Udk: 519. 652, 519. 644 Interpolyatsion kvadratur formulalar

INTERPOLATION QUADRATURE FORMULAS
Abdullayev Behzod Rajabovich - Tashkent Institute of Irrigation and Agricultural Mechanization Engineers, National Research University, Bukhara Institute of Natural Resources Management, Assistant of the Department "Mathematics and Natural Sciences" [e-mail].
Abstract: It is known that in the mathematical modeling of some objects, it is necessary to determine the surface and volume of the body, the center of gravity and the moment of inertia of the body, and the amount of work done under the influence of a force. Determination of these quantities is brought to the exact integration of the given analytical function in some interval, depending on the issue. At the same time, depending on the nature of the problem under consideration, the integrable function takes such a form that, as a result, it is not always possible to integrate it exactly.
Key words: interpolation, quadrature, integral, Gauss formula.

1.1. Interpolyatsion kvadratur formulalar.

Ma’lumki, ba’zi bir obyektlarni matematik modellashtirishda jism sirti va hajmini, jism og’irlik markazi va inersiya momentini, biror kuch ta’sirida bajarilgan ish miqdorini aniqlashga to’g’ri keladi. Bu kattaliklarni aniqlash, masalaning berilishiga bog’liq ravishda berilgan analitik funksiyani biror oraliqda aniq integrallashga keltiriladi. Shu bilan birga qaralayotgan masalaning xususiyatiga bog’liq ravishda integrallanuvchi funksiya shunday ko’rinishni oladiki, natijada uni aniq integrallash imkoni har doim ham mumkin bo’lavermaydi.
Amaliy va nazariy masalarning ko’pchiligi biror [a,b] oraliqda uzluksiz bo’lgan funksiyadan olingan aniq integralni hisoblashga keltiriladi. Ammo integral hisobining asosiy formulasi
 ,
(bu yerda F(x) funksiya f(x) funksiyaning boshlang’ich funksiyasi) amaliyotda ko’pincha ishlatilmaydi. Chunki ko’p hollarda F(x) ni elementar funksiyalarning chekli konbinatsiyasi orqali ifodalab bo’lmaydi. Bundan tashqari amaliyotda f(x) jadval ko’rinishda berilgan bo’lishi ham mumkin, bunday holda boshlang’ich funksiya tushunchasining o’zi ma’noga ega bo’lmay qoladi. Shuning uchun ham aniq integrallarni taqribiy hisoblash metodlari katta amaliy ahamiyatga ega. Bu hollarda integrallarni taqribiy integrallash usullaridan foydalanishga to’g’ri keladi. Aniq integrallarni taqribiy hisoblashning bir nechta usullari mavjud bo’lib, ulardan ayrimlarining algoritmlari bilan tanishib chiqaylik.[2]
Biz f(x) funksiyalarning yetarlicha keng sinfi uchun aniq integrallarning taqribiy qiymatini integral ostidagi f(x) funksiyaning [a,b] oraliqning chekli songa olingan nuqtalaridagi qiymatlarining chiziqli kombinatsiyasiga keltiriladigan metodlarni ko’rib chiqamiz.
(1.1)
Bu yerda (k=1,2,…,n) kvadratur formulaning tugunlari kvadratur formulaning koeffisentlari va kvadratur yig’indi deyiladi. Kvadratur formulaning tugunlari va koeffisentlari funksiyaning tanlanishiga bog’liq bo’lmasligi talab qilinadi.[2]
Ushbu
,
ifoda esa kvadratur formulaning qoldiq hadi yoki xatosi deyiladi. Odatda (1.1) formulaga nisbatan umumiyroq kvadratur formula qaraladi. Quyida [a,b] oraliqni chekli deb faraz qilib, biz kvadratur formula tuzishning ayrim yo’nalishlarini qisqacha ko’rib chiqamiz.[3]
1.Ko’pincha kvadratur formula tuzish uchun funksiya [a,b] oraliqda n ta nuqtalar yordamida interpolyatsiyalanadi:

