Viviani’s theorem and related problems

Corollaries 
In the process of approaching Viviani’s theorem using vectors, some interesting corollaries related to 
Viviani’s theorem have been discovered, all of which involves a constant sum of multiplication of vectors 
in a polygon. 
The multiplication of vectors involve vector 
⃗ which is the vector of side of the polygon and 
⃗, 
which is the vector of the length from the given interior point P to sides of the polygon. The significance of 
Corollary 1 is that the sum of multiplication of vectors is a constant that involves the area of the polygon 
and the size and cosine of exterior angle of this given regular n-sided polygon ( cos (90
° − 
°
) ).
Therefore, a new vector-related result is established, all of which matches the aim of the project that is to 
approach Viviani’s theorem with another method which is to merely based on vectors.
The result of the corollary has a greater significance with the use of another random interior point O. This 
is because it is noted that P is indeed the converging points of all the perpendicular lines to the 
corresponding sides of the polygon. In other words, P is a special point inside the polygon. Yet when 
replacing P by another point O inside the polygon, the result still holds true. This is due to the special 
property of vectors, especially the arithmetic calculation like addition and that if segment was used instead, 
the result would no longer hold the same. Therefore, the result yielded for the corollary applies for not only 
the special converging point P but also for any interior points of the polygon given. Thus, a stronger result 
was obtained.
Yet will the converse of Corollary 1 still hold true? In other words, given the result of Corollary 1, is it 
possible to conclude that the polygon is regular? It was hypothesised that the converse of Corollary 1 still 
holds true. Thus, Corollary 2 is suggested as the converse of Corollary 1. The aim of Corollary 2 is to prove 
that the given polygon is regular, so we are able to conclude that it possesses CVS property with the below 
intended process: 

---

2020 Singapore Mathematics Project Festival Viviani’s Theorem and its Related Problems 
26 
1. Given the polygon with the assumption (*) of Corollary 2, prove that it is regular. 
2. Since the polygon is regular, it possesses CVS property.
∑
⃗ ∙
⃗ = ∑
⃗ ∙
⃗ =
×
(
° −
°
) (***) 
To prove a polygon regular, it is necessary to prove that it is both equiangular and equilateral. Specifically, 
there are two distinct variables in a polygon which is the size of interior angles and length of sides. It is 
noted that if those 2 variables are hidden at the same time, with only 1 equation (***), it is quite impossible 
to work the problem out. Therefore, condition that needs to be given for Corollary 2 was taken into 
consideration such that it would be possible to deduce a feasible solution when exploiting the assumption.
The assumption given for the polygon in Corollary 2 is that it is either an equilateral polygon or equiangular 
polygon. Yet when considering the final aim of the work which is to prove that it possesses CVS property, 
it is more preferred to make the polygon to be equilateral than equiangular. By constructing parallel lines, 
an equiangular polygon will become a regular polygon (Literature Review...) Therefore, our attempt to 
prove that the equiangular polygon will have constant V sum using the give assumption (***) will be less 
significant than constructing parallel lines to produce a regular polygon, which certainly possesses CVS 
property. Thus, the polygon in Corollary 2 is made to be equilateral instead. 
As we attempted to produce a feasible solution for Corollary 2, there remains an unsolved challenge. We 
believed that the once this challenge is completely addressed, the Corollary 2 will be no longer a question 
for us to wonder and thus, our hypothesis could be clarified if it is confirmed to be true.