Hisoblash usullari

2.2. Eyler usuli
Yuqorida ko`rilgan usullar taqribiy analitik usullar bo`lib, bu hollarda yechimlar analitik (formula) ko`rinishlarida olindi. Bu usullar bilan topilgan yechimning aniqlik darajasi haqida fikr yuritish birmuncha murakkab bo`ladi.
Masalan, ketma – ket differensiallash usulini qo`llaganda qatorning juda ko`p hadlarini hisoblashga to`g’ri keladi va ko`p hollarda bu qatorning umumiy hadini aniqlab bo`lmaydi. Pikar algoritmini qo`llaganimizda esa, juda ko`p murakkab integrallarni hisoblashga to`g’ri keladi va ko`p hollarda integral ostidagi funksiyalar elementar funksiyalar orqali ifodalanmaydi. Amaliy masalalarni yechishda yechimlarni formula ko`rinishida emas, balki jadval ko`rinishida olish qulay bo`ladi. Differensial tenglamalarni raqamli usullar bilan yechganda yechimlar jadval ko`rinishida olinadi.
2.3. Adams ekstrapolyatsion metodi
Faraz qilaylik, y(x) funktsiyani x<sub>n</sub> ,x<sub>n−1</sub>,...,x<sub>n−k</sub> nuqtalarda qiymati ma`lum bo’lsin. x ₌ x_n + uh almashtirish bajaramiz. U holda (34) quyidagi ko’rinishga keladi [4].

(36) ni (35) ga qo’yamiz va integrallash amalini bajarsak, quyidagi formulaga ega bo’lamiz:
Bu integraldagi u(u ₊1)...(u ₊ k) ishora saqlaganligi uchun, o’rta qiymat haqidagi teoremaga asosan va y^(k+2) (x) ni uzluksizligidan
Rk =h^k+2 c(k+1)y^(k+2) (ξ)du, xn−k ≤ (ξ) ≤ xn+1
kelib chiqadi. Agar M_k+2 = xn^max−k≤x≤xn y^(k+2) (x) desak va C_k > 0 ni e`tiborga olsak,

Rk = h^k+2c_k+1M _k+2 (39)
bo’ladi. Agar h > 0 yetarlicha kichik bo’lsa R_k = O(h^k+2 ) xatolikni e`tiborga olmasak, Adams ekstrapolyatsion metodining hisob formulasiga ega bo’lamiz:
Agar (40) da k = 0 bo’lsa, y<sub>n+1</sub> = y<sub>n</sub> + hf (x<sub>n</sub> , y<sub>n</sub> ) - Eyler usuli hosil bo’ladi. Agar k ≥1 bo’lganda y<sub>n</sub> , y<sub>n−1</sub>,..., y<sub>n−k</sub> larni ma`lum deb (40) dan ketma-ket
yn+1, yn+2,...
lar topiladi.
Bu metodni qiyinchiliksiz birinchi tartibli differentsial tenglamalar sistemasi uchun Koshi masalasiga qo’llash mumkin. Buni quyidagi masalada namoyish etamiz:
y′ = f (x, y, z), y(x₀ ) = y₀,
z′ = ϕ(x, y,z), z(x₀) = z₀,

2.3. Adams interpolyatsion metodi
(30)-(31) Koshi masalasini echimi x_n−k+1,...,x_n+1 nuqtalarda ma`lum deb faraz qilaylik (vohalanki y<sub>n+1</sub> = y(x<sub>n+1</sub>) noma`lum). Yechimning x_n+1 nuqtadagi qiymatini


du deb yozib olib, y′(x_n+1 + uh) ni jadval
oxirida interpolyatsiyalash (Nyuton) formulasiga almashtirib, integrallashni bajarsak, quyidagi hisob formulasiga ega bo’lamiz [6]:

bu erda
C_k .
(41) formulaning xatoligi
Rk = hk+2Ck+1y k+2 (ξ), xn−k+1 ≤ ξ ≤ xn+1.
Odatda (30)-(31) Koshi masalasini Adams metodi bilan yechishda quyidagicha amal qilinadi.
Jadval boshidagi echimning qiymatlarini, ya`ni x_n−k ,x_n−k+1,...,x_n nuqtalardagi yechimning qiymatini qanaqa aniqlikda topilsa, shunday aniqlikka ega Adams formulasini tanlash kerak bo’ladi. Bundan tashqari (41) formula emas, u y_n+1 ga nisbatan y_n+1 = ϕ(y_n+1) ko’rinishdagi chiziqsiz tenglamadir. Shuning uchun (40) dan y_n^э₊₁ topilib, uni (41) ning o’ng tomoniga qo’yamiz, ϕ(у_n^э₊₁) = y_n^u₊₁ deb belgilaymiz. Agar y_n^э₊₁ va y_n^u₊₁ lar berilgan aniqlik miqdorida ustma-ust tushsa y_n+1 = y_n^э₊₁ deb hisobni (40) formula bilan davom ettiramiz. Bordi-yu y_n^э₊₁ va y_n^u₊₁ yuqorida nazarda tutilgan shartni qanoatlantirmasa, u holda y_n+1 = y_n^u₊₁ deb jadvalni hozirgina topilgan yo’li qaytadan hisoblanadi va keyingi qadamda y_n^э₊₂ hisoblanib, y_n^u₊₂ bilan taqqoslanadi, bordi-yu yana qo’yilgan aniqlik bajarilmasa, unda hisoblashni h2 qadam bilan ynэ+2 = yn+2 deb davom ettiriladi.
Ko’pincha hisoblash jarayonini osonlashtirish uchun (40), (41) formulalarda ishtirok etuvchi chekli ayirmalarni funktsiyaning qiymatlari orqali ifodasiga almashtiriladi va k ning berilgan qiymatiga mos ravishda quyidagi formulalarga ega bo’lamiz:


x_n+1 nuqtadagi echimni undan farqli va bittadan ko’p bo’lgan nuqtadagi echimning qiymatlari ishtirokida topilganligi uchun Adams metodlari ko’p qadamli metodlar deb ataladi.