Endi buni ga ko’paytirib integrallasak,

Kelib chiqadi, bu yerda

Shu usulda tuzilgan kvadratur formulalar interpolyatsion formulalar deyiladi.
2. Veyeshtras teoremasiga asosan, chekli oraliqda uzluksiz funksiyalarni algebraik ko’phadlar bilan yetarlicha yuqori aniqlikda yaqinlashtirish mumkin. Shu bilan birga ko’phad darajasi qancha yuqori bo’lsa, aniqlik ham shuncha yuqori bo’ladi. Shuning uchun ham (1.1) formulada va parametrlarni shunday tanlashga harakat qilinadiki, bu tenglik yetarlicha yuqori darajali algebraik ko’phadlar uchun aniq bo’lsin. Shu usul bilan tuzilgan (1.1) formula [a,b] oraliqda uzluksiz bo’lgan ko’p funksiyalarni integrallashda aniqlik jihatidan yaxshi natija beradi. Odatda, (1.1) formula barcha darajali ko’phadlar uchun aniq bo’lib, uchun aniq bo’lmasa, u holda uning algebraik aniqlik darajasi m ga teng deyiladi.
Faraz qilaylik, funksiya davriy funksiya bo’lib, uning davri ga teng bo’lsin va integralni hisoblash talab qilinsin. U holda (1.1) formulaga va parametrlarni shunday tanlashga harakat qilinadiki, u imkon boricha yuqori tartibli trigonometrik ko’phadlarni aniq integrallasin. Aniqlik darajasi (tartibi) eng yuqori bo’lgan kvadratur formulalar katta ahamiyatga ega. Bunday formulalar Gauss tipidagi kvadratur formulalar deyiladi.
3. Kvadratur formulalar tuzishda elliginchi yillarning oxirlaridan boshlab yangi bir yo’nalish rivojlana boshladi. Uning mohiyati quyidagidan iborat. Bizga funksiyalarning biror sinfi F berilgan bo’lsin. Butun F sinf uchun aniqlikni tavsiflaydigan miqdor sifatida quyidagi aniq yuqori chegara

olinadi. Bu yerda [a,b] da tugunlarini va koeffisentlarni shunday tanlash talab qilinadiki, o’zining eng kichik qiymatiga erishsin. Bunday formulalar, tabiiy ravishda, funksiyalarning F sinfiga eng kichik xatoga ega bo’lgan formulalar deyiladi.
Masalani boshqacha tarzda ham qo’yish mumkin, ya’ni yoki larga nisbatan ayrim shartlar bilan, masalan, koeffisentlarning o’zaro teng bo’lishlari ,
yoki tugunlarning bir xil uzoqlikda joylashgan bo’lishligi kabi va hokazo.
Integrallarni (1.1) formula yordamida hisoblashda, kvadratur yig’indi umuman taqribiy ravishda hisoblanadi. Odatda o’rnida biror ga ega bo’lamiz, demak
,
bu yerda – yaxlitlash xatosi. Faraz qilaylik, barcha k=1,2,…,n uchun bo’lsin. Agar ko’paytmalarning yig’indisi aniq hisoblansa, uholda kvadratur yig’indini hispblashda yaxlitlash xatosi dan ortmaydi, xususan teng bo’lishi ham mumkin.
Faraz qilaylik, (1.1) formula ni aniq integrallasin, ya’ni,
.
Bundan, ravshanki eng kichik qiymatini qabul qilishi uchun barcha lar uchun bo’lishi kerak. Bu esa musbat koeffisentlarni kvadratur formulalar katta ahamiyatga ega ekanligini ko’rsatadi.[2]

Eng sodda kvadratur formulalarni oddiy mulohazalar asosida qurish mumkin. Aytaylik, integralni hisoblash talab qilinsin. Agar qaralayotgan oraliqda bo’lsa u vaqtda

