Viviani’s theorem and related problems

Theorem 1.3: What can we tell about the geometrical property of polygons that possess CVS 
property? 
Given a convex polygon. Construct unit vectors from an interior point perpendicularly directed to the sides 
of the polygon. If ∑
⃗ = 0⃗, then the polygon has CVS property. 
Cases for an n-sided polygon to have ∑
⃗ = 0⃗, 
 If the number of sides of polygon is odd, 
o
The polygon is regular 
 If the number of sides of polygon is even, 
o
The polygon is regular 
o
There must be pairs of vectors that are in opposite direction 
 The polygon has opposite sides that are parallel, since the opposite sides share the same 
perpendicular from the given interior point 
2. Corollaries 
Let
⃗ ∙ 
⃗ =
⃗ ∙ ( ⃗ +
⃗)  
From the equation above,
⃗ ∙ 
⃗ =
∙
∙ cos (90 −
360
)° 
⃗ ∙ 
⃗ =
∙
∙ cos (90 −
360
)° 
… 
Corollary 1. Given a regular n-sided polygon with each side having a length of a. Let 
,
,
…
be the foot of the perpendicular lines from a random interior point P to 
the sides of the polygon, which we defined as 
,
, …
. O is another 
random interior point. The following equation holds: 
⃗ ∙
⃗ =
⃗ ∙
⃗ =
×
(
−
) ∘ 

---

2020 Singapore Mathematics Project Festival Viviani’s Theorem and its Related Problems 
19 
… 
⃗ ∙
⃗ =
∙
∙ cos (90 −
360
)° 
Hence,
⃗ ∙
⃗ = ∙
∙ cos (90 −
360
) ∘ 
On the other hand:
= 2 
Thus, Corollary 1 is true. 
Given a n-sided convex polygon, it holds: 
⃗ ∙ 
⃗ =
∙
∙ cos (∠
− 90)° 
⃗ ∙
⃗ =
∙
∙ cos (∠
− 90)° 
… 
⃗ ∙
⃗ =
∙
∙ cos (∠
− 90)° 
∑
⃗.
⃗ = . ∑
. cos(∠
− 90)° 
= 
2.
ℎ
.
(90 −
) 
Area of equilateral convex polygon = a. ∑
∑
⃗.
⃗ = . ∑
. cos(∠
− 90)°= a. ∑
.
(90 −
) 
∑
. cos(∠
− 90)° = ∑
.
(90 −
) (*) 
In order to prove that the polygon is regular (both equilateral and equiangular), from (*) we have to prove 
that: 
∠
= ∠
=. . . . = ∠
Corollary 2. (hypothesis) Given an equilateral polygon. P and O are arbitrary points 
inside the given polygon. From P, construct perpendicular lines to sides of polygon. 
Let  
,
,
, …  be the intersections of the constructed perpendicular lines to sides 
,
,
, . ..The given polygon is regular if: 
⃗ ∙
⃗ =
⃗ ∙
⃗ =
×
(
−
) ∘ 

---

2020 Singapore Mathematics Project Festival Viviani’s Theorem and its Related Problems 
20