«Variatsion hisob va optimallashtirish usullari» fanidan ma’ruza darslari ishlanmalari

Eyler tenglamasini qanoatlantiradi. Agar

(7)
funksiyalar chiziqli bog’langan bo’lsalar, y^*=y^*(x) bo’ladi.

1. Isboti. Berilgan

funksionallarning y^*=y^*(x ) nuqtadagi variatsiyalarini hisoblaymiz.
Ta’rifga ko’ra,
(8)
bu yerda .
fazoning qism fazosini R^m+1 fazoga akslantiruvchi

chiziqli akslantirishni qaraymiz.
Bu yerda ikki hol bo’lishi mumkin:

1. 
   A akslantirish ni R^m+1 ga to’la akslantiradi, ya’ni A akslantirishning obrazi (regulyar hol).
   
2. 
   A akslantirish ni R^m+1 ning qismiga akslantiradi (aynan bo’lgan hol).
   

Dastlab teorema tasdig’ining aynan bo’lgan holda to’g’riligini ko’rsatamiz.
Ma’lumki, chiziqli akslantirishda chiziqli fazoning obrazi chiziqli qism fazodan iborat bo’ladi. Demak, aynan bo’lgan holda, A akslantirishning obrazi fazoning hos qism fazosi bo’ladi. U holda funksional analizdan ma’lum faktlarga ko’ra[а , b], bir vaqtda nolga teng bo’lmagan shunday sonlar topiladiki,

tenglik bajariladi. Endi A operatorning aniqlanishi va variatsiya uchun (8) ifodalarni hiasobga olib,

tenglikka ega bo’lamiz. Dyubua-Reymon lemmasiga ko’ra, bu yerdan
(9)
munosabatni olamiz, ya’ni y^*(x) kuchsiz ekstremal (6) tenglamani qanoatlantiradi.


2.2. Masalada ekstremumning zaruriy shartini qo’llash algoritmi.

ko’rinishda yozish mumkin. Bu yerdan esa, funksiyalar chiziqli bog’lanmagan holda, ekanligi kelib chiqadi.
Endi regulyar holni qaraymiz va bunday hol bo’lishi mumkin emasligini ko’rsatamiz.
Shunday fun ksiyalarni olamizki, bo’lsin, bu yerda dagi kanonik bazis. R^m+1 dagi nol nuqtaning atrofini yana R^m+1 ga F akslantirishni qaraymiz:

bu yerda

2.