,
deb olishimiz mumkin. Bu formula to’g’ri turtburchaklar formulasi deyiladi.
Faraz qilaylik, funksiya chiziqli funksiyaga yaqin bo’lsin. u holda tabiiy ravishda integralning balandligi va asoslari va ga teng bo’lgan trapestiya yuzi bilan almashtirish mumkin. U holda
, (1.2)
deb olishimiz mumkin. Bu formula trapetsiya formulasi deyiladi.[3]
Nihoyat funksiya oraliqda kvadratik formulaga yaqin bo’lsin, u holda ni taqribiy ravishda o’qi va to’g’ri chiziqlar hamda funksiya grafigining absstissalari bo’lgan nuqtalardan o’tuvchi ikkinchi tartibli parabola orqali chegaralagan yuza bilan almashtirish mumkin. U holda quyidagiga ega bo’lamiz:
. (1.3)
Bu formulani ingliz matematigi Simpson 1743 yilda taklif etgan edi. Bu formulani hosil qilinish uslubidan ko’rinib turibdiki, u barcha ikkinchi darajali
.
Ko’phadlar uchun aniq formuladir. Shunday qilib, biz uchta eng sodda kvadratur formulaga ega bo’ldik.
(1.1) formulani chizishda u o’zgarmas son ni aniq integrallashni talab qilgan edik. Lekin u chiziqli funksiyasi ham aniq integrallaydi, chunki balandligi va o’rta chizig’i bo’lgan ixtiyoriy trapestiya yuziga teng.
Shunga o’xshash Simpson formulasi ham biz kutgandan ko’ra ham yaxshiroq formuladir. U uchinchi darajali
,
u vaqtda
, (1.4)
lekin bizga ma’lumki,
, (1.5)
ikkinchi tomondan
, (1.6)
ayniyat o’rinlidir. Endi (1.5)-(1.6) ni (1.4) ga qo’shib,

ni hosil qilamiz.
Shunday qilib biz uchta kvadratur formulani qurdik. Ulardan ikkitasi to’g’ri to’rtburchak va trapestiya formulalari birinchi darajali ko’phad uchun aniq formula bo’lib, Simpson formulasi uchinchi darajali ko’phad uchun aniq formuladir.[2]
Buyuk matematik Gauss kvadratura nazariyasiga butunlay yangi va juda muhim g’oyani kiritdiki, u amaliy analizning ko’p sohalari rivojlanishi uchun asos bo’lib qoldi. Faraz qilaylik, ba’zi bir integrallanuvchi funksiya o’zgaruvchining uzluksiz oraliqni har bir nuqtasida emas balkim, shu oraliqda etuvchi maxsus tanlangan nuqtalarda berilgan bo’lsin. Biz bu yerda faqat chekli oraliqni qaraymiz. Shuning uchun uni darhol normalab qo’yamiz. [2]
Oraliqni ,
ga keltiramiz va nuqtalar ham qaysikim, funksiya berilgan oraliqda tegishli bo’lsin. Umuman olganda ning katta bo’lishidan qat’iy nazar,
, , …, ,
ordinatalar funksiyani aniqlash uchun yetarli emas. Lekin biz funksiyani oraliq nuqtalari uchun integrallashga harakat qilamiz. Shu maqsadda ning darajali funksiyalaridan foydalanamiz. Biz shunday darajali ko’phad topishimiz mumkinki, u ham nuqtalarda qiymatga ega bo’ladi. Odatda chekli ayirmalarni hisoblashda berilgan nuqtalar teng taksimlangan qilib taksimlanadi.[2]
Gaussning g’oyasi shundan iboratki nuqtalarning holatini oldindan belgilamasdan o’shanday sondagi ordinatalar bilan yuqori aniqlikka erishish mumkinligi kabi, bu yerda nuqtalar shunday joylashtiriladiki natijada eng yaxshi natijalar olinadi. Bu yo’lda Gauss kvadratur formulalarning nafaqat eng yuqori aniqlikka erishdi, balkim bu jarayon ko’phadlar bilan teng taqsimli interpolyasiyalashda xavfdan ham holidir. Qaysikim bu xavf u davrda ham ma’lum emasdi. Faraz qilaylik interpolyasiyalash nuqtalari tamoman erkin bo’lsin va biz bu nuqtalarda qiymatlarni qabul qiladigan ko’phadni topamiz. Bu masalani hal qiladigan formula Lagranjning interpolyatsion formulasi sifatida ma’lum. U
,
fundamental ko’phadni qurishga va uni ketma-ket har bir ta ikki hadliga bo’lishga asoslangandir.
Shunday qilib biz quyidagi xossalarga ega bo’lgan
(i=1,2,…,n),
ko’phadni oldik. nuqtadan tashqari barcha nuqtalarda nolga teng, da esa birga teng. Agar - Kroneker simvolini kiritsak, ya’ni
,
Bu holda ko’rish mumkinki,
,
ko’phad qo’yilgan shartni kanoatlantiradi: yani nuqtalarda qiymatlarni qabul qiladi.
- ko’phadning yagonaligi shu dalildan kelib chikadiki, ko’phad bilan ikkinchi gipotetik ko’phad o’rtasidagi ayirma birga nuqtalarda nolga aylanadi. Lekin ayirma ham yana darajali ko’phad bo’lib, u esa aynan nolga aylanmasdan tadan ko’p ildizga ega bo’lmaydi: bu esa

