Vektorlarning geometrik va mexanik masalalarga tadbiqi

b = a₁x₁ + a₂x₂ + a₃x₃ + a₄x₄ vektor tenglama tuzamiz va uning ye-chimini Gauss-Jordan usulida aniqlaymiz:

 …  .
Demak, b vektor berilgan vektorlar sistemasi bo`yicha yagona usul-da b = a<sub>1</sub> + 2a<sub>2</sub> - a<sub>3</sub> + a<sub>4</sub> ko`rinishda yoyiladi.

Chiziqli bog`liq va chiziqli erkli vektorlar sistemalari
n o`lchovli m ta vektorlardan iborat (*) vektorlar sistemasi berilgan bo`lsin.


a₁x₂ + a₂x₂ + … + a_mx_m = θ (bu yerda θ - n o`lchovli nol vektor) vektor tenglama yoki shuning o`zi m ta noma`lumli n ta chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemasini tuzamiz.
a<sub>1</sub>x<sub>2</sub> + a<sub>2</sub>x<sub>2</sub> + … + a<sub>m</sub>x<sub>m</sub>=θ vektor tenglama aniq bo`lib, yagona trivial (nol) yechimga ega bo`lsa, (*) vektorlar sistemasi o`zaro chiziqli bog`lik bo`lmagan yoki chiziqli erkli vektorlar sistemasi deyiladi.


a₁x₂ + a₂x₂ + … + a_mx_m = θ vektor tenglama aniqmas bo`lib, trivial yechimdan tashqari notrivial (nolmas) yechimlarga ham ega bo`lsa, (*) vektorlar sistemasi chiziqli bog`lik sistema deyiladi. Aniqlik uchun nolmas (x<sub>1</sub>; x<sub>2</sub>; …; x<sub>m</sub>) yechimda x<sub>m</sub>≠0 bo`lsin. Unda

a^(m) = a₁ a₂- … a_m-1
munosabat o`rinli bo`lib, (*) vektorlaridan biri qolganlarining chiziqli kombinatsiyasiga teng. Bu esa sistemaning chiziqli bog`liqligini ang-latadi.
Agar vektorlar sistemasi yagona nolmas vektordan tashkil topgan bo`lsa chiziqli erkli; yagona nol vektordan iborat bo`lsa, chiziqli bog`-liqdir. Chiziqli erkli sistemaning har qanday qism osti sistemasi – chi-ziqli erkli, chiziqli bog`liq sistemaning har qanday kengaytirilgan siste-masi esa chiziqli bog`liqdir. Demak, tarkibida nol vektor mavjud har qanday vektorlar sistemasi chiziqli bog`liqdir.
Berilgan sistema vektorlari koordinatalaridan

matritsa tuzamiz.

(*) vektorlar sistemasining chiziqli erkli yoki chiziqli bog`liqligi quyidagi teorema yordamida aniqlanadi.