Toshkent viloyati Chirchiq Davlat pedagogika instituti Aniq fanlar fakulteti

Tа’rif . ^A vа ^B to‘plаmlаrning dekаrt ko‘pаytmаsi deb, bаrchа

tаrtiblаngаn juftliklаr to‘plаmigа аytilаdi vа belgilаnаdi.

A B  { a_i ,b_j , a_i  A, b_j  B}
kаbi

Misоl 6.

A {a₁ , a₂ } vа

B  {b₁ , b₂ , b₃ } to`plamlarning dekart ko`paytmalarini toping.

Yechilishi:

^{A  B} ={( ^a1,b1),( a₁ ,b₂ ),( ^a₁ ^{, b}₃ ),( a₂ ,b₁ ),( a₂ ,b₂ ),( ^a₂ ^{, b}₃ )}

^{B  A} ={( ^{b1, a1}),( b₁ , a₂ ),( b₂ , a₁ ),( b₂ , a₂ ),( ^b₃ ^{, a}₁ ),( ^b₃ ^{, a}₂ )}.

Ta`rif 7. A<sub>1</sub>, A<sub>2</sub>, …, A<sub>n</sub> n ta to`plamning dekаrt (to`g`ri) ko‘pаytmаsi

deb, A  A ... A

 ^{a ; a}
;...;a

^a  A , a  A ,...,a  A ^ ko`rinishidagi to`plamga

1 2
aytiladi.

n ^{1 2}

n 1 1 2 2 n n

Aⁿ  A  A... A
to`plamga <sup>A</sup> to`plamning dekart n-darajasi deyiladi.

A²  A A
ko`rinishidagi to`plamga dekart kvadrat deyiladi.

Teorema 1. ^A , ^B , ^C - ixtiyoriy to`plamlar bo`lsin. U holda quyidagi tengliklar o`rinli:
а) AB  C  A B A C;

^б) AB  C  A B A C<sup>;

в) A </sup> ^{B \ C} ^  ^{A  B} ^\  ^{A  C}^.

^{Isboti: a)} x, y AB  C

bundan

x  A va

y  B  C
bo`ladi. Agar

x  A va

y  B
yoki

y  C
bo`lsa, ( x  A va


y  B ) yoki ( x  A va

y  C ) hosil

^bo`ladi. x; y A B ^yoki x; y A C ^{. Bundan} x; yA BA C ^{kelib chiqadi.}

Demak,

^{A } ^{B  C} ^  ^{A  B} ^  ^{A  C} ^{ekanligi kelib chiqadi.}

Xuddi shuningdek, qolgan tengliklar ham isbotlanadi.

Teorema 2. Agar ^A to`plam m ta, <sup>B</sup> to`plam esa n ta elementdan tashkil topgan bo`lsa, u holda ularning A<sup></sup> B dekart ko`paytmasi m^ n ta elementdan iborat bo`ladi.

Misоl 7. B={0; 1} to’plam uchun

^{B n} to’plamni yozing.

Yechilishi: ^{B n}

uzunligi n ga teng 0 va 1 lardan iborat to’plam bo’ladi.

Ularni dasturlash tilida n uzunlikdagi “bit qatori” deyiladi.

Chekli to’plamlarda amallarni modellashtirish uchun “bit qatori” qanday qo’’llaniladi?

Aytaylik,

S  {s₁ , s₂ ,...,s_n } bo’lsin. Agar

A  S
bo’lsa,

u holda A to’plamga n-bit qatori

(b₁ , b₂ ,...,b_n }ni mos qo’yamiz, bunda

b_i  1
bo’ladi.

Aksincha, agar

s_i  A
bo’lsa,

b_i  0
bo’ladi. Bunday bit qatoriga A qism

to’plamning xarakteristik vektori deyiladi.

Misоl 8. Universal to’plam U  {1;2;3;4;5} va

A  {1;3;5},

B  {3;4}
bo’lsin.

1. 
   
   A va B to’plamlarning xarakteristik vektorlarini toping.
   
2. 
   
   A  B; A  B ; ^A to’plamlarning xarakteristik vektorlarini toping.
   

Yechilishi: ^A to’plamning xarakteristik vektori a  (1;0;1;0;1) ,

B to’plamning xarakteristik vektori

b  (0;0;1;1;0)
bo’ladi.

A  B
esa

a  b  (1;0;1;0;1)  (0;0;1;1;0)  (1;0;1;1;1)

A  B
to’plam uchun


a  b  (1;0;1;0;1)  (0;0;1;1;0)  (0;0;1;0;0)

^A ning xarakteristik vektori a  (0;1;0;1;0) .

Tа’rif. Agar qaralayotgan to’plamlarning barchasi biror U to’plamning qism to’plamlaridan iborat bo’lsa, U to’plamga universаl to‘plаm yoki universum deyilаdi.
Masalan, sonlar nazariyasida ^C kompleks sonlar to’plami universal to’plam bo’ladi. Analitik geometriyada esa tekislik barcha koordinata juftliklar to’plami uchun universum bo’ladi.


