Trubadagi suyuqliklarning laminar va turbulent rejimdagi harakatini matematik modellashtirish

Trubadagi suyuqliklarning laminar va turbulent rejimdagi harakatini matematik modellashtirish
Suyuqliklarda yopishqoqlikning mavjudligi suyuqlik qatlamlarining bir-biriga nisbatan siljishiga qarshilik ko‘rsatadi. Boshqacha qilib aytganda, laminar (qatlamli) oqimlarda yopishqoqlik evaziga ichki ishqalanish paydo bo‘ladi, u qatlamlar chegaralaridagi urunma kuchlanishlar miqdori bilan ifodalanadi, ya’ni, birlik yuzaga to‘g‘ri keladigan urunma kuch miqdori bilan xarakterlanadi. Suyuqlikning ayrim konsentrik qatlamlari bir-biriga nisbatan shunday harakatlanadiki, bunda suyuqlik tezligi asosiy o‘q bo‘ylab yo‘nalgan bo‘ladi. Bunday turdagi suyuqlik harakati laminar oqim deyiladi [1-12].
Real suyuqliklarning harakati ko‘pgina hollarda laminar oqim harakatidan keskin farqlanadi. Ular shunday maxsus xususiyatga ega bo‘ladiki, u turbulentlik deb ataladi. Trubalar, kanallar va chegaraviy qatlamlardagi real suyuqlik oqimlarida Reynolds sonining ortib borishi bilan laminar formadagi oqimning turbulent oqimga aylanishi yaqqol kuzatiladi. Laminar oqimning turbulent oqimga bunday o‘tishini ba’zan turbulentlikning paydo bo‘lishi deb ham atashadi, u butun gidrodinamika sohasida fundamental ahamiyatga ega. Dastlab bunday o‘tish to‘g‘ri truba va kanallardagi oqimlarda kuzatilgan. O‘zgarmas ko‘ndalang kesimga ega bo‘lgan silliq devorli to‘g‘ri trubada Reynolds sonining unchalik katta bo‘lmagan qiymatlarida suyuqlikning har bir zarrachasi to‘g‘ri chiziqli traektoriya bo‘ylab harakatlanadi. Yopishqoqlik mavjud bo‘lganligi sababli, suyuqlikning devorga yaqin joylashgan zarrachalari devordan uzoqda joylashgan zarrachalarga nisbatan sekin harakatlana boshlaydi. Oqim tartiblangan holda bir-biriga nisbatan siljuvchi laminar oqim (qatlamlar) sifatida harakatlanadi. Ammo, kuzatishlar shuni ko‘rsatadiki, Reynolds sonining katta qiymatlarida oqim tartiblanmagan holatga o‘tadi, ya’ni turbulent oqimga aylanadi. Oqimda kuchli aralashish sodir bo‘ladi, buni trubadagi suyuqlikka bo‘yoqli oqim kiritish orqali ko‘rinarli tarzda ifodalash mumkin.
Bu tajribani amalda kuzatish dastlab O. Reynolds (1883-1912) tomonidan o‘tkazilgan bo‘lib, unda oqim tarkibiga rangli bo‘yoq kiritilgan [1]. Oqim laminar bo‘lganda bo‘yoq qat’iy chegaralangan chiziqlar bo‘ylab harakatlangan va oqim turbulentlikka aylanishi bilan suyuqlikdagi rangli bo‘yoq truba bo‘ylab tarqalib ketgan va trubadagi oqim rang bilan to‘liq bo‘yalgan. Bu shuni ko‘rsatadiki, turbulent oqimda truba o‘qi bo‘ylab harakatlanayotgan asosiy oqimga ko‘ndalang harakat paydo bo‘ladi, ya’ni truba o‘qiga perpendikulyar bo‘lgan harakat vujudga keladi. Ana shu ko‘ndalang harakat buyoq rangining oqimda aralashib ketishiga olib keladi [2-10].
Ushbu tajriba quyidagi 1-rasmda keltirilgan:

