Xarakteristik funksiyalar tarifi va asosiy xossalari

Ikki o‘lchovli diskret tasodifiy miqdor va uning taqsimot qonuni
(X,Y) ikki o’lchovli tasadofiy miqdor taqsimot qonunini
(2.1.2)

Y	^y1	^y2	…	^ym
X
^x1	^p11	^p12	…	^p1m
^x2	^p21	^p22	…	^p2m
…	…	…	…	…
^xn	^pn1	^p21	…	^pnm

(2.1.3)

Bu yerda barcha p_ij ehtimolliklar yig’indisi birga teng, chunki birgalikda bo’lmagan hodisalar to’la gruppani tashkil etadi. (2.1.2) formula ikki o’lchovli diskret tasadofiy miqdorning taqsimot qonuni, (2.1.3) jadval esa birgalikdagi taqsimot jadvali deyiladi.

(X,Y) ikki o’lchovli diskret tasadofiy miqdorning birgalikdagi taqsimot qonuni berilgan bo’lsin, har bir kompanentaning alohida (marginal) taqsimot qonunlarini topish mumkin. Har bir uchun hodisalar birgalikda bo’lmaganligi sababli Demak,
, .
2.1-misol. Ichida 2 ta oq, 1 ta qora, 1 ta ko’k shar bo’lgan idishdan tavakkaliga ikkita shar olinadi. Olingan sharlar ichida qora sharlar soni X tasadofiy miqdor va ko