U dalaboyev vektor va tenzor

iy 
2
2
2
2
2
*
2
 
2 
2
’
tenglikni yozish mumkin. S# =(7'ff + 
Tj,)l2, A,=(T„-Tj,)/2
belgilashlar 
kiritsak, berilgan tenzomi
T
+ 
T 
T — T
1
2
2
ko'rinishda yozish mumkin boMadi. 
S,j
va 
A j
tenzorlaming simmetrik va 
antisimmetrikligi quyidagilardan ko‘rinadi.
s 
- I
ji
I L
l
- I
i
I I
l
-
s
2
2
T - T
T - T
j - J l
____
!L —
___
!L
___
‘L - - J
A j 
^
 
2 
A "
1 
-misol.
Biror Dekart koordinatalar sistemasida quyidagi tenzor 
berilgan boMsin.
r \
 
3 
2 ^
3 
- 1
1 
+ -1 6j
Bu tenzoming simmetrik va antisimmetrik qismlarini va 
Sp(SllAft)
ni topaylik.
t> Simmetrik va antisimmetrik elementlami topish formulasidan
105
I
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

f f
= CV + Cj, _
1 
« 
2
 
~2
W
f f
^ = S
l
_ £ £ = I
^
' 2
2
3
-1
-1
3
-1
-1
2^
1
6
2\
1
6
(\
3
2
1
3
2
3
-1
1
3
-1
1
A \\
-1 
6 f
4 W
-1 
6
' l
3
13
0
0
1
3
-1
0
0
0
-1
3^
0
6
- i \
1
0
SyAp =
D1Jt belgilash kiritaylik. Bu belgilashni matritsa ko‘rinishda 
ifodalasak 
D = S-A
boMadi. Unda 
D
tenzor elementlari
4* =
'\
3
2" '0
0
- r
'3
-3
4 '
3 -1
0
0
0
1
0
0
-4
,3 0
6, ,1 -1
0 ,
,6 -6
~3>
Sp(svAJk) = SjlAJk’*Dtk
bo'lgani uchun, 
D
tenzorning dioganal 
elementlaryig‘indisi nolgateng. Shuning uchun
2-misol.
Avvalgi misolda ikkilangan yig'ishtirish 
S^A^
ning nolga 
tenligini ko‘rdik. Endi umumiy holni ko‘ramiz. Ixtiyoriy simmetrik va 
antisimmetrik tenzorlarning ikkilangan yig‘ishtirishi doim nolga 
tengligini ko‘rsatamiz.
>
V
a
= s * M * > SB- V V
Bu tengliklarda 
k
ham 
j
ham yig‘ishtirish indeksi bo'Igani uchun 
k
ni 
j
ga, 
j
ni esa 
k
ga almashtirsak,
^ k j ^ } k
S j j A j j
S j j A j / ' j
tenglikka ega boMamiz. Bundan 
S^A^
=0 kelib chiqadi.-4
9.2. Tenzorning xos va xos vektorlari
2 - rang tenzomi vektorga ko‘paytirib yig‘ishtirish natijasida vektor 
hosil boMadi: 
TvAj = B,.
Agar 
A
vektor 
B
vektorga kollinear boMsa, ya’ni
T,A,-AA,
(9.1)
boMsa, 
k
ga tenzoming xos soni, 
A
vektorga tenzoming 
X
xos songa 
mos kelgan xos vektori deyiladi. (9.1) dan
TgAj-AA'
=> 
T
v
A
j
-A S
v
A
j
=
0, => 
(Tv ~ASv)Aj =
0.
Oxirgi tenglama 
A
vektor elementlariga nisbatan bir jinsli chiziqli 
tenglamalar sistemasidir. Bu sistema noldan farqli yechimga ega boMishi 
uchun, determinant nolga teng boMishi kerak:
dct(Tv -A Sv) = 0.
(9.2)
106
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Bu tenglamaga tenzoming xarakteristik tenglamasi deyiladi. Uch 
o'lchovli fazoda xarakteristik tenglama uchinchi tartibli bo'ladi va uning 
uch ildizi 
bo‘lib har bir xos songa mos 
Am,A(2),A(2) 
xos
vektorlar topiladi.
Teorema. Simmetrik tenzoming xos sonlari haqiqiy bo‘lib, ularga 
mos xos vektorlari ortogonal bo'ladi.
Isboti. 
Tv
simmetrik bo‘lib, 
Am,Ai2\A.i3)
lar uning xos sonlari
Am,Ai2),A(i) 
lar ularga mos kelgan xos vektorlari bo'lsin. Xos sonlami 
kompleks deb faraz qilaylik. U holda xos vektorlar ham komleks bo'ladi. 
U holda (9.1) bilan birga unga kompleks qo'shma tenglamani ham qaraymiz:
T'jAj^AA,
' TA = * ' AY
Birinchi tenglamani 
A
’
ga, ikkinchisini 
A, 
ga ko'paytirib so‘ng 
birinchisidan ikkinchisini ayirsak
o = ( A - r ) |4 |J
kelib chiqadi (chap tomonning nolga tenligi 
T^A'
a
, ^T^A^A,
= 
T
v
A,'A
j
tenglikka ko‘ra hosil boMadi ). Bundan 
A = A' 
boMishi kelib chiqadi va 
xos sonlaming haqiqiy ekanligi ko‘rinadi.
Am 
va 
A,2) 
ga mos kelgan 
Am,Al2) 
vektorlami ko‘raylik. /t(l) 
* 
/t'J) 
bo'lsin. Bu miqdorlar quyidagi tenglamalami qanoatlantiradi:
^7^/4(1)=/l(1>/<,,
TtJAi2)=A<2)A,(2)
Sistemaning birinchisini/4'J) ga, ikkinchisini 
Am 
ga ko‘paytirib 
so‘ng ayirsak
0 = (/t(,) — /t)(/4(1>,/5bundan 
Am * A i2> 
ga asosan (/i(1),/4(2)) = 0, kelib chiqadi, ya’ni xos
vektorlar ortogonal boMadi.
Agar ikki yoki uchchala xos sonlar o‘zaro teng boMsa, ularga mos 
vektorlami bir-biriga ortogonal sifatida tanlab olish mumkin.
Ortogonal xos vektorlar asosida qurilgan sistemada tenzor sodda 
ko'rinishda, uning matritsasi dioganal matritsadan iborat boMib, 
dioganal elementlari xos sonlardan iborat boMadi. Yana shu narsani 
nazarda tutish kerakki, xos vektorlar o‘ng sistemani tashkil qilishi kerak. 
Bu holda tenzoming xos sistemasiga o‘tish jarayonini eski sistemani 
burish yordamida hosil qilish mumkin boMadi.
107
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Misol.
Quyidagi tenzoming xos son va xos vektorlarini toping.
f \
1 
0\
Mtl = 1 10 3
,0 3 
l j
\> A = {a,b,c} My
tenzoming 
k
xos soniga mos kelgan xos vektori 
boMsin. Qulaylik uchun xos vektomi aniqlovchi (10.1) tenlamani 
matritsa ko'rinishda yozamiz.
(9.3)
Xos sonlar xarakteristik tenglamadan topiladi:
\ - k
 
1 
0
1 
10-A 
3 =0, => ( l-/l)2(10 -/l)-10(l-/l) = 0.
0 
3 
1 
-A
Xarakteristik tenglamaning yechimlari 4 = 0, 4 = l va 4, = 11 
ekanligini ko'rish qiyin emas. Topilgan xarakteristik sonlarni ketma-ket
(10.3) ga qo‘yib tenzoming xos vektorlarini topamiz. 4
=0
uchun
'\
1 0'
'a'
' \ - k
1
0 '
'a'
'0'
l 10