1-rasm. Oqimga qo‘shilgan rangli suyuqlik tajribasi.
Dastlab tajriba D trubaga past tezlikka ega bo‘lgan suyuqlikni kiritishdan boshlanadi. Aynan bir vaqtda C idishdan rangli buyoq E trubacha orqali qo‘shiladi. Bunda quyidagi vaziyat sodir bo‘ladi (1-rasm): bo‘yalgan oqim to‘g‘ri gorizontal ko‘rinishda suyuqlikning qolgan barcha massasi esa bo‘yalmagan holatda bo‘ladi. O‘z navbatida, bo‘yalgan suyuqlik zarrachalari qolgan suyuqlik bilan aralashib ketmaydi va D trubadagi oqim harakati laminar rejimda bo‘ladi.
Suyuqlik tezligining asta-sekin ortib borishi bilan D trubada shunday holat paydo bo‘ladiki, tekis harakatlanayotgan rangli bo‘yoqli oqim yo‘qoladi va butun harakatlanayotgan suyuqlik tekis bo‘yalgan holatga o‘tadi. Bu shundan dalolat beradiki, rangli bo‘yoq oqimga aralashib ketadi, ya’ni D trubada oqimning turbulent rejimi hosil bo‘ladi.
Qisilmaydigan yopishqoq suyuqliklar harakatini aynan bitta oqim uchun Reynolds Re=(ρUL)/μ=UL/v ρ-zichlik (kg/m³, funt/fut³) U-asosiy oqimning maksimal tezligi (m/s, fut/s), L-uzunlikning xarakterli masshtabi (m, fut), μ-dinamik yopishqoqlik (N*s/m², funt/s* fut), v=μ/ρ- kinematik yopishqoqlik (m²/s, fut²/s), sonining aynan bitta qiymatidan boshlab, laminar oqim turbulent oqimga aylanadi. Reynolds sonining ana shu qiymati kritik Reynolds soni deb ataladi.

2-rasm. Laminar oqimning turbulent oqimga o‘tishi.
2-rasmdan ko‘rinadiki, Rekrtbo‘lganda oqim laminar, Re_krtbo‘lganda esa oqim turbulent rejimga o‘tadi.
Barcha uzunligi bo‘yicha o‘zgarmas diametrli yumaloq trubani qaraylik. Yopishqoqlik evaziga truba devorlaridagi tezlik nolga teng, trubaning o‘rtasida tezlik o‘zining eng katta qiymatiga erishadi. Asosiy o‘qi truba o‘qi bilan mos tushuvchi silindrsimon sath nuqtalarida oqim tezligi o‘zgarmas bo‘ladi. Ayrim konsentrik qatlamlar o‘zaro shunday harakatlanadiki, tezlik hamma joyda o‘q bo‘yicha yo‘naltirilgan bo‘ladi. Bunday ko‘rinishdagi harakat laminar oqim deyiladi. Trubaning boshlang‘ich nuqtasidagi etarlicha uzoq masofada trubadagi oqimning tezlik taqsimoti radius bo‘ylab, uzunasida yo‘naltirilgan koordinatadan bog‘liq bo‘lmaydi.
Trubadagi suyuqlik harakati truba o‘qi bo‘ylab bosimning pasayishi evaziga, ammo, har bir truba o‘qiga perpendikulyar ko‘ndalang kesimda bosimni o‘zgarmas deb qarash mumkinligi hisobiga sodir bo‘ladi. Suyuqlikning har bir elementi harakati bosimning tushishi evaziga tezlashadi va ishqalanish hisobidan paydo bo‘ladigan siljish kuchlanishi sababli sekinlashadi. Suyuqlikka boshqa kuchlar ta’sir etmaydi. Suyuqlik ichiga joylashtirilgan uzunligi L ga va radiusi y ga teng bo‘lgan holda o‘qi truba o‘qi bilan mos tushadigan silindrni qaraylik. Ushbu o‘q bo‘ylab silindrga bosim kuchlari P₁π y² va P₂π y² ular mos ravishda silindrning kirish va chiqish asoslariga mos keladi, hamda silindrning yon sirti bo‘yicha ta’sir etadigan urinma kuch 2π yLτ ta’sir etadi. Ushbu silindrdagi oqimning maksimal tezligini, trubaning ko‘ndalang kesimi orqali oqib o‘tadigan suyuqlik hajmini, oqim uzunligi bo‘yicha trubaning ishqalanishga qarshilik koeffisientini aniqlash talab etiladi. Silindrdagi suyuqlikka ta’sir etuvchi kuchlarni tenglashtirib (3-rasm), harakat yo‘nalishi bo‘yicha muvozanat sharti sifatida ushbu tenglamani hosil qilamiz: