T. C. Gazi ÜNİversitesi fen-edebiyat faküLtesi matematik böLÜMÜ
Yüklə 1,79 Mb. Pdf görüntüsü
|
|
T.C. GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MATEMATİK ARAŞTIRMA PROJESİ PROJE KONULARI Düzlük Kürelerde Düzlük Açı Silindir Ve Konilerde Düzlük Hiperbolik Düzlemlerde Düzlük
HAZIRLAYAN Çiğdem KARACA 030420037 ÖĞRETİM ÜYESİ
ANKARA 2006
BÖLÜM 1
Pergelle bir çember çizerken, bir çember modeli ile başlamayız; bunun
yerine
çemberin üzerindeki noktalar çemberin merkezine sabit uzaklıktadır prensibini kullanırız. Veya Öklit’in çember tanımını kullanıyoruz diyebiliriz(Bakınız Ek A, Tanım 15). Peki ya,düz doğru çizimi;düz doğruyu çizecek bir alet ( pergel görevi görecek) var mıdır? Birisi düz doğru çizmek için cetvel kullanabileceğimizi söyleyebilir. Peki, cetvelin bir düz doğru olduğunu nasıl biliyoruz? Bir şeyin düzlüğünü nasıl kontrol edebiliriz? Düzlük ne demektir? Bunun hakkında biraz düşününüz.─Bu Problem 1.1’in bir kısmını oluşturuyor. Öklit’in üsteki tanımını kullanmayı deneyebilirsiniz. Bir kâğıt parçasını katladığımız takdirde, kat çizgisi düz doğru olacaktır ─bu esnada kenarların düz doğru olması gerekmemektedir. Burada düz doğru oluşturmak için ayna simetrisinden yararlanılır. Marangozlar da düzlüğe karar verirken simetriden yararlanırlar.─İki tahtayı yüz yüze gelecek şekilde yerleştirirler, kenarları düzgün olarak görünene kadar rendelerler ve sonra tahtalardan birini rendelenmiş kenarlar birbiri üstüne gelecek şekilde diğerinin üstüne yerleştirirler. Bakınız Şekil 1.1. Daha sonra tahtaları ışığa doğru tutarlar. Eğer kenarlar düzgün değilse, tahtalar arasında bulunan boşluklar ışık sayesinde fark edilecektir. Düz doğrunun simetrilerini Problem 1.1’de detaylı olarak inceleyeceğiz.
Bazen, aşırı pürüzsüz düz aynaları bilerken, aşağıdaki teknik kullanılır: neredeyse düz olan üç cam parçasını alın ve 1. ile 2. parçaları arasına süngertaşı(ponza) koyun sonra birlikte bileyin. Daha sonra aynı hareketi 2. ile 3, 3. ile1. parçalar için tekrarlayın. Bu hareketi üç parçada tam düz oluncaya kadar tekrar edin.Bakınız Şekil 1.2. bunun neden işe yaradığını anlıyor musunuz?
Şekil 1.2. Düz aynaların bilenişi Ayrıca, genel lise tanımını kullanabiliriz, “ iki nokta arasındaki en kısa mesafe bir düz doğrudur.”. bu tanım bizi bir ipi gererek düz doğru oluşturmaya götürür. Simetri kullanımı, germe ve katlama diğer yüzeylere de uygulanabilirler, bu uygulamaları Bölüm 2,4 ve 5’te göstereceğiz. Literatürde bulunan “düz doğru tanımsız bir terimdir” ya da “ bir kürenin üzerinde bulunan düz doğrular muazzam çemberlerin yaylarıdır” tanımlamaları kafamızı karıştırabilir.”simetri” Art/Pattern Strand’dan gelir,”tanımsız terim” Building/Structures Strand’dan gelir,”en kısa mesafe” tanımı Navigation/Stargazing Strand’dan gelir. Ama hala tam anlamıyla düz doğru çizecek pergele benzer bir mekanizma var mıdır sorusu cevapsız kalmıştır. Bu sorunun cevabını mekanik tarihinin içinde bulacağız. Bu bizi Motion/Machines Strand’a ve düzlüğün diğer bir anlamına götürecek.
