«Variatsion hisob va optimallashtirish usullari» fanidan ma’ruza darslari ishlanmalari

II.Bob.Shartli ekstremumga qo'yilgan variatsion masalalar ustuda amallar bajarish.
2.1.Bog`lanishlari chekli bo`lgan variatsion masala
1.
Lagranj funksiyasini tuzish, bunda - Lagranj ko’paytuvchilari.
2. (29) Eyler tenglamalari sistemasi va (16) bog’lanishlar tenglamalarini yozish:

3. Eyler tenglamalari sistemasining
umumiy yechimini hamda Lagranj ko’paytuvchilari uchun ifodalarni topish.
4. o’zgarmaslarni
,

chegaraviy shartlardan topish va ekstremal uchun ifoda (ekstremalni) yozish.
2-misol . Ushbu

funksionalning

chegaraviy shartlarni va

differensial boglanishni qanoatlantruvchi ekstremalini toping.
E c h i l i sh i. 1.Lagranj funksiyasini tuzamiz: bo’lganligidan, .
2.Eyler tenglamalari sestimasini va boglanishlar tenglamasini yozamiz;


ekanligini hisobga olsak,

bo’ladi.
3. Hosil qilingan sistemaning umumiy echilishini topamiz.Sistemaning daslabki ikkita tenglamalaridan,

ekanligini olamiz, uchinchi tenglamadan esa,

bo’lishi kelib chiqadi. U holda, yoki
bo’ladi. Oxirgi tenglamaning xarakteristik tenglamasi
ildizlarga ega, shuning uchun,

4. o’zgarmaslarni chegaraviy shartlardan topamiz;
Bu erdan bo’lishi kelib chiqadi.
Natijada, ekstremal,
ko’rinishda bo’ladi va .
(1)
(2)
(3)
ekstremal masalani qaraymiz.
Bu masalaga izoperimetrik masala deyiladi. (2) shartlarga esa, izoperimetrik shartlar (cheklashlar ) deyiladi. (2), (3) shartlarni qanoatlantiruvchi funksiyalar izoperimetrik masalada joyiz funksiyalar (chiziqlar)dan iborat.
Kuchsiz va kuchli ekstremumlar ta’rifi variatsion hisobning asosiy masalasidagiga o’xshash beriladi: agar y^*=y^*(x) joyiz funksiyaning biror nolinchi tartibli atrofiga tegishli barcha joyiz funksiyalar uchun
(4)
bajarilsa, - izoperimetrik masalada kuchli lokal minimal (maksimal) dir; kuchsiz minimal (maksimal) uchun esa, (4) munosabat y^*=y^*(x) joyiz chiziqning biror birinchi tartibli atrofida yotuvchi barcha y=y(x) joyiz chiziqlar uchun bajariladi.
Izoperimetrik masala shartli ekstremum uchun qo’yilgan variatsion masaladir. Bu masala uchun ekstremum zaruriy shartlarini bayon qilishda,
(5)
Lagranj funksiyasidan foydalanamiz. sonlarga Lagranj ko’paytuvchilari deyiladi.
10-teorema. Faraz qilaylik, , bo’lsin. Agar – (1)-(3) masalada kuchsiz ekstremal bo’lsa, bir vaqtda nolga teng bo’lmagan shunday sonlar topiladiki, y^*(x) funksiya, Lagranj funksiyasi uchun tuzilgan,
(6)

1.