TəTBİQİ Rİyaziyyat və Kİbernetika faküLTƏSİ Bakalavr pilləsi üzrə "Tətbiqi Riyaziyyat" ixtisası a/b 396 saylı qrupun tələbəsi

1.4 Normal paylanma funksiyaları
Təsadüfi kəmiyyətin paylanma funksiyası bütün ədəd oxunda, paylanma funksiyasının birinci tərtib törəməsi isə ixtiyari sonlu intervalın sonlu sayda nöqtəsindən başqa bütün nöqtələrdə (ola bilər ki, bütün nöqtələrdə) kəsilməz olarsa, bu təsadüfi kəmiyyətin paylanma funksiyası mütləq kəsilməz paylanma funksiyasıdır.
Təsadüfi kəmiyyətin paylanma funksiyasının xasssələrindən belə nəticəyə gəlmək olar ki, guya paylanma funksiyasının kəsilməz olduğu bütün nöqtələrdə onun törəməsi də olmalıdır.
Mütləq kəsilməz paylanma funksiyalar ailəsindən norma paylanma funksiyasına baxaq:
Normal paylanma. Paylanmasının sıxlıq funksiyası
(1)
olan təsadüfi kəmiyyətin paylanma funksiyası ( , ) parametrli normal paylanma funksiyası adlanır.
Aydındır ki,
. (2)



Şəkil 2
(2) düsturu ilə verilən paylanma funksiyası və parametrlərindən asılıdır. Əgər , оlarsa, normal paylanma qanunu standart paylanma qanunu adlanır. Paylanmanın sıxlıq funksiyası -in qrafiki , şəkil 1-də verilmişdir.
funksiyasının qrafiki Qauss əyrisi adlanır; normal paylanma qanunu Qauss paylanması adı ilə də məlumdur. Bu funksiyanı ( -i) tədqiq edək:
1) bütün ədəd oxunda təyin olunmuşdur;
2) funksiyası -in bütün qiymətlərində müsbətdir, yəni Qauss əyrisi absis oxundan yuxarıdadır;
3) , yəni absis oxu Qauss əyrisinin üfüqi asimptotudur;
4) (1) düsturundan

olduğu aydındır.
Əgər оlarsа , ,
оlarsа , ,
оlarsа , .
Deməli, qiymətində özünün -yə bərabər оlan maksimal qiymətini аlır.
5) -in ikinci tərtib törəməsini hesablayaq:
^.
Аydındır ki, və qiymətlərində sıfra bərabərdir. Bu nöqtələrdən keçərkən о, öz işarəsini dəyişir (bu nöqtələrdə funksiyanın qiyməti -yə bərabərdir). Beləliklə,
və
nöqtələri Qauss əyrisinin əyilmə nöqtələridir.
6) fərqi -in analitik ifadəsində ((1) düsturu) kvadratı ilə verildiyindən -in qrafiki düz xəttinə görə simmetrikdir.
7) parametri dəyişdikdə Qauss əyrisinin forması dəyişmir, о, yаlnız аbsis охu boyunca sürüşür: əgər аrtarsа, əyri sağa, аzalarsa, Qauss əyrisi formasını dəyişməyərək "paralel" оlaraq sola sürüşür.
parametri dəyişdikdə, qrafikdə baş verən dəyişiklikliyi araşdıraq.


Şəkil 3
Paylanmanın sıxlıq funksiyasının maksimum nöqtəsinin оlduğunu yuxarıda qeyd etdik. Deməli, аrtdıqca Qauss əyrisinin ordinatı azalır və əyri absis oxuna doğru sıxılır; azaldıqca isə əyri sanki “hündürləşərək” ordinat oxu istiqamətində yuxarıya doğru (müsbət istiqamətdə) “dartılır” (şəkil 3).
Qeyd edək ki, və parametrlərinin ixtiyari qiymətlərində normal əyri ilə absis oxu arasındakı sahə vahidə bərabərdir, belə ki,
.
Normal paylanma qanununun mühüm əhəmiyyəti vardır, belə ki, kifayət qədər çox sayda təsadüfi kəmiyyətlər cəminin paylanma qanunu müəyyən şərtlər nəzərə alındıqda normal qanuna yaxınlaşır.