Şekil 1.3. 13.yy yukarı ve aşağı bıçkıhanesi 13. yy’ dan bu yana dairesel hareketi düzgün doğrusal harekete dönüştürmek uygulamalı mühendislik problemi olmuştur. 13. yy daki bıçkıhane eskizlerinde gördüğümüz gibi linkler(link çubukları yüzeye bağlanmış ve son kısımları perçinlenmiş) (bakınız şekil 1.3) 13. yy da kullanıldılar ve muhtemelen daha önceleri icat edildiler. Georgius Agricola(1494–1555) ‘nın jeolojik yazıları [ME: Agricola] sadece ilk elden kaya ve mineral gözlemlerini yansıtmıyor, bunun yanında maden mühendisliğinin her açıdan gözlemlerini ve zaman içindeki pratiklerini(uygulamalarını) de yansıtıyor.
Onun çalışmalarında ki resimlerde su dolabının sürekli rotasyonunun, pistonun pompalamasına denk gelen ileri geri harekete dönüşmesi için kullanılan linkler rahatlıkla görülebilir.1588’de, Agostino Ramelli [ME: Ramelli] linkleri yaygın olarak kullanılmış olan, makineler hakkında bir kitap yayınlamıştır. Bu kitapların ikisi de okunabilir durumda; kaynakçaya bakınız. 18. yy sonlarında insanlar güç için buhar motorlarını kullanmaya başladılar. Oldukça yetenekli bir makine tasarımcısı olan JamesWatt (1736–1819), buhar motorlarının verimliliklerini ve güçlerini geliştirmek için çalıştı. Buhar motorlarında, buhar basıncı pistonu düz silindir içinde aşağı iter. Watt’ın problemi bu doğrusal hareketin nasıl tekerleğin dairesel hareketine dönüştürülebilineceği idi( buhar lokomotifinde olduğu gibi). Doğrusal hareketi dairesel harekete dönüştürecek bir düzgün doğru linkini tasarlamak Watt’ın yıllarını aldı. Daha sonra oğluna şunları söylemiştir. “Her ne kadar şöhrete rağmen endişeli olmasam da paralel hareketten,bugüne dek yaptığım diğer mekanik icatlardan daha çok gurur duymaktayım.” “Paralel Hareket” Watt’ın kendi linki için kullandığı isimdir. Bu isim 1784’teki patente dâhildir. Watt’ın bu linki uygulamalı mühendislik problemine iyi bir çözümdü. Bakınız Şekil 1.4’ de Watt’ın linki sol üst köşede bir paralelkenar ve birleşmiş linklerdir.
Lakin Watt’ın linkinin sadece yaklaşık bir düz doğru oluşturacağını bilen matematikçiler Watt’ınn tatmin olmadılar. Matematikçiler düzlemsel düz doğru linklerini aramaya devam etmişlerdir. Fransız subay Charles Nikolas Peaucellier (1832–1913), ve Rus üniversite öğrencisi Lipmann I. Lipkin(1851–1875) birbirlerinden bağımsız olarak kesin düz doğru çizen link (makine bağlantısı) bulana kadar yani 1864–1871 yıllarına kadar kesin düz doğru çizen bir link bulunamadı. Bakınız Şekil 1.5( Lipkin hakkında fazla bilgi yok. Bazı kaynaklara göre Litvanya’da doğdu ve St. Petersburg ‘taki Chebyshev’de lisans üstü öğrencisiydi. Ama doktora tezini tamamlayamadan öldü. )( Bu keşif hakkında daha fazla bilgi için Philip Davis ‘in The Thread adlı kitabına bakınız [EM : Davis ], Bölüm 4).
Şekil 1.5 Peaucellier ve Lipkin’in düz doğru çizmek, için hazırladığı link. Şekil 1.5 deki link çalıştı çünkü ilerde Problem 16.3’te göstereceğimiz gibi, Q noktası sadece yarıçapı (s
çemberin yayını, çemberin merkezini kullanmaksızın çizebiliriz. Eğer g ve f uzunlukları eşitse, P sonsuz yarıçapı olan bir çemberin yayını çizecektir. (Bu link hakkındaki diğer bir görüş için bakınız [EG: Hilbert], sayfa 272-273). Böylece Motion/Machines Starnd’dan bakınca düz doğrunun diğer bir tanımını bulduk.”Düz doğru yarıçapı sonsuz olan bir çemberdir.”(Yarıçapı sonsuz olan çember hakkında bilgi edinmek için Şekil 11.4’ün yanındaki metne bakınız.)
Önsözde yer alan geometri yaklaşımına uygun olarak, sizi düzlük kavramını derinlemesine inceleme konusunda teşvik edecek bir soru ile başlayalım. Sizden düzlük hakkında sayısız varsayımları kabullenmenizdense deneyimlerinize dayalı bir düzlük fikri oluşturmanızı istiyoruz. Bunu formülize etmek zor olsa da düzlük doğal bir kavramdır.
