Xarakteristik funksiyalar tarifi va asosiy xossalari

.

Yechish. Zichlik funktsiyasini topamiz:

.

Matematik kutilmani (1.3.1) formula bo’yicha topamiz:
.
Dispersiyani (1.3.5) formula bo’yicha topamiz:
.

O’rtacha kvadratik chetlanishni (1.3.7) formula bo’yicha topamiz:
.


1.4 Ko’rsatkichli taqsimotning sonly xarakteristikalari
Ko’rsatkichli (eksponentsial) taqsimot deb

(bu yerda λ – o’zgarmas musbat kattalik) differentsial funksiya bilan tasvirlanadigan ehtimollar taqsimotiga aytiladi.
Ko’rsatkichli taqsimot bitta λ parametr bilan aniqlanishini ko’rib turibmiz. Ko’rsatkichli taqsimotning bu xususiyati uning ko’p sondagi parametrlarga bog’liq taqsimotlarga qaraganda ustunligini ko’rsatib turibdi. Odatda parametrlar noma’lum bo’lib, ularni baxolashga (taqribiy qiymatlarini) topishga to’g’ri keladi; ikkita yoki uchta va h.k. parametrlarni baholashdan ko’ra bitta parametrni baxolash osonligi o’z – o’zidan ravshan. Ko’rsatkichli qonun bo’yicha taqsimlangan uzluksiz tasodifiy miqdorga misol bo’lib, eng oddiy oqim ikkita ketma – ket hodisaning ro’y berishi orasidagi vaqt taqsimoti xizmat qilishi mumkin.
Ko’rsatkichli taqsimotning integral funksiyasini topamiz :

Ko’rsatkichli taqsimotni biz differentsial funksiya yordamida aniqladik, uni integral funksiya yordamida ham aniqlash mumkinligi tushunarli.


1-rasm

Differentsial va integral funksiyalarning grafiklari 1-rasmda tasvirlangan.

Misol. Agar ko’rsatkichli taqsimotning parametri λ=8 bo’lsa, uning differentsial va integral funksiyalarini yozing.
Uzluksiz tasodifiy miqdor

ko’rsatkichli qonun bo’yicha taqsimlangan bo’lsin.
Matematik kutilishni topamiz :

Bo’laklab integrallab, quyidagini hosil qilamiz:
. (1.4.1)
Shunday qilib, ko’rsatkichli taqsimotning matematik kutilishi parametrga teskari kattalikka teng .
Dispersiyani topamiz :

Bo’laklab integrallaymiz:

Demak,

O’rtacha kvadratik chetlanishni topamiz, buning uchun dispersiyadan kvadrat ildiz chiqaramiz:
(1.4.2)
(1.4.1) va (1.4.2) ni taqqoslab, quyidagi xulosaga kelamiz:

ya’ni ko’rsatkichli taqsimotning matematik kutilishi va o’rtacha kvadratik chetlanishi o’zaro teng.
Misol. Uzluksiz tasodifiy miqdor
da x<0 da
ko’rsatkichli qonun bo’yicha taqsimlangan. ning matematik kutilishi,o’rtacha kvadratik chetlanishi va dispersiyasini toping.
Yechilishi. Shartga ko’ra . Demak,

1-eslatma. Praktikada ko’rsatkichli taqsimlangan tasodifiy miqdor o’rganilayotgan, shu bilan birga parametr noma’lum bo’lsin. Agar matematik kutilish ham noma’lum bo’lsa, u holda uning bahosi (taqribiy qiymati) topiladi, bu baho sifatida tanlanma o’rtacha qiymat olinadi. U holda parametrning taqribiy qiymati

tenglikdan topiladi.
2-eslatma. Faraz qilaylik, praktikada o’rganilayotgan tasodifiy miqdor ko’rsatkichli taqsimotga ega deyishga asos bor bo’lsin. Bu gipotezani tekshirib ko’rish uchun matematik kutilish va o’rtacha kvadratik chetlanishni, ya’ni tanlama o’rtacha qiymat va tanlama o’ttacha kvadratik chetlanish topiladi. Ko’rsatkichli taqsimotning o’rtacha kvadratik chetlanishi va matematik kutilishi o’zaro teng bo’lgani uchun ularning baholari uncha farq qilmasligi lozim. Agar baholar bir-biriga yaqin bo’lib chiqsa, u holda kuzatish natijalari o’rganilayotgan miqdorning ko’rsatkichli taqsimlanganligi haqidagi gipotezani tasdiqlaydi; agar baholar juda farq qilsa, u holda gipotezani rad qilish lozim.
Ko’rsatkichli taqsimot tatbiqlarda, jumladan, ishonchlilik nazariyasining eng asosiy tushunchalaridan biri ishonchlilik funksiyasidir.