Xarakteristik funksiyalar tarifi va asosiy xossalari

Diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi
Diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi deb, uning barcha mumkin boʻlgan qiymatlarini mos ehtimollarga koʻpaytmalari yigʻindisiga aytiladi.
X tasodifiy miqdor faqat qiymatlarni mos ravishda ehtimollar bilan qabul qilsin.Bu holda X tasodifiy miqdorning M (X) matematik kutilishi quyidagi tenglik bilan aniqlanadi:

Eslatma. Taʼrifga koʻra diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi tasodifiy boʻlmagan (oʻzgarmas) miqdordir. Bu tasdiqni eslab qolishni tavsiya qilamiz, chunki keyinchalik bu koʻp marta ishlatiladi. Keyinchalik oʻquvchi uzluksiz tasodifiy miqdorning matematik kutilishi ham oʻzgarmas miqdor ekanligini bilib oladi.
1-misol. X tasodifiy mikdorning taqsimot qonunini
bilgan holda uning matematik kutilishini toping:
X 3 5 2
P 0,1 0,6 0,3.
Yechilishi. Izlanayotgan matematik kutilish tasodifiy miqdorning barcha mumkin boʻlgan qiymatlarini ularning ehtimollariga koʻpaytmalari yigʻingisiga teng:
M(X)=_{ }
2-misol. A hodisaning ehtimoli p ga teng boʻlsa, bitta sinashda A hodisaning roʻy berish sonining matematik kutilishini toping.
Yechilishi. X tasodifiy miqdor A hodisaning bitta sinashda roʻy berish soni faqat ikkita qiymat qabul qilishi mumkin: =1 (A hodisa roʻy berdi) p ehtimol bilan va =0 (A hodisa roʻy bermadi) q=1-p ehtimol bilan izlanayotgan matematik kutilish quyidagiga teng:

Shunday qilib, bitta sinashda hodisa roʻy berish sonining matematik kutilishi shu hodisaning ehtimoliga teng. Bu natijadan quyida foydalaniladi.


Matematik kutilishning ehtimoliy maʼnosi
Faraz qilaylikki, n ta sinash oʻtkazilgan boʻlib, ularda X tasodifiy miqdor marta qiymat, marta qiymat, ..., marta qiymat qabul qilgan, shu bilan birga boʻlsin. U xolda X qabul qilgan barcha qiymatlar yigʻindisi quyidagiga teng:

Tasodifiy miqdor qabul qilgan barcha qiymatlarning arifmetik oʻrtacha qiymati ni topaylik, buning uchun topilgan yigʻindini sinashlarning jami soniga boʻlamiz:

yoki
(1.1.1)


nisbat qiymatning nisbiy chastotasi, nisbat qiymatning , nisbiy chastotasi va h.k. ekanligini inobatga olib, (1.1.1) munosabatni quyidagicha yozib olamiz;
(1.1.2)

Sinashlar soni yetarlicha katta deb faraz kilaylik. U holda nisbiy chastota taqriban hodisaning roʻy berish ehtimoliga teng

(1.1.2) munosabatda nisbiy chastotalarni mos ehtimollar bilan almashtirib quyidagini hosil qilamiz:

Bu taqriban tenglikning o’ng tomoni M(X) dir.
Shunday qilib,
_{X M(X)}
Hosil qilingan natijaning ehtimoliy maʼnosi kuyidagicha: matematik kutilish tasodifiy miqdorning kuzatilayotgan qiymatlarining arifmetik oʻrtacha qiymatiga taqriban teng (sinashlar soni kancha koʻp boʻlsa, aniklik shuncha koʻp).
1-eslatma. Koʻrinib turibdiki, matematik kutulish mumkin boʻlgan qiymatlarning eng kichigidan katta, eng kattasidan esa kichik. Boshkacha kilib aytganda, mumkin boʻlgan qiymatlar son oʻqida matematik kutilishning oʻng va chap tomonlarida joylashgan. Shu maʼnoda matematik kutilish taqsimotning joylanishni xarakterlaydi, shuning uchun uni koʻpincha taqsimot markazi deb ataladi.
Bu termin mehanikadan olingan: agar p, p, ... p massalar abssissalari x, x, ....x boʻlgan nuqtalarda joylashgan boʻlib, boʻlsa, u holda ogʻirlik markazining abssissasi

boʻladi va ekanligini nazarga olib,

tenglikni hosil qilamiz.
Shunday qilib, matematik kutilish abssissalari tasodifiy miqdor qabul qiladigan qiymatlarga, massalari ularning extimollariga teng boʻlgan moddiy nuqtalar ogʻirlik markazining abssissasidir.
2-eslatma. Matematik kutilish terminining kelib chiqishi ehtimollar nazariyasi paydo boʻlishining boshlangʻich davri bilan bogʻliq boʻlib (XVI-XVII a.), u davrda uning tatbiq sohasi qimor oʻyinlar bilan cheklangan edi. Oʻyinchini kutilayotgan yutuqning oʻrtacha qiymati yoki, boshqacha qilib aytganda, yutuqning matematik kutilishi qiziqtirgan.