İlk olarak, deneyimlerinizdeki düzlük örneklerine bir bakınız. Dışarı çıkın ve düz bir doğru boyunca yürümeyi deneyin ve sonra da eğimli bir yol boyunca; düz çizgi doğru çizmeyi deneyin ve sonra bu doğrunun düz olduğunu kontrol edin.Düz doğruyu,düz olmayan doğrulardan ayıran özelliğe baktığınız için, muhtemelen şu durumu hatırlayacaksınız( çoğunlukla lise geometrisinde tanım olarak
bulunur): iki nokta arasındaki en kısa mesafeye düz doğru denir. Fakat iki nokta arasındaki bütün yolların uzunluklarını ölçebilir misiniz? En kısa yolu nasıl bulursunuz? İki nokta arasındaki en kısa mesafe gerçekten bir düz doğru ise, bunun tersi de doğru mudur? İki nokta arasına çizilen bir düz doğru her zaman en kısa mesafe midir? Daha sonraki bölümlerde bu sorulara döneceğiz. Bu probleme güçlü bir yaklaşım doğruları simetri açısından düşünmek olur. Diğer yüzeyleri(küreler, koniler, silindirler ve diğerleri) ele aldıkça bu yaklaşım daha da önem kazanacaktır.Doğruların simetrilerinden iki tanesi aşağıdaki gibidir: •
Doğruda Yansıma Simetrisi, iki taraflı simetri olarak tanımlanır ─doğru üzerinde bir nesneyi yansıtmaktır.
•
Yarı Dönüş Simetrisi, doğru üzerindeki herhangi bir nokta etrafında 180° dönmektir.
Şekil 1.7 Düz Doğrunun Yarı Dönüş Simetrisi
Bu örneklerin her birinde doğrunun simetrisi üzerinde durmamıza rağmen, farkında olmalısınız ki simetri kendi başına doğruya ait bir özellik değildir, aksine simetri hem doğruyu hem de doğru etrafındaki uzayı içerir. Simetriler mahalli çevreyi muhafaza eder. Fark ederseniz, doğruda yansıma simetrisi, yarı dönüş simetrisi ve doğrunun etrafı simetri hareketinin birer parçasıdırlar ve aralarındaki ilişkinin tamamı harekete uygundur. Gerçekten,doğrudaki yansıma kesinlikle doğruyu hareket ettirmez, ama bulunduğu uzaylarda doğrunun her iki tarafının da aynı olduğu bir yol sergiler.
bölgenin bir parçasını) kendi üzerine götürür. Bir uzayın bütün izometrilerinin öteleme, dönüşüm, yansıma ya da bunların birleşimi olduğu Problem 11.3’te gösterilecektir. b. Düz Doğrunun Simetrileri Nelerdir? Doğrunun diğer simetrileri hakkında da düşünmeye çalışınız( birkaç tane var) Bazı simetriler düz doğrular için uygun olsa da bazıları diğer eğriler için de uygun olabilirler. Hangi simetrilerin sadece
düz doğrulara özgü olduğunu bulunuz ve nedenini düşününüz. Bunun yanında düz doğru oluşturmak ya da doğrunun düzlüğüne karar vermek için bu simetrilerin uygulamalarını da düşününüz. c. Genelde Farklı Doğruluk Sanıları Nelerdir? “Düz Doğru “ Tanımını Yapabilir misiniz? “Düz” diye adlandırdığımız şeyleri araştırınız. Düz doğruları nerelerde görürüsünüz? Neden bunlara düz dersiniz? Düz dediğimiz hem fiziksel hem de fiziksel olmayan doğruları araştırınız. Düz doğrunun simetrileri nelerdir? Bulduğunuz örneklerle ya da yukarıdaki örneklerle uyuşuyorlar mı? Düzlüğü tanımlarken doğrunun simetrilerinden herhangi birini kullanabilir miyiz? İki düzlemin kesişimi bir düz doğru mudur? Öyleyse bu neden düz doğrudur? Bize düzlük kavramını anlama da yardımcı olur mu? Elinizde ucuna taş bağlı uzun bir iple yürüdüğünüzü düşününüz. Bu taş ne zaman sizin yolunuzu takip edecektir? Neden? Bu özellik düşen bir su kayakçısını kaldırmak için kullanılır. Bot düz doğru boyunca kayakçının yanında gider ve böylece halat botun yolunu takip eder. Sonra bot belli bir açı ile kayakçının önünden döner. Çünkü bot artık düz bir yol izlemiyordur, halat düşen kayakçıya doğru hareket eder. Burada neler olur? Akılda tutulması gereken diğer bir düşünce ise düzlük lokal bir özellik olarak düşünülmelidir. Bir doğrunun tamamı düz olmadığı halde bir kısmı düz olabilir. Örneğin, bu doğru düz ise