ekanligini bildiradi.
Endi agar biz ni fuknsiyaga yetarlicha yaqinlashgan deb hisoblasak,
, (1.7)
hisoblasak, amaliyotda noma’lum egrilik ostidagi yuzaga ega bo’lamiz. Berilgan ayrim taksimlangan nuqtalar uchun ko’phadlar bir qiymatli aniqlangan va shuning uchun ham
, (1.8)
aniq integrallar ba’zi bir sonli qiymatlarga ega bo’ladiki, qaysikim ular uchun jadvallar tuzish mumkin.[3]
Bizni qiziqtiruvchi yuza uchun bu qiymatlar tamoman funksiyaning tabiatiga bog’lik emas.
Oldingi nuqtalarni o’zgartirmasdan yangi qo’shimcha nuqtani qo’shamiz. Qo’shimcha ikki hadni kiritib, - qo’shimcha ko’phadni hosil qilamiz. Ta’rifdan uchun kelib chiqadiki, ko’phad ko’phadga proporsionaldir, qaysikim yangi ko’paytuvchi qisqarib ketadi. Xuddi shunday yangi ordinata ko’paytiriladigan vaznli vaznli ko’paytuvchi
, (1.9)
aniq integralga proporsionaldir. Shunga o’xshash, agar yangi
(1.10)
nuqtalarni ularni ordinatalari bilan kiritsak, u holda ularga mos
vaznlar
(1.11)
integral bilan aniqlanadi, bu yerda - ayrim darajali ko’phadlardir. Ixtiyoriy ko’phad, darajali funksiyalarning chiziqli superpozistiyasidan iborat ekanligidan, agar quyidagi integrallarni qanoatlantirsa, bu hamma vaznlar avtomatik ravishda nolga aylanadi.
,
haqiqattan ham bizning talablarimiz gacha borib,
, (1.12)
integral shartining bajarilishidir.
Natijada bizning boshida berilgan ta nuqtani ixtiyoriy ravishda qo’shsak ham baribir hech bir yangi ordinata oldingi natijalarni o’zgartirmaydi.[2]
Oldingi natija shundan iboratki, xuddi biz ta ordinata bilan ish ko’rib, haqiqattan esa biz ta ordinatadan foydalanamiz, yangi qurilgan ordinatalar esa hisoblanayotgan yuzaga hech nima qo’shmaydi.
Bu jarayonda biz
,
yig’indiga ta hadni tejaymiz. Bu fikrlashlar yuqoridagi mulohazalar uchun yetarlicha emasdir. To’liqroq bo’lishi uchun quyidagi mulohazani tavsiya etamiz.
Haqiqattan ham yangi nuqtalarning berilishi nafaqat yangi ko’phadlarni qo’shadi, xatto oldingi ko’phadlar ham o’zgaradi , har bir yangi nuqta ga qo’shimcha ko’paytuvchini kiritadi.
Shunday qilib, yangi ta nuqtalarning kiritilishi oldingi ko’phadni
, (1.13)
ko’phadga aylantiradi.
Yuqoridagi mulohazalarning haqiqat ekanligi shakli o’zgartirilgan ko’phadlarning quyidagi xossalarga ega ekanligidan kelib chiqadi :

