Vektorlarning geometrik va mexanik masalalarga tadbiqi

Urinmaning turli ko`rinishdagi tenglamalari.
Ma‘lumki, egri chiziq turli ko`rinishdagi tenglamalar orqali berilishi mumkin. Egri chiziqning berilishi usuliga mos ravishda urinma tenglamalari xam turli ko`rinishlarda bo`ladi. Ularning ayrimlarini ko`rib o`tamiz.
1. Aytaylik  egri chiziq x=f₁(t), y=f₂(t), z=f₃(t) ko`rinishdagi parametrik tenglamalar bilan berilgan bo`lsin. Ma‘lumki, boshlang`ich nuqtasi М(x<sub>0</sub>,y<sub>0</sub>,z<sub>0</sub>) va yo`naltiruvchi vektori l(m,n,р) bo`lgan to`g`ri chiziq tenglamasi ((x-x<sub>0</sub>)/m)=((y-y<sub>0</sub>)/n)=((z-z<sub>0</sub>)/р) ko`rinishda bo`ladi. Bundan foydalanib va yuqorida isbot qilingan teoremani etiborga olib, x=f₁(t), y=f₂(t), z=f₃(t) parametrik tenglamalar bilan berilgan egri chiziqning Р(x₀,y₀,z₀) nuqtasidagi urinma tenglamasini

(1)
ko`rinishda yozish mumkin. Xususan, agar chiziq tekis egri chiziqdan iborat bo`lib, x=f₁(t), y=f₂(t) ko`rinishda berilgan bo`lsa, urinma tenglamasi

bo`ladi.

2. Faraz qilaylik  egri chiziq y=f(x), z=(x) ko`rinishdagi tenglamalar bilan berilgan bo`lsin. Bu tenglama x=t, y=f(t), z=(t) ko`rinishdagi parametrik tenglamaga ta`luqlidir. Shuning uchun urinma tenglamasini (1) ko`rinishda yozish mumkin, yani

yoki (2)
Xususan, tekis egri chiziq uchun bizga ma‘lum bo`lgan y=y₀+f'(x₀)(x-x₀) tenglama kelib chiqadi.
3.  egri chiziq (x,y,z)=0, (x,y,z)=0 ko`rinishdagi oshkormas tenglamalar orqali berilgan bo`lsin. Р(x₀,y₀,z₀) nuqtadagi urinma tenglamasini tuzish talab qilingan bblsin. Bu yerda
matritsaning rangi 2 ga teng.
Aytaylik x=x(t), y=y(t), z=z(t) tenglamalar egri chiziqning Р(x₀,y₀,z₀) nuqta atrofidagi qandaydir regulyar parametrlangan tenglamalari bo`lsin. U xolda biz quyidagi ayniyatga ega bo`lamiz, yani
(x(t),y(t),z(t))=0
(x(t),y(t)z(t)=0
Bu ayniyatlarni t bo`yicha differentsiallab quyidagilarni topamiz:
<sub>x</sub>x'<sub>t</sub>+<sub>y</sub>y'<sub>t</sub>+<sub>z</sub>z'<sub>t</sub>=0
<sub>x</sub>x'<sub>t</sub>+<sub>y</sub>y'<sub>t</sub>+<sub>z</sub>z'<sub>t</sub>=0
Oxirgi tengliklardan shu narsa kelib chiqadiki, koordinatalari (x'<sub>t</sub>,y'<sub>t</sub>,z'<sub>t</sub>) bo`lgan r'(t) vektor (_x,_y,_z) va (_x,_y,_z) vektorlarning xar biriga perpendikulyar ekan, chunki ularning skalyar ko`paytmalari 0 ga teng. Bundan r'(t) vektorning yo`nalishi [,] vektorning yo`nalishi bilan ustma-ust tushadi.
Demak, [,] vektor urinmaning yo`naltiruvchi vektoridan iborat ekan. Shunday qilib urinma tenglamasini

ko`rinishda yoza olamiz. Agar  tekis egri chiziq bo`lib, (х,у)=0 ko`rinishdagi tenglama bilan berilgan bo`lsa urinma tenglamasi

ёки _х(х-х₀)+_у(у-у₀)=0

ko`rinishda bo`ladi.


Ta‘rif. Urinish nuqtasi orqali o`tib, urinmaga perpendikulyar bo`lgan tekislik egri chiziqning shu nuqtasidagi normal tekisligi deyiladi.
Normal tekislik uchun urinmaning yo`naltiruvchi vektori normal vektor bo`ladi. Shuning uchugn normal tekislik tenglamasini tuzish uchun urinmaning yo`naltiruvchi vektorini bilish kifoyadir, yani f'<sub>1</sub>(t<sub>0</sub>), f'<sub>2</sub>(t<sub>0</sub>), f'<sub>3</sub>(t<sub>0</sub>) urinma yo`naltiruvchi vektorning koordinatalari bo`lsa normal tekislik tenglamasi
f'<sub>1</sub>(t<sub>0</sub>)(x-x<sub>0</sub>)+f'<sub>2</sub>(t<sub>0</sub>)(y-y<sub>0</sub>)+f'<sub>3</sub>(t<sub>0</sub>)(z-z<sub>0</sub>)=0
ko`rinishda bo`ladi.