şimdi bu doğrunun orijinali değişmediği halde, sadece bir kısım eklendiği için bu doğrunun orijinal kısmı düz değil midir diyeceğiz? Ayrıca burada dikkat ederseniz doğru ve doğru parçası arasında bir ayrım yapmıyoruz. Genellikle diğerlerine göre daha genel bir terim olan doğru;her doğru parçası, düz ve düz olmayan doğrulara gönderme yapmaktadır. Muhtemelen düzlük hakkında birçok fikir oluşturdunuz. Şimdi yapmanız gereken, tüm bu düz olgular için ortak noktanın ne olduğunu düşünmektir. Daha fazla okumadan bu konu hakkında düşününüz, bu soruya verdiğiniz cevapların bazılarını açık olarak belirtiniz. Neden düz olduğunu anlayana kadar hiçbir cevabı kabullenmeyiniz. Hiçbir cevap önceden tayin edilemez. Bizim asla hayal edemeyeceğimiz bir şeyler bulabilirsiniz. Sonuç olarak önemli olan kendi düşüncelerinizde ısrar etmenizdir. Sayfa 25 ten başlayan bu kitap nasıl kullanılır kısmını tekrar okuyunuz. ! Bu konu hakkındaki düşüncelerinizi yazarak ya da konuşarak anlatana kadar bundan sonraki bölümleri okumamalısınız.
düşünmektense, ekseni doğru olan bir ayna olarak düşünmek bizim için daha kullanışlı olacaktır. Böylelikle yansıma simetrisi fikrini kürelere kadar sürdürebiliriz. (tersine çevirme olayı kürelerde mümkün değildir.) . Simetri düzlük tanımı olarak kullanılamaz çünkü yansıma simetrisini tanımlamak için düzlüğü kullanıyoruz. Aynı yaklaşım diğer simetri çeşitlerinin birçoğuna da uygulanır.
Şekil 1.8 Doğrusal Simetride Yansıma Şekil 1.8-1.14 açık gri üçgen, koyu gri üçgenin simetri eylemi altında oluşan görüntüsüdür. •
Çünkü oluşan kat etrafında bir simetri oluşacaktır. Yukarıda marangozun örneğini gösterdik. Doğrusal Simetride Dik Yansıma:Doğruya dik olan herhangi bir eksen etrafındaki yansıma yine doğruyu kendi üstüne taşıyacaktır. Dikkat ederseniz, daireler de çap etrafında bu simetriye sahiptirler.
Şekil 1.9 Doğusal Simetride Dik Yansıma •
Pratik uygulama: Ayna ile dik açı yapacak şekilde bulunan doğru parçası baktığımızda yansıma ile birlikte doğru olarak görebiliriz.Ayrıca, bir düz doğruyu kendi üstüne katlayabiliriz. Yarı – dönüş simetrisi: Bir doğru üzerindeki herhangi bir P noktası etrafındaki yarım devirlik rotasyon, doğrunun P noktasından önceki parçasını P noktasından sonraki parçasının üzerine taşır, terside geçerlidir. Dikkat edersek; Z gibi düz olmayan doğrularda yarı dönüş simetrisine sahiptirler fakat bu simetri her noktada değildir.
•
Pratik uygulama: Yarı dönüş simetrisi, vidanın yivi ile tornavidanın ucu arasında oluşur.( Ama vidanın ve tornavidanın Philips- başlı olmaması gerekir, çünkü bu çeşit vida ayrıca çeyrek dönüş simetrisine sahiptir.) ve böylece torna vidanın ucunu yive daha kolay yerleştirebiliriz. Ayrıca, bu simetriyi kapı (düz duvara bağlı) açmada da görebiliriz. Kendi Simetrisi Boyunca Rigid (Katı) Hareket: Düz doğrular için bu simetriye ötelemeli simetri derz. Düz doğrunun herhangi bir parçası, doğrudan ayrılmayacak şekilde doğru boyunca hareket edebilir.Bu katı hareket özelliği sadece düz doğrulara özgü değildir; daireler (dönme simetrisi) ve dairesel helisler ( vida simetrisi) de bu özelliğe sahiptirler.( bakınız şekil 1.1) •
kaydırmak, bu simetriye örnektir.
