«Variatsion hisob va optimallashtirish usullari» fanidan ma’ruza darslari ishlanmalari

2.1. Masalaning qo’yilishi. Quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi joiz vector- funksiyalar to’plami ni qaraymiz:
a) funksiyalar kesmada aniqlangan va uzluksiz differensiallanuvchi bo’lsin, ya’ni lar berilgan;
b) funksiyalar,
(15)
chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi, bunda sonlar berilgan, ya’ni egri chiziqlarning har biri ikkita mahkamlangan(qo’zg’olmas) chegara nuqtalardan o’tadi;
c) funksiyalar barcha lar uchun
(16)
differensial bog’lanishlarni qanoatlantiradi, bunda, funksiyalar barcha o’zgaruvchilari bo’yicha uzluksiz differensiallanuvchidir.
Bundan tashqari, (16) tenglamalar o’zaro bog’lanmagan, ya’ni





to’plamda
(17)
funksional berilgan, bu yerda funksiya o’zining barcha argumentlari bo’yicha ikkinchi tartibigacha (birinchi va ikkinchi tartibli) uzluksiz xususiy hosilalarga ega deb faraz qilinadi.
to’plamga tegishli joiz vector funksiyalar ichida shunday vector funksiyani topish kerakki, unda (17) funksional ekstremumga erishsin, ya’ni
(18)
bo'lsin.
Bu masala - Lagranj masalasi deb ataladi.
Sxema ekstremumning zaruriy sharti, birinchi variatsiyaning ekstremum beruvchi funksiyada nolga tengligiga, ya’ni shartga tayanadi. (18) masalaning (4) masaladan asosiy farqi shundaki, undagi (16) bog’lanishlar tenglamalarida hosilalar qatnashmoqda.
Bu yerda ham, xuddi (4) masaladagi kabi, funktsionalning birinchi variatsiyasi ifodasi
(19)
ko’rinishda bo’ladi, bunda (16) differrensial bog’lanishlar qatnashganligidan, variatsiyalar ixtiyoriy bo’la olmaydi. Shu sababli, bu bosqichda variatsion hisobning asosiy lemmasini qo’llash mumkin emas.
variasiyalar orasidagi bog’lanishlar (16) tenglamalarni ning belgilangan (tanlangan) qiymatlarida variatsiyalash orqali topiladi:
, (20)
bu yerda xususiy hosilalar (17) funksional ekstremumga erishadigan egri chiziqda hisoblanadi.
(20) tenglamalarning har birini hadma-had hozircha noma’lum bo’lgan ko’paytuvchiga ko’paytiramiz va dan gacha bo’lgan oraliqda integrallab,
(21)
munosabatlarni hosil qilamiz.
(21) munosabatlardagi ikkinchi integralning har bir qo’shiluvchisini bo’laklab integrallab va ekanligini hisobga olib (chunki chegaralar qo’zg’almas),
(22)
bo’lishini ko’ramiz.
Endi (22) va ning (19) ifodasidagi shartlarni qo’shib,
(23)
tenglamani hosil qilamiz. Agar
(24)
belgilashni kiritsak, bunda - Lagranj funktsiyasi deyiladi, (23) tenglama,
(25)
ko'rinishda yoziladi.
ta ko'paytuvchilarni shunday tanlaymizki, ular egri chiziq bilan birga ta
(26)
Eyler tenglamasini qanoatlantirsin.
Agar tenglamalarni kengaytirilgan holda yozsak, ular larga nisbatan chiziqli differrensial tenglamalar sistemasidan iborat bo’ladi va masalaning qo'yilishidagi c) bandga asosan, yechimga ega.
Lagranj ko'paytuvchilari yuqoridagi usul bilan tanlanganda (25) shart
(27)
ko'rinishni oladi, bunda variatsiyalar (o'zaro) bog'lanmagan.
Oxirgi tenglikda variatsiyalardan bittasini ixtiyoriy, qolganlarini nolga teng deb olib, hamda variatsion hisobning asosiy lemmasini tadbiq qilib,
(28)
tenglamalar sistemasini hosil qilamiz.
(26) va (28) larni hisobga olib, egri chiziq va Lagranj ko'paytuvchilari
(29)
Eyler tenglamalari sitemasini qanoatlantirishi zarur degan xulosa qilishimiz mumkin.
Shunday qilib, ta (29) va (16) tenglamalar va ta (15) chegaraviy shartlardan
vector- funksiya va Lagranj ko’paytuvchilari topiladi.
2-te o r e m a ((18) masalada ekstremumning zaruriy shartlari). Agar (15) chegaraviy shartlar va (16) differensial bog’lanishlarni qanoatlantiruvchi vector funksiyada (17) funksional ekstremumga erishsa, funksiyalar,

=
funksional uchun tuzilgan,

Eyler tenglamalari sistemasini qanoatlantiradi.
Izohlar 1. 2-teoremaga asosan, shartli ekstremumga qo’yilgan (18) masalani yechish - bog’lanishlar qatnashmaganda funksionalning ekstremumini tekshirishga keltiriladi.
2. Mexanikada (16) ko’rinishdagi bog’lanishlar golonom bo’lmagan bog’lanishlar deyiladi.
3. Umumiy holda umumlashgan Lagranj funksiyasidan foydalaniladi.