Xarakteristik funksiyalar tarifi va asosiy xossalari

3-misol. Quyidagi taqsimot qonuni bilan berilgan X tasodifiy miqdorning dispersiyasi topilsin:
1.3 – j a d v a l

	2	3	5
	0,1	0,6	0,3

Yechish.M(X) matematik kutilma quyidagiga teng:
.
tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni quyidagicha:
2.4– j a d v a l

	4	9	25
	0,1	0,6	0,3

matematik kutilma quyidagicha:
.
Izlanayotgan dispersiya
bo’ladi.
Matematik kutilma kabi, dispersiya ham bir nechta xossaga ega.
1.3-xossa. O’zgarmas miqdorning dispersiyasi nolga teng:
.
Isbot. Dispersiyaning ta’rifiga ko’ra
.
ni hosil qilamiz.
Shunday qilib,
.
O’zgarmas miqdor doimo aynan bir xil qiymatni saqlashi va demak, tarqoqlikka ega emasligi inobatga olinsa, bu xossa oydin bo’lib qoladi.
1.4-xossa. O’zgarmas ko’paytuvchini kvadratga oshirib, dispersiya belgisidan tashqariga chiqarish mumkin:
.
1.5-xossa. Ikkita bog’liqmas tasodifiy miqdor yig’indisining dispersiyasi bu miqdorlar dispersiyalarining yig’indisiga teng:
.
1.2-natija. Bir nechta bog’liqmas tasodifiy miqdorlar yig’indisining dispersiyasi bu miqdorlar dispersiyalarining yig’indi-siga teng.
1.3-natija. O’zgarmas miqdor bilan tasodifiy miqdor yig’indisining dispersiyasi tasodifiy miqdorning dispersiyasiga teng:
.
Isbot. S va X miqdorlar o’zaro bog’liqmas, shuning uchun 1.5-xossaga asosan
.
1.3-xossaga asosan . Demak,
.
X va X + S miqdorlar faqat sanoq boshi bilan farq qilishi va demak, o’zlarining matematik kutilmalari atrofida bir xil tarqoqlikka ega ekanligi inobatga olinsa, bu xossa oydin bo’lib qoladi.
1.6-xossa. Ikkita bog’liqmas tasodifiy miqdor ayirmasining dispersiyasi bu miqdorlar dispersiyalarining yig’indisiga teng:
.
Isbot. 1.5-xossaga asosan
.
1.4-xossaga asosan
.
yoki
.
1.7-xossa. Har birida A hodisaning ro’y berish ehtimolligi r o’zgarmas bo’lgan n ta bog’liqmas tajribada bu hodisaning ro’y berishlari sonining dispersiyasi tajribalar sonini bitta tajribada hodisaning ro’y berish va ro’y bermaslik ehtimolliklariga ko’paytirilganiga teng:
.
4-misol. DSI tomonidan har birida hujjat yuritishdagi xatolarni aniqlash ehtimolligi ga teng bo’lgan 10 marta korxonalarning tekshiruvlari o’tkazilmoqda. X tasodifiy miqdor — bu tekshiruvlarda hujjat yuritishdagi xatolarni aniqlashlar sonining dispersiyasi hisoblansin.
Yechish. Shartga ko’ra, , . Hujjat yuritishdagi xatolarni aniqlamaslik ehtimolligi ga teng.
Izlanayotgan dispersiya bo’ladi.
Tasodifiy miqdorning mumkin bo’lgan qiymatlarining uning o’rtacha qiymati atrofida tarqoqligini baholash uchun o’rtacha kvadratik chetlanish ham xizmat qiladi.
X tasodifiy miqdorning o’rtacha kvadratik chetlanishi deb dispersiyadan olingan kvadrat ildizga aytiladi:
. (1.2.3)
5-misol. X tasodifiy miqdor quyidagi taqsimot qonuni bilan berilgan:
1.5 – j a d v a l

	2	3	10
	0,1	0,4	0,5