3-Boyutlu Dönme Simetrisi: 3- boyutlu uzayda doğrunun kendisini eksen olarak kullanarak kendi etrafında herhangi bir açı ile döndürülmesidir. Şekil 1.12 3-Boyutlu Dönme Simetrisi •
Pratik uygulama: Bu simetri herhangi uzun ince bir cismin düzlüğünü kontrol etmek için kullanılabilir. Mesela, kendi ekseni etrafında hızla dönen bir çöp. Bu simetri ıstakalar, miller, toplu iğneler ve bunun gibi cisimler için kullanılır.
doğru üzerinde A ve P noktaları tarafından belirlenen bir noktaya gönderir. Bu noktanın P noktasına uzaklığı, A noktasının P noktasına uzaklığına eşittir. Ama bu nokta P noktasının diğer tarafında yer almaktadır. Bakınız Şekil 1.13 te 2 boyutlu ortamda merkezi simetri sonuç itibari ile yarı-dönüş simetrisinden farklı değildir, ama görüntüleri ve oluşturulmaları farklıdır. •
3-boyutlu uzayda, merkezi simetri herhangi tek rotasyon veya yansımadan farklı sonuç oluşturur.(merkezi simetri birbirine dik düzlemlerde bulunan 3 yansımanın bileşkesi ile aynı sonucu verdiğini kontrol edebiliriz). 3-boyutlu uzayda merkezi simetriyi denemek için, avuç içleri birbirine dönük olacak bir şekilde ellerinizi önünüzde birleştiriniz ve sol başparmağınız sağ başparmağınızın üstünde olsun. Elleriniz şuan da avuç içleri arasında oluşmuş orta yoldaki bir noktanın civarında yaklaşık olarak merkezi bir simetri oluşturdu; bu simetri herhangi bir yansıma ya da rotasyon tarafından oluşturulamaz.
Şekil 1.13 Merkezi Simetri
Benzerlik ya da Kendine Benzerlik (Yarı Simetri):Düz doğrunun herhangi bir parçası(ve onun civarları) diğer bir parçasına benzemektedir.(yani aynı olabilmeleri için büyütülüp küçültülebilir). Bakınız Şekil 1.14.bu simetri değildir çünkü aradaki uzaklığı koruyamamaktadır ama yarı simetri olabilir çünkü açıların ölçüsü korunmaktadır.
Birçok fraktalın yaptığı gibi deniz helikonlarının kabukları gibi logaritmik sarmallar yarı benzerliğe sahiptirler.(Şekil 1.15 teki örneğe bakınız)
Şekil 1.15 Logaritmik Spiral Açıkçası, doğruların yanı sıra diğer nesnelerde burada söz ettiğimiz simetrilerden bazılarına sahiptirler. Sizin için önemli olan kendinize böyle örnekler oluşturmanız ve bütün simetrilere sahip olan ama doğru olamayan bir nesne bulamayı denemenizdir. Bu size düzlük ve bahsedilen 7 simetri arasındaki ilişkiyi anlama konusunda yardımcı olacaktır. Şu sonuca varmalısınız; diğer eğriler ve şekiller bu simetrilerin bazılarına sahip iken sadece düz doğrular bu simetrilerin tümüne sahiptir. LOKAL (VE SONSUZ KÜÇÜK) DÜZLÜK Öncelikle, bir düz doğrunun nasıl yansıma ve yarı-dönüş simetrisine sahip olduğunu gördünüz: Doğrunun bir yanı diğeri ile aynıdır. Ama üstte de belirtildiği gibi, düzlük, bir doğru parçasının düz olup olmadığına dair yerel bir özelliktir. Bu özellik doğru parçasının yakınında ne olduğuna bağlıdır, doğrunun uzak kısımlarının ne olduğuna bağlı değildir. Böylece, simetrilerin her birinin yerel olarak uygulandığı düşünülmelidir. Bu daha sonra koni ve silindir de düzlüğü anlatırken önemli olacaktır.(Bölüm 4 teki açıklamaya bakınız).şimdilik aşağıdaki gibi denenebilir.
Kâğıt parçasını ortadan olmayacak şekilde katladığımızda, katların iki tarafı aynı olmamasına rağmen kat çizgisi hala düzdür.(Bakınız şekil 1.16) O halde, yansıma simetrisini kullanarak düzlüğü kontrol ederken, kâğıdın yanlarını rolleri nelerdir? Yansıma simetrisi oluştururken bükümün önemini düşününüz.
Yüklə 1,79 Mb. Dostları ilə paylaş:
|