U dalaboyev vektor va tenzor

- J 2 I 2
 
0 ' " V 2 / 2
- V 2 / 2
0
' 
0
1 - 2 '
- V 2 / 2 - V 2 / 2 0
- V 2 / 2
V 2 / 2
- 2 - J l
11 - 1 0 2
◄
0
0
1
\
J
2
-
2
0
V 
)
, 2 - 2
o y
101
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

8.3. Tenzorlar ustida amallar
8.3.1. 
Tenzorlarni qo‘shish. Faqat bir xil rangli tenzorlami 
qo‘shish mumkin va qo‘shishda mos koordinatalari qo‘shiladi. 
Tenzorlami qo‘shish natijasida uning rangi o‘zgarmaydi.
Misol.
Masalan, uchinchi rang tenzor quyidagicha qo‘shiladi:
C ljk 1 4jk + fyjk
t> C ning uchunchi rang tenzor ekanligini ko‘rsatamiz. 
A
va 
B
uchinchi rang tenzor boMgani uchun uiaming har birining elementlar 
soni 33=27 ga teng. 
A
va 
B
tenzorlaming mos elementlari qo‘shilgandan 
so‘ng yifmdidda yana 27 ta element hosil boMadi. Endi C tenzor 
koordinatalarining almashish qonunini ko‘raylik.
+ Sm/) = 
amaimauCnml.
Shunday qilib,
C mU
=
a ima jma k f-m U -
Bu munosabat C ning uchunchi rang tenzorligini ko‘rsatadi. Ravshanki, 
ixtiyoriy rangli tenzorlar uchun ham bu qoidaning o‘rinliligini ko‘rsatish 
qiyin emas. 
4
8.3.2. Tenzorlarni ko‘paytirish. 
A
tenzor 
R/
rangli boMib 
B
tenzor 
R2
rangli boMsin. Bu tenzorlami ko‘paytirish natijasida 
R/+R2
rangli C 
tenzor hosil boMadi.
Misol. A
1 - rang, 
B
2 - rang tenzorlar boMsin. Bu tenzorlami 
ko'paytirish natijasida 3 - rang tenzor hosil boMadi.
A,
■
Bjt — C,Jk
t> Haqiqatan ham C ning elementlar soni 27 ga ya'ni 3 - rang 
tenzor elementiar soniga teng boMadi. Endi koordinatalar sistemasini 
burishdagi almashish qonunini tekshiramiz.
c 'jk = 4'- B]k = a,„An ■
= 
a,„a ,maki-Wk,
= 
a,„a,„,auc m,r
Bundan C ning tenzorligi kelib chiqadi. ^
8.3.3. Tenzorni yigMshtirish. 
A R -
rang tenzor boMsin. 
A
tenzor 
koordinatalarini ikki indeksi bo'yicha qo‘shishga tenzorni yig'ishtirish 
deyiladi. 
R -
rang tenzorni yig‘ishtirish natijasida 
R-2
nargli tenzor hosil 
boMadi. Tenzomi yig'ishtirish amali tenzomi Kroneker simvoliga 
ko‘paytirish va so‘ng ikki indeks bo‘yicha qo‘shish bilan bir xil boMgani 
uchun tenzomi yigMshtirish amalini tenzomi Kroneker belgisiga 
ko‘paytirishdan hosil qilsa boMadi.
Misol. A
uchinchi rang tenzor boMsin. Bu tenzomi oxirgi ikki 
indeksi bo‘yicha yig‘ishtiraylik, yani 
a
,
jj
-
Ikkinchi tomondan 
A
, A
= A,u
102
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

bo'ladi. Bu yerda 
j
yig‘ish indeksi 
i
esa erkin indeks, shuning uchun 
Aw
= 
B,
bo'ladi. Ya’ni uchinchi rang tenzomi yigMshtirish natijasida 1 -
rang tenzor hosil boMadi. Haqiqatan ham,
^ im fi^ J ffi^ J k ^ m n k
^ m fin k ^ m n k
^ im ^ m k k
^ im ^ m
*
Misol. C
4 - rang tenzomi oxirgi ikki indeksi bo‘yicha yigMshni 
ko'raylik. Natijaviy tenzorni ikkinchi rangligini isbotlaylik.
t> 
c;jtt
= D '= 
a,majnaklathC,l„ll,
= 
a ^ a ^ C ^
= 
aimaJKC ^
= 
a^a^D
^ . ◄ 
Tenzomi yigMshtirish amalini qoMlash uchun tenzor rangi 2 va 
undan yuqori boMishi kerak. 2 - rang tenzomi yigMshtirish amaliga 
tenzorning izi deyiladi va quyidagicha belgilanadi:
Sp(A,J) = Tr(AiJ) = Att
(8.20)
Koordinata sistemasini burishga nisbatan tenzoming izi inva- 
riantdir. Haqiqatan ham