«Variatsion hisob va optimallashtirish usullari» fanidan ma’ruza darslari ishlanmalari

Izohlar.

1. 
   1- teoremaga asosan, shartli ekstremumga qo'yilagan (4) masalani yechish bog'lanishlar qatnashmaganda funksionalning ekstremumini tekshirishga keltiriladi.
   
2. 
   Bog'lanishlardan qutilishning keltirilgan usuli, funksiyalarning shartli ekstremumini topishdagi Lagranj ko'paytuvchilari usuliga o’xshashdir.
   
3. 
   (2) bog'lanishlar mexanikada golonom bog'lanishlar deyiladi.
   
4. 
   Umumiy holda
   

umumlashgan Lagranj funksiyasidan foydalaniladi. Bunda va hollar alohida qaraladi.


1.2. Differensial bog’lanishlari bo’lgan shartli ekstremum masalalari
1.
Lagranj funksiyasini tuzish, - Lagranj ko'paytuvchilari.
2. (14) Eyler tenglamalari sistemasi va (2) bog'lanishlar shartlarini yozish:


3.Eyler tenglamalari sistemasining

umumiy yechimini va Lagranj ko'paytuvchilari uchun ifodalarni topish.
4. o'zgarmaslarni


chegaraviy shartlardantopish va ekstremal uchun ifoda yozish (ekstremalni yozish).
1-misol. Ushbu

Funksionalning

chegaraviy shartlarni va

bog’lanishlarni qanoatlantiradigan ekstremalini toping.
Y e ch i l i sh i. 1. Lagranj funksiyasini tuzamiz. Modomiki,

ekan,

bo’ladi.
2.Eyler tenglamalari sitemasi va bog’lanishlar tenglamasini yozamiz. Buning uchun,


ifodalardan foydalansak, quyidagi



munosabatlarni hosil qilamiz.
3.Sistemaning umumiy yechimini topamiz. Sistemaning birinchi ikkita tenglamasini hadma- had qo’shib,

ekanligini olamiz. Yangi, belgilash kiritib,

tenglamani hosil qilamiz. Uning xarakteristik tenglamasi

bo’lib, u ildizlarga ega ekanligini hisobga olsak,

bo’ladi.
Ikkinchidan, hosil qilingan sistemaning uchinchi tenglamasidan

bo’lishi kelib chiqadi. Oxirgi tenglamalarni qo’shib,
yoki
ekanligini olamiz. U holda

bo’lishi kelib chiqadi.
4. va ixtiyoriy o’zgarmaslarni chegaraviy shartlardan topamiz:


bu yerdan va
Shuni e’tirof etish kerakki, masalada chegaraviy shartlar va bog’lanishlar tenglamalari muvofiqlashtirilgan, chunki

.
Bu faktni masalani yechishdan oldin tekshirish lozim. Shunday qilib, masalada

ekstremal topildi.