endi bu xossalarni isbotini ko’ramiz.[2]
Birinchi xossa bevosita (1.13) munosabatdan kelib chiqadi. Ikkinchisi uchun esa

dan foydalanamiz.
Bundan shuni xulosa qilamizki, (1.13) tenglikning o’ng tomonidagi qo’shimcha ko’paytuvchilarni ko’paytirishni ko’rinishda tasvirlash mumkin ekan, bu yerda darajali ko’phad. (1.12) shartning kuchiga asosan 2⁰ – tenglik bajariladi. Isbotlangan 1⁰ va 2⁰ lar ko’rsatadiki yangi ordinatalar oldingi olingan natijalarni o’zgartirmaydi.
Muhimrog’i shundan iboratki, bizlar qo’shimcha ordinatalarni bilishimiz shart emas.
, (1.14)
yig’indi ordinata yordami bilan shunday aniqlikdagi yuzani beradiki, agar biz - ordinata olsak ham o’zgarmaydi.
(1.12) - tipdagi integral shart ortogonallash sharti deyiladi. Biz ko’rsatamizki, ko’phad darajali funksiyalarga ortogonaldir. Bunday shartlarni oldin ortogonal funksiyalar sistemasini ko’rib chiqqanda o’rganganmiz.[3]
Biz Yakobi ko’phadlarini tekshirib chiqdikki, u (1.12) shart ma’nosida ko’phad darajasidan past bo’lgan barcha ning darajalariga ortogonallik xossalariga egadir. Ammo ortogonallik sharti umumiy holda yana vazn ko’paytuvchini ham integral ostiga oladi. Faqat maxsus hollarda “Lejandr ko’phadlari” da bu vazn ko’paytuvchi 1 ga teng bo’ladi va shunday qilib, ortogonallik oddiy ortogonallikka aylanib qoladi. Shunday qilib, funksiyani tanlash masalasi hal qilinadi.
Gauss metodi ni - Lejandr ko’phadlari bilan mos qo’yishni talab qiladi: bu ko’phad ildizlari bizga shunday nuqtalarni beradiki, qaysikim funksiya qiymatlari berilgan bo’ladi. koeffisentlarning sonli qiymatlari bilan birga shu ildizlarning juda aniq jadvallari borki, u (1.8) formula bilan hisoblanadi.

Bizga ma’lumki, da nuqtali interpolyatsion formulaning

, (1.15)
tugun nuqtalari oraliqda qanday joylashganliklaridan qat’iy nazar, -darajali ko’phadlar aniq integrallanishi qaraladi. Chekli oraliq va uchun Gauss quyidagi masalani qaragan edi. tugunlar shunday tanlanganki, (1.15) formula mumkin qadar darajasi eng Yuqori bo’lgan ko’phadlarni aniq integrallasin. (1.15) formula ta parametr - tugunlarni maxsus ravishda tanlash yo’li bilan uning aniqlik darajasini birlikka ortirishni ko’rish mumkin. Haqiqattan ham tugunlarni maxsus ravishda tanlash orqali (1.15) formulaning darajasini dan ortmaydigan barcha ko’phadlar uchun aniq bo’lishga erishishni Gauss ko’rsatdi.
Qanchalik Gaussning natijasi ixtiyoriy oraliq va vazn funksiyalar uchun umumlashtirildi. Bunday formulalar Gauss tipidagi kvadratur formulalar deyiladi. Qulaylik uchun tugunlar o’rnida
,
ko’phad bilan ish ko’ramiz. Agar lar ma’lum bo’lsa, u holda ham ma’lum bo’ladi va aksincha. Lekin larni topishni ni topish bilan almashtirsak, u holda biz ni ildizlari haqiqiy, har xil va ularning oraliqda yotishini ko’rsatishimiz shart.[2]
Teorema 1.1.1 (1.15) kvadratur formula darajasi dan ortmaydigan barcha ko’phadlarni aniq integrallashi uchun quyidagi shartlarning bajarilishi zarur va etarlidir:
1) U interpolyatsion va 2) ko’phad oraliqda vazn bilan darajasi dan kichik bo’lgan barcha ko’phadlarga ortogonal bo’lishi kerak.
, (1.16)
Isbot. Zarurligi. Faraz qilaylik, (1.15) formula darajasi dan oshmaydigan barcha ko’phadlarni aniq integrallasin. U holda u interpolyatsiondir.
Endi darajasi dan kichik bo’lgan ixtiyoriy ko’phadni olib, deb olamiz. Shuning uchun ko’rinib turibdiki, darajasi dan ortmaydigan ko’phad. Shuning uchun ham uni (1.15) formula aniq integrallaydi:
.
Bu yerda, ni hisobga olsak (1.16) tenglik kelib chiqadi, chunki darajasi dan kichik ko’phad va (1.15) formula interpolyatsiondir.
Demak,
, (1.17 )
lekin (1.17) ga ko’ra . Shuning uchun
.
Shu bilan birga teoremaning yetarli sharti isbot bo’ldi.
ko’phad vazn bilan oraliqda darajasi dan kichik bo’lgan barcha ko’phadlar bilan ortogonal va bosh koeffisenti birga teng bo’lishi uchun, bunday ko’phad yagona hamda uning ildizlari haqiqiy, har xil va oraliqda yotadi. Demak, agar vazn oraliqda o’z ishorasini saqlasa, u holda har bir uchun darajali ko’phadlarni aniq integrallaydigan yagona (1.15) kvadratur formula mavjud.
Faraz qilaylik, bizga furkstiyaning nuqtalardagi qiymatlari berilgan bo’lib, maqsad shu nuqtalar bo’yicha integralning taqribiy qiymatini mumkin qadar Yuqori aniqlikda topishdan iboratdir. Demak, koeffisentlar aniqlanishi kerak. Buning uchun ni uning berilgan qiymatlaridan foydalanib, - darajali ko’phad bilan interpolyatsiyalaymiz:
, (1.18)
endi bu tenglikni ga ko’paytirib, dan gacha integrallaylik:
, (1.19)
qoldiq hadni tashlasak,
,
, (1.20)

kvadratur formulalarga ega bo’lamiz.

Bu formula qurilish usuliga ko’ra interpolyatsion formula deyiladi. Bunday formulalar uchun ushbu teorema o’rinlidir.[2]
Teorema 1.1.2 Quyidagi
, (1.21)
kvadratur formulaning interpolyatsion bo’lishi uchun uning barcha - darajali algebraik ko’phadlarni aniq integrallashi zarur va kifoyadir.
Isbot. Zarurligi. Agar - darajali ko’phad bo’lsa, u holda (1.18) tenglikda bo’lib,
,
tenglik urinli bo’ladi va (1.21) hamda interpolyatsion bo’lganidan (1.20) ga ko’ra:
,
demak, (1.21) formula - darajali ko’phadni aniq integrallaydi.
Yetarligi. (1.21) formula - darajali ixtiyoriy ko’phad uchun aniq formuladir. Xususiy holda, u - darajali ushbu
,
ko’phad uchun ham aniq bo’ladi.
Agar va ekanligini hisobga olsak,
,
kelib chiqadi. Demak, (1.21) ham interpolyatsiondir, shu bilan teorema isbot bo’ldi.
Xulosa
Bu teoremadan ko’rinadiki, nuqtali interpolyatsion kvadratur formulaning algebraik aniqlik darajasi dan kichik bo’lmasligi kerak. Bularga asosan, ishonch hosil qilish mumkinki, to’g’ri turtburchak, trapetsiya va Simpson formulalari interpolyatsion kvadratur formulalardir.[2]


Резюме
Из этой теоремы видно, что квадратура точечной интерполяции не должна быть меньше уровня алгебраической точности формулы. Исходя из них, можно быть уверенным, что формулы прямоугольника, трапеции и Симпсона являются интерполированными квадратурными формулами.[2]


Summary
It can be seen from this theorem that the point interpolation quadrature should not be smaller than the algebraic accuracy level of the formula. Based on these, it is possible to be sure that rectangle, trapezoid and Simpson formulas are interpolated quadrature formulas.[2]

№