Vektorlarning geometrik va mexanik masalalarga tadbiqi

Teorema. Agar berilgan (*) sistema vektorlari aniqlaydigan A mat-ritsa rangi r sistema vektorlari soni m ga teng bo`lsin, ya`ni r = m, (*) sistema chiziqli erkli, agarda A matritsa rangi r, sistema vektorlari soni m dan kichik, ya`ni r < m bo`lsa, (*) sistema chiziqli bog`liqdir.
Teorema isboti bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasining yagona trivial yechimga egaligi va trivial yechimdan tashqari notrivial yechim-larga egaligi haqidagi teorema asosida isbotlanadi va uning shartlari tasdig`ini quyidagi xususiy misollarda tekshirib ko`rish mumkin.
Masalalar.
1) R<sub>2</sub> haqiqiy fazoda (koordinatalar tekisligida) ikki a<sub>1</sub>(a<sub>11</sub>; a<sub>21</sub>) va a<sub>2</sub>(a<sub>12</sub>; a<sub>22</sub>) vektorlardan iborat sistema berilgan bo`lsin. Agar vektorlar kollinear bo`lmasa, r(A) = 2 = 2 = m munosabatlar o`rinli va sistema – chiziqli erkli. Agarda vektorlar kollinear bo`lsa, r(A) = 1 < 2 = m munosabatlar o`rinli bo`lib, sistema chiziqli bog`liqdir.
2) R₂ haqiqiy fazoda a₁, a₂, …, a_k (k ≥ 3) vektorlar berilgan bo`lsin. Ushbu holda r(A) ≤ 2 < k = m munosabatlar o`rinli bo`lib, sistemaning ixtiyoriy vektori qolganlarining chiziqli kombinatsiyasi shaklida tasvirlanishi mumkin. R<sub>2</sub> fazoda 3 ta va undan ortiq vektorlar sistemasi har doim chiziqli bog`liq sistemani tashkil etadi.
3) R₃ haqiqiy fazoda a₁(a₁₁; a₁₂; a₁₃) va a₂(a₁₂; a₂₂; a₃₂) vektorlar sistemasi berilgan bo`lsin. Agar vektorlar kollinear bo`lmasa, r(A) = 2 = 2 = m munosabatlar o`rinli va sistema chiziqli erkli. Agarda vektorlar kollinear bo`lsa, r(A) = 1 < 2 = m shartlar bajariladi va sistema chiziqli bog`liqdir.
4) R<sub>3</sub> haqiqiy fazoda a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub> vektorlardan iborat sistema berilgan bo`lsin. Agar vektorlar o`zaro komplanar bo`lmasa, r(A) = 3 = 3 = m munosabatlar o`rinli va sistema – chiziqli erkli. Aks holda, r(A) ≤ 2 < 3 = m shartlar o`rinli bo`lib sistema chiziqli bog`liqdir.
5) R₃ haqiqiy fazoda a₁, a₂,…, a_k (k ≥ 4) vektorlar sistemasi uchun r(A) ≤ 3 < k = m munosabatlar o`rinli bo`lib, sistema har doim chiziqli bog`liq. R<sub>3</sub> fazoda kamida to`rtta vektorlardan iborat har qanday sistema chiziqli bog`liqdir va hokazo.
Masala. a<sub>1</sub>(2; -1; 3; 0), a<sub>2</sub>(8; -9; 1; -4), a<sub>3</sub>(-3; 4; 1; 2) vektorlar sistemasining chiziqli erkli yoki chiziqli bog`liqligini aniqlang.
Sistema vektorlari koordinatalaridan matritsa tuzamiz va uning rangini Gauss algoritmi yordamida aniqlaymiz:

r(A) = 2 < 3 = m munosabatlar o`rinli bo`lgani uchun berilgan sistema chiziqli bog`liq sistemani tashkil etadi.

Adabiyotlar

1. 
   
   Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. М.,Наука,1990.
   
2. 
   
   Нарманов А.Я. Дифференциал геометрия. Т. Университет, 2003
   
3. 
   
   Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. М.,1974.
   
4. 
   
   Нарманов А.Я. ва бошқалар. Умумий топологиядан машқ ва масалалар тўплами. Т.Университет, 1996.
   
5. 
   
   Сборник задач по дифференциальной геометрии. Под ред. Феденко А.С. М., 1979.
   

http://hozir.org