olarak kullanılamaz çünkü yansıma simetrisini tanımlamak 

için düzlüğü kullanıyoruz. Aynı yaklaşım diğer simetri çeşitlerinin birçoğuna da uygulanır.  

 

 



 

 

 

 

 

Şekil 1.8  Doğrusal Simetride Yansıma 

Şekil 1.8-1.14 açık gri üçgen, koyu gri üçgenin simetri eylemi altında oluşan görüntüsüdür. 

 

Pratik uygulama: Bir parça kâğıdı katlayarak düz doğru elde edebiliriz. 



Çünkü oluşan kat etrafında bir simetri oluşacaktır. Yukarıda marangozun örneğini gösterdik. 

Doğrusal Simetride Dik Yansıma:Doğruya dik olan herhangi bir eksen etrafındaki yansıma 

yine doğruyu kendi üstüne taşıyacaktır. Dikkat ederseniz, daireler de çap etrafında bu simetriye 

sahiptirler. 

 

 



 

 

 



 

 

 

Şekil 1.9 Doğusal Simetride Dik Yansıma 

 



Pratik uygulama: Ayna ile dik açı yapacak şekilde bulunan doğru parçası baktığımızda yansıma 

ile birlikte doğru olarak görebiliriz.Ayrıca, bir düz doğruyu kendi üstüne katlayabiliriz. 



Yarı – dönüş simetrisi: Bir doğru üzerindeki herhangi bir P noktası etrafındaki yarım devirlik 

rotasyon, doğrunun P noktasından önceki parçasını P noktasından sonraki parçasının üzerine taşır, 



terside geçerlidir. Dikkat edersek; Z gibi düz olmayan doğrularda yarı dönüş simetrisine sahiptirler 

fakat bu simetri her noktada değildir. 

 

 

 

 

 

Şekil 1. 10: Yarı Dönüş Simetrisi 

 



Pratik uygulama: Yarı dönüş simetrisi, vidanın yivi ile tornavidanın ucu arasında oluşur.( Ama 

vidanın ve tornavidanın Philips- başlı olmaması gerekir, çünkü bu çeşit vida ayrıca çeyrek 

dönüş simetrisine sahiptir.) ve böylece torna vidanın ucunu yive daha kolay yerleştirebiliriz. 

Ayrıca, bu simetriyi kapı (düz duvara bağlı) açmada da görebiliriz. 



 

Kendi Simetrisi Boyunca Rigid (Katı) Hareket: Düz doğrular için bu simetriye ötelemeli 

simetri derz. Düz doğrunun herhangi bir parçası, doğrudan ayrılmayacak şekilde doğru boyunca 

hareket edebilir.Bu katı hareket özelliği sadece düz doğrulara özgü değildir; daireler (dönme simetrisi) 

ve dairesel helisler ( vida simetrisi) de bu özelliğe sahiptirler.( bakınız şekil 1.1) 

 

Pratik uygulama: trombonların, çekmecelerin, somunların ve sürgülerin içindeki eklemleri 



kaydırmak, bu simetriye örnektir. 

 

Şekil 1.11 Kendi Simetrisi Boyunca Katı Hareket 



 

3-Boyutlu Dönme Simetrisi: 3- boyutlu uzayda doğrunun kendisini eksen olarak kullanarak 

kendi etrafında herhangi bir açı ile döndürülmesidir. 



 

 

 

Şekil 1.12   3-Boyutlu Dönme Simetrisi 

 

 



Pratik uygulama: Bu simetri herhangi uzun ince bir cismin düzlüğünü kontrol etmek için 

kullanılabilir. Mesela, kendi ekseni etrafında hızla dönen bir çöp. Bu simetri ıstakalar, miller, 

toplu iğneler ve bunun gibi cisimler için kullanılır. 

Merkezi simetri veya nokta simetrisi: P noktasında merkezi simetri herhangi bir A noktasını, 

doğru üzerinde A ve P noktaları tarafından belirlenen bir noktaya gönderir. Bu noktanın P noktasına 

uzaklığı, A noktasının P noktasına uzaklığına eşittir. Ama bu nokta P noktasının diğer tarafında yer 

almaktadır. Bakınız Şekil 1.13 te 2 boyutlu ortamda merkezi simetri sonuç itibari ile yarı-dönüş 

simetrisinden farklı değildir, ama görüntüleri ve oluşturulmaları farklıdır. 

 



3-boyutlu uzayda, merkezi simetri herhangi tek rotasyon veya yansımadan farklı sonuç 

oluşturur.(merkezi simetri birbirine dik düzlemlerde bulunan 3 yansımanın bileşkesi ile aynı 

sonucu verdiğini kontrol edebiliriz). 3-boyutlu uzayda merkezi simetriyi denemek için, avuç 

içleri birbirine dönük olacak bir şekilde ellerinizi önünüzde birleştiriniz ve sol başparmağınız 

sağ başparmağınızın üstünde olsun. Elleriniz şuan da avuç içleri arasında oluşmuş orta yoldaki 

bir noktanın civarında yaklaşık olarak merkezi bir simetri oluşturdu; bu simetri herhangi bir 

yansıma ya da rotasyon tarafından oluşturulamaz. 

 

                            



 

 

 

   

                             

                                         Şekil 1.13  Merkezi Simetri 

 

 



Benzerlik ya da Kendine Benzerlik (Yarı Simetri):Düz doğrunun herhangi bir parçası(ve 

onun civarları) diğer bir parçasına benzemektedir.(yani aynı olabilmeleri için büyütülüp 



küçültülebilir). Bakınız Şekil 1.14.bu simetri değildir çünkü aradaki uzaklığı koruyamamaktadır ama 

yarı simetri olabilir çünkü açıların ölçüsü korunmaktadır. 

 

                       

 

 

 

 

                            

 

                       Şekil 1.14  Benzerlik “Yarı Simetri” 

Birçok fraktalın yaptığı gibi deniz helikonlarının kabukları gibi logaritmik sarmallar yarı 

benzerliğe sahiptirler.(Şekil 1.15 teki örneğe bakınız) 

 

                                         



 

 

                                     

 

 

Şekil 1.15  Logaritmik Spiral 

Açıkçası, doğruların yanı sıra diğer nesnelerde burada söz ettiğimiz simetrilerden bazılarına 

sahiptirler. Sizin için önemli olan kendinize böyle örnekler oluşturmanız ve bütün simetrilere sahip 

olan ama doğru olamayan bir nesne bulamayı denemenizdir. Bu size düzlük ve bahsedilen 7 simetri 

arasındaki ilişkiyi anlama konusunda yardımcı olacaktır. Şu sonuca varmalısınız; diğer eğriler ve 

şekiller bu simetrilerin bazılarına sahip iken sadece düz doğrular bu simetrilerin tümüne sahiptir. 



LOKAL (VE SONSUZ KÜÇÜK) DÜZLÜK 

Öncelikle, bir düz doğrunun nasıl yansıma ve yarı-dönüş simetrisine sahip olduğunu gördünüz: 

Doğrunun bir yanı diğeri ile aynıdır. Ama üstte de belirtildiği gibi, düzlük, bir doğru parçasının düz 

olup olmadığına dair yerel bir özelliktir. Bu özellik doğru parçasının yakınında ne olduğuna bağlıdır, 

doğrunun uzak kısımlarının ne olduğuna bağlı değildir. Böylece, simetrilerin her birinin yerel olarak 

uygulandığı düşünülmelidir. Bu daha sonra koni ve silindir de düzlüğü anlatırken önemli 

olacaktır.(Bölüm 4 teki açıklamaya bakınız).şimdilik aşağıdaki gibi denenebilir. 


Kâğıt parçasını ortadan olmayacak şekilde katladığımızda, katların iki tarafı aynı olmamasına 

rağmen kat çizgisi hala düzdür.(Bakınız şekil 1.16) 

O halde, yansıma simetrisini kullanarak düzlüğü kontrol ederken, kâğıdın yanlarını rolleri 

nelerdir? Yansıma simetrisi oluştururken bükümün önemini düşününüz. 

 

   



 

 

 

 
  1   2   3   4   5


Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2016
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə