Viviani’s theorem and related problems

II. 
Carnot’s theorem
Extended Carnot’s theorem 
It is noted that the model of Carnot’s theorem in triangles is quite similar to that of Viviani’s theorem. 
However, Carnot’s theorem has not been extended to polygons like Viviani’s theorem. It is noticing that 
the proof of Carnot’s theorem is merely based on Pythagoras theorem; thus, it is hypothesizing that it would 
be possible to extend the theorem from triangles to polygons since a polygon could be divided into triangles 
from the given interior point.
The original Carnot’s theorem holds true both forward and reverse ways. Similarly, when extending the 
original theorem, the extension also holds true for both ways. In fact, the similarity between the model of 
Carnot’s theorem and that of Viviani’s theorem becomes clearer as we compare the extension version of 
both theorems. Both models consist of a convex polygon with an interior point with the respective 
perpendicular lines from that interior point to sides of the given polygon.
Relationship between Carnot’s theorem and Viviani’s theorem 
From the observation of the similarity in the two models of the two extended theorems, we decided to 
establish a link of those two extended theorems by combining the results found previously. 
The first problem is inspired from Corollary 1 and the extended Carnot’s theorem. It shows a link between 
the Corollary 1 and the extended Carnot’s theorem in polygons to produce a new problem that can be solved 
merely using the results found earlier. The solution of the suggested problem is built up from the earlier 
work of extending Carnot’s theorem and the application of Corollary 1 using the idea of Viviani’s theorem 
that a regular polygon possessing CVS property.
In a similar manner, Problem 2 is suggested from the inspiration of Corollary 2. If Corollary 2 holds true, 
the hypothetical Problem 2 also holds true. In fact, Problem 2 is the converse statement of the Problem 1 
since Corollary 2 is the converse of Corollary 1. Similarly, the steps for the solution of Problem 2 is 
developed the same way as that of Problem 1.

---

2020 Singapore Mathematics Project Festival Viviani’s Theorem and its Related Problems 
27 
Due to time constraint, Corollary 2 has not been solved completely. It is believed that if there was more 
time devoted to further research to look into the unsolved challenge, the results of Corollary would have a 
more significant impact. Thus, with the completion in the process of proving Corollary 2, the project would 
have clearer result and better analysis for the approach and the connection between Carnot’s theorem and 
Viviani’s theorem.