Tərif 1(ardıcıllığın tərifi)

Tərif 1(ardıcıllığın tərifi). Tutaq ki, hər bir n natural ədədinə qarşı uyğun olaraq müəyyən a_n həqiqi ədədi qoyulmuşdur. a_n (n=1,2,...) elementlərinin məcmusu ədədi ardıcıllıq və ya sadəcə olaraq ardıcıllıq adlanır; hər bir a_n elementi bu ardıcıllığın elementi, n isə nömrəsi(indeksi) adlanır. a_n elementləri həqiqi və ya kompleks ola bilərlər. Biz burada onların həqiqi olan hallarına baxacağıq ( ).
Qeyd edək ki, n natural ədədinin müxtəlif qiymətlərində(məsələn ) ardıcıllığın , elementləri bərabər ola bilərlər: .
Həmin tərifə görə ardıcıllıq həmişə sonsuz elementli çoxluğu özündə saxlayır.
Elementləri a_n-lər olan ədədi ardıcıllığı ya a_n , n=1,2,..., kimi, ya da kimi işarə edəcəyik.
Ardıcıllığa bir neçə misal göstərək:

Tərif 2. Əgər istənilən ε>0 üçün, elə yalnız ε-dan asılı n_ε ədədi tapmaq olarsa ki, bərabərsizliyini ödəyən istənilən n-lər üçün

bərabərsizliyi ödənsin, onda a ədədi verilmiş {a_n} ardıcıllığın limiti adlanır.
Bunu belə işarə edirlər:

və ya
( )
və deyirlər ki, dəyişənləri a-ya yaxınlaşır və ya ardıcıllığı a ədədinə yaxınlaşır (yığılır).
Sonlu limiti olan ardıcıllığa yığılan ardıcıllıq deyilir. Yığılmayan ardıcıllığa isə dağılan ardıcıllıq deyilir.
Qeyd edək ki, bərabərsizliyi bərabərsizliyi ilə eynigüclüdür.
Tərif 3. Verilmiş a ədədini daxilində saxlayan aralığına a-nın ətrafı deyilir.
Tərif 3'. Xüsusi halda ε>0 ədədi üçün bütün tipli intervallara a nöqtəsinin simmetrik ətrafı və ya ε-ətrafı, ε-na isə onun radiusu deyilir.
Ətraf anlayışından istifadə edərək ardıcıllığın tərifini aşağıdakı hissələrə ayırmaq olar.
Tərif 2'. Sonlu sayda hədləri müstəsna olmaqla ardıcıllığın təxminən bütün hədləri hər hansı a ədədinin istənilən ətrafında yerləşərsə, onda a ədədi ardıcıllığının limiti adlanır.
Misal 1. ardıcıllığı yığılır və limiti var və o, sıfra bərabərdir. Əslində Arximed teoreminə görə istənilən ε>0 üçün həmişə elə ədədi var ki, . Elə buna görə də istənilən üçün

bərabərsizliyi doğrudur. Bunun da mənası deməkdir.
Misal 2. ardıcıllığı isə dağılandır. Doğrudan da, elə a ədədi tapmaq olmaz ki, onun istənilən ε-ətrafında(məsələn 0<ε<1 olduqda) verilmiş ardıcıllığın sonsuz sayda elementləri yerləşsin və a həmin ardıcıllığın limiti olsun.
Tərif 4. Əgər elə ε>0 ədədi varsa ki, istənilən n natural ədədi üçün bərabərsizliyini ödəyən elə natural ədədi tapmaq mümkün olsun və bərabərsizliyi ödənsin, onda a ədədi ardıcıllığının limiti olmur.
Teorem 1. Ədədi ardıcıllığın birdən artıq limiti ola bilməz.
İ s b a t ı. Əksini fərz edək. Fərz edək ki, ardıcıllığının heç olmasa iki müxtəlif limiti var: a və b. Tutaq ki, a>b. Onda ε>0 ədədini elə seçək ki, O(a, ε) və O(b, ε) ətrafları kəsişməsinlər(şəkil 1).



Şəkil 1.
Məsələn götürmək olar. Elə nömrəsi var ki, bütün -lər üçün və elə nömrəsi var ki, bütün -lər üçün . ilə və nömrələrinin böyüyünü işarə edək. Onda istənilən üçün və , onda ola bilməz ki, göstərilən ətraflar kəsişməsinlər. Alınan ziddiyyət teoremin doğruluğunu göstərir.
Yığılan ardıcıllıqlar üçün aşağıdakı xassələri qeyd edək.
1. Əgər
, n=1,2,...,
və

ödənərsə, onda ardıcıllığı yığılır və .
İ s b a t ı. Tutaq ki, ε>0 qeyd edilmişdir. Elə və var ki,
üçün
,
üçün isə
.
ilə və nömrələrindən ən böyüyünü işarə edək. Onda bütün
-lər üçün
.
Buradan və (n=1,2,...) şərtindən alarıq ki, üçün,

bərabərsizliyi doğrudur. Bu da elə deməkdir.
2.1. Əgər və olarsa, onda elə var ki, üçün bərabərsizliyi doğrudur.
Uyğun olaraq aşağıdakı hökmü də verək:
2.2. Əgər və olarsa, onda elə var ki, üçün bərabərsizliyi doğrudur.
İ s b a t ı. qəbul edək. Limitin tərifinə görə, elə nömrəsi var ki, üçün
.
Birinci hökm isbat olundu. İkinci hökmün isbatı analojidir:
qəbul edək. Onda, elə nömrəsi var ki, üçün
.
3.1. və , olarsa, onda olar.
Uyğun olaraq aşağıdakı hökmü də verək:
3.2. və , olarsa, onda olar.
İ s b a t ı. Əgər olsa idi, onda 2.1. xassəsinə görə, elə tapmaq olardı ki, olardı. Bu isə şərtə ziddir. İkinci hökmün isbatı analojidir.