^A vа ^B to‘plаmlаr bittа U universal to`plamgа tegishli bo‘lsaginа ulаr ustidа аmаllаr bаjаrish mumkin.
Agаr <sup>A</sup> vа <sup>B</sup> to‘plаmlаr turli хil universal to`plamlarga tegishli bo‘lsа-chi,

ya’ni
A  U₁ vа

B  U₂
bo‘lsа, ulаr ustidа аmаllаr bаjаrish uchun quyidagi 3 ta

bosqichni amalga oshirish kerak:

1. 
   
   ^A va ^B to’plamlar bittа universumga keltiriladi, bunda ular uchun
   

universal to’plam

U  U₁ U₂
ularning dekаrt ko‘pаytmаsidan iborat bo’ladi.

2. 
   
   ^A vа ^B to‘plаmlаrning yangi U universumdagi aniqlanadi.
   

^A1 vа ^B1
ko`rinishi

3. Hosil bo’lgan bo‘lаdi.

   
   

^A1 vа

^B1 to‘plаmlаr ustidа аmаllаr bаjаrish mumkin

Misоl.

А  {1} vа

B  {a, b}
berilgan bo`lsa, hamda


А  U₁  {1,2,3} va

^{B  U2 {a,b,c}} ekanligi ma`lum bo`lsa,

A  B
to`plamlar kesishmasini toping.

Yechilishi:

2. U₁ ^vа U₂ ^{universumlаrning dekаrt ko‘pаytmаsi tоpiladi:}

   
   

U  U₁  U₂

 {(1, a), (1,b), (1, c), (2, a), (2,b), (2, c), (3, a), (3,b), (3, c)}

3. Hosil qilingan U universal to`plamdagi А vа B lаrning yangi ko‘rinishi

   
   

аniqlаnadi:

^{A1  {(1, a), (1, b), (1, c)}},

B¹  {(1, a), (2, a), (3, a), (1, b), (2, b), (3, b)}

4. yangi ko`rinishdagi

   
   

^A1 vа

^B1 to‘plаmlаrning kesishmasi tоpiladi:

^{A1  B1  {(1, a), (1,b)}} ko’rinishida bo’ladi.
To’plamni qism to’plamlarga ajratish amali – bu to’plamlar ustida amallarning eng ko’p uchraydigan turi hisoblanadi.


Misol 1. 1) Laboratoriya qurilmalari to’plami asstillograf, vol`tmetr, generator va hakozolarga ajratiladi.
2) Natural sonlar to’plamini toq va juft sonlar to’plamlariga ajratish

mumkin.
Aytaylik,

S  {A₁ , A₂ ,..., A_n }
biror to’plamlar oilasi va qandaydir elementlar

to’plami S ^/ berilgan bo’lsin.

Ta`rif. S to’plamlar oilasi ^{S /}

/
shartlarni qanoanlantirsa:

to’plamning bo’lagi deyiladi, agar u quyidagi

1. 
   
   S to’plamlar oilasidan olingan ixtiyoriy
   

A_i to’plam S
to’plamning qism

to’plami bo’lsa, ya’ni

A : A  S  A
 S ^| ;

i i i

2. 
   
   S ^{to’plamlar oilasidan olingan ixtiyoriy}
   

A_i va

A_j to’plamlar o’zaro

kesishmaydigan to’plamlar bo’lsa, ya’ni

A_i  S,A_j  S : A_i  A_j  A_i  A_j   ;

3. Bo’laklarning birlashmasi

   
   

S ^/ to’plamni hosil qilsa, ya’ni
 A_i


A_i M
n


 A_i

i1
 S ^| ;

A_i - to’plamlar bo’laklar sinflari deyiladi.

Misol 2.

S ^/  a;b; c; d to’plam uchun

S₁  {a;b};{c; d} va

S₂  {a};{b;c};{d}

1

1 2

to’plamlar oilasini hosil qilish mumkin. U holda ^{S |  S  S} bo’ladi, bunda S

uchun

A₁  a;b,

A₂  c;d
va S₂
uchun

A₁  a,

A₂  {b; c},

A₃  {d}bo’laklar

bo’ladi.

A  {2;4} qism to’plamlar hosil bo’ladi.
U universаl to‘plаmning ^A , ^B , ^C qism to‘plаmlаri uchun quyidаgi хоssаlаr o‘rinli (ba’zi xossalarning isbotini keltiramiz, qolganlari shunga o’xshash isbotlanadi. Isbotni Eyler-Venn diagrammasida bajarish ham mumkin):

A  B  B  A

2⁰ )

A  B  B  A

1⁰ –xossaning isboti:

x  A  B
bo`lsa, u holda


x  A va

x  B
bo`ladi. Shuningdek,

x  B  x  A
bo`lsa,

x  B  A
kelib chiqadi. Bundan


x  A  B  x  B  A
hosil

bo`ladi. Bularni umumlashtirilsa, isbotlanadi.

A  B  B  A
kоmmutаtivlik xossasi

( A  B)  C  A  (B  C)

4⁰) ( A  B)  C  A  (B  C)

5⁰)

6⁰)
( A  B)  C  ( A  C)  (B  C)
( A  B)  C  ( A  C)  (B  C)