Viviani’s theorem and related problems

Unsolved challenge 
 
II. 
Carnot’s Theorem and its Relationship to Viviani’s Theorem 
1. Extended Carnot’s Theorem and its Converse 
By Pythagoras’ Theorem:
- 
= 
- 
= 
 
- 
= 
- 
 
- 
= 
−
(5.1) 
Similarly,
- 
= 
−
(5.2) 
… 
- 
= 
−
(5.n) 
Sum of (5.1) + (5.2) + … + (5.n): 
0 = 
−
+ 
−
+ … 
+
−
+ … +
+
= 
+ … + 
+
∴ ∑
= ∑
(Q.E.D) 
Given that ,
, …
are interior angles of an − sided polygon such that: 
∙
(
−
)° = (
) ∙
(
−
)° 
And ∑
=
( − ) 
Prove that: 
=
=
= ⋯ =
Theorem 2.1 Given an n-sided polygon 
. . . .
. P is an interior point of the 
given polygon. 
,
,
,..,
lie on 
,
,
,...,
respectively. The 
following holds true: 
=
 

---

2020 Singapore Mathematics Project Festival Viviani’s Theorem and its Related Problems 
21 
As proven in Lit.rev 7., the converse of extended Carnot’s 
Theorem holds true for triangles when n=3. (6.1) 
Assume that the converse of extended Carnot’s Theorem also 
holds true for k-sided polygons: 
+ … +
+
= 
+ … + 
+
(6.2) 
Construct a triangle 
outside the k-sided polygon 
such that the newly constructed (k+1)-sided polygon is a 
convex polygon. (6.3) Now we need to prove that the theorem 
also holds true for this newly constructed (k+1)-sided 
polygon.
Thus we have to prove the following equation: 
+ … +
+
= 
+ … + 
+
(*) 
From (6.1) in triangle 
: 
+ 
+
= 
+ 
+
(6.4) 
Take (2)- (4):
(
+ … +
+
) – (
+ 
+
)
= 
(
+ … + 
+
) - ( 
+ 
+
)
⟺
+ … +
+
- 
- 
- 
= 
+ … + 
+
− 
- 
- 
⟺
+ … +
-
- 
=
+ … + 
− 
-
⟺
+ … +
+ 
+
=
+ … + 
+ 
+ 
(Q.E.D) 
 
Theorem 2.2 In an n-sided polygon, take one point 
,
, … ,
on each side 
, 
,…, 
. The lines that pass through points and perpendicular to side 
will 
converge at one point if : 
=
 

---

2020 Singapore Mathematics Project Festival Viviani’s Theorem and its Related Problems 
22 
2. The 
link 
between 
extended 
Carnot’s 
Theorem 
and 
extended 
Viviani’
 
We observed some similarities in the model of the two theorems, so we try to establish a link between them: 
Suggested solution for Linked problem 1: 
First, we are going to prove that the lines that pass through the B
1
, B
2
, B
3
, …, B
n 
and perpendicular to the 
respective sides A
1
A
2
, A
2
A
3
, A
3
A
4
, …, A
n
A
1 
converge at one point. This is actually the extension of Carnot’s 
theorem in polygons. 
Let P be the point of converging of those lines.
Since the polygon is regular, the polygon will possess CVS property.
Using Corollary 1, it holds: 
∑
⃗.
⃗ = ∑
⃗.
⃗ = 2 area of the polygon × 
(
° −
°
) 
As ∑
⃗.
⃗ = 2 area of the polygon × 
(90° −
°
), 
 The sum is a constant. 
Linked problem 1 Given an n-sided regular polygon 
A
1
A
2
A
3
…A
n 
and a system of point 
B
1
, B
2
, 
B
3
, …, B
n 
on the sides 
A
1
A
2
, A
2
A
3
, A
3
A
4
, …, A
n
A
1 
respectively such ℎ ∑
=
∑
 
 is an interior point of the polygon.
Prove that: ∑
⃗.
⃗ is independent from the location of system of points and the 
position of point . 
 

---

2020 Singapore Mathematics Project Festival Viviani’s Theorem and its Related Problems 
23 
 Therefore, it is independent from the location of the system of points B
i
and the location of point O. 
(Q.E.D) 
Suggested solution for Linked problem 2. 
First, since ∑
= ∑
, Lines that pass through the B
1
, B
2
, B
3
, …, B
n 
and perpendicular 
to the respective sides A
1
A
2
, A
2
A
3
, A
3
A
4
, …, A
n
A
1 
converge at one point. 
In fact, this is the extension of Carnot’s theorem in polygons. 
Let P be the point of convergence of those lines.
⃗.
⃗ = 2 
× cos(90° −
360°
) 
Using the result of Corollary 2, the given equilateral polygon is regular 
 All regular polygon possesses CVS property. (Q.E.D) 
 
DISCUSSION 
I. 
Viviani’s theorem and its extension 
Vectors approach 
So far, area formula is the most widely used method and applied in most of the studies of the extensions of 
Viviani’s theorem. However, as the project is to further study Viviani’s theorem and its extension using 
Vectors, the entire process is merely based on the application of vectors in extending Viviani’s theorem and 
studying some of its related problems. The first approach to the extended Viviani’s theorem is to prove 
Theorem 1.1, one of the most significant results and most basic extensions extending the original theorem 
from equilateral triangles to regular polygons.
Three lemmas have been proved and used to support the proof in vectors. In fact, there is an incorporated 
connection between the three lemmas in proving Extension 1. The result of Lemma 1 is used to yield the 
result of Lemma 2. When generalizing Lemma 2 from the specific case of n=3 to n=k, the statement still 
holds true. Thus, Lemma 3 is indeed the generalization of Lemma 2.
Linked problem 2. Given an equilateral n-sided polygon A
1
A
2
A
3
…A
n
.
A system of points B
1
, B
2
, B
3
, …, B
n 
are points on lying on the sides of the polygon 
A
1
A
2
, A
2
A
3
, A
3
A
4
, …, A
n
A
1 
respectively. O is an interior point in the given polygon.
Prove that the polygon has CVS property if and only if: 
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
=
⃗.
⃗ = 2 
×
(90° −
360°
) 
 

---

2020 Singapore Mathematics Project Festival Viviani’s Theorem and its Related Problems 
24 
From the proof of Theorem 1.1, we notice that as long as the sum of unit vectors that each of them is 
perpendicular to the corresponding side is a zero vector, the polygon will possess CVS property.
It was hypothesized that the converse of the above statement also holds true. The hypothesis was articulated 
into Theorem 1.2. In the attempt to prove Theorem 1.2 holds true, it was noticed that the suggested proof 
contradicted to the previous work stating that: 
“If V takes equal values at TWO distinct points, the polygon possesses CVS property’’
(Elias Abboud, 2009). 
Citing from the earlier proof of Theorem 1.2, from our results:
( ) − ( ) = ∑
⃗ ∙ ⃗ − ∑
⃗ ∙ ⃗ =
⃗ ∙ ( ∑
⃗ ) = 0⃗ (*) 
Since P and Q are two distinct points, 
⃗ is not a zero vector. However, from here, we cannot conclude 
that the sum of unit vectors that are perpendicular to the sides of the polygon is a zero vector even though 
vector PQ is a non zero vector. Noted that this conclusion is the key condition for a convex polygon to have 
CVS property.
We had concluded that because the given polygon possessed CVS property, the (*) hold true. Furthermore, 
because ‘
⃗ is not a zero vector’ but the multiplication results in a zero vector, the other factor, which is 
⃗, the sum of unit vectors, is infact a zero vector (**). 
Yet this is a fast-concluding statement. From this deduction (**), it is able to prove that a polygon will 
possess CVS property as long as there exists two distinct points that take equal values of function V, which 
is much different from the results of Elias Bound (2009).
Thus, the proof is taken into consideration to further look into the problem and explain why there is such 
kind of difference.
With two distinct interior points, P and Q, since the polygon has CVS property:
V(P) = V(Q) 
 ∑
⃗ ∙ ⃗ − ∑
⃗ ∙ ⃗ = ∑
⃗ ∙ ⃗ = ⃗ ∙ (∑
⃗) = 0⃗ (*) 
From (*), the deduction should be: 
∑
⃗ = 0⃗ (7.1) 
Or
∑
⃗ ) = ⃗ and ⃗ ⊥
⃗ (7.2) 
When 
⃗is perpendicular to the sum-vector. This results in ⃗ ∙ ∑
⃗ = 0, regardless of whether or not 
the polygon has CVS property. 
That is, we cannot conclude that the sum of unit vectors is a zero vector even though vector PQ is a non 
zero vector since there is situations that is misleading and special cases where the equation obviously holds 
true without neither vector PQ nor sum of unit vectors necessarily being a zero vector. This is when 
⃗ is 
perpendicular to 
⃗ , the sum-vector. This results in ⃗ ∙ ∑
⃗ = 0, regardless of whether or not the polygon 
has CVS property 
If given a convex polygon, there are possibilities that the sum of unit vectors is a non-zero vector. Choosing 
two random interior points may accidentally form a vector whose direction perpendicular to the sum-vector.

---

2020 Singapore Mathematics Project Festival Viviani’s Theorem and its Related Problems 
25 
To control the condition (7.2), we first need to calculate the sum-vector before controlling PQ such that it 
is not parallel to this sum-vector. Since we have already calculated the sum-vector, our attempt to prove 
that the sum of unit vectors of this given polygon becomes meaningless.
From the earlier solution, the use of TWO points could not give us a direct and accurate explanation due to 
the existence of some cases that mislead our deduction. Therefore, we are going to increase the number of 
interior points from 2 points to 3 points for tighter conditions. As the number of conditions increased with 
a tighter condition, the conclusion that the polygon possesses CVS property can be made. Therefore, our 
approach explains the result of the extension of Viviani’s theorem made by Elias Abboud (2009) that why 
there is a need for 3 non-collinear points that take the same value of V(x) for a polygon to posses CVS 
property.
The process to prove the hypothesis of Theorem 1.2, which is Theorem 1.3, does not only help to clarify 
the extension of Elias Bound (2009) but also to explain why some special polygons have CVS property 
(Chen, Zhibo; Liang, Tian. 2006). Those special polygons include: regular polygons, parallelograms, 
polygons with pairs of opposite sides parallel. It is discovered that those special polygons posses CVS 
property, most of the proof was based on using area-formula (Chen, Zhibo; Liang, Tian. 2006). From our 
hypothesis and attempt to prove it, we figured out some properties that a polygon would have, given the 
condition that it possesses CVS property. The investigation for the study was articulated into Theorem 1.4.
In the study of Theorem 1.4, we deduced some of the possible shapes of the polygon. Those possible shapes 
match with the previous work stated above. To conclude, from Theorem 1.4, we are able to explain why 
certain geometrical properties of a polygon are needed so that the polygon would have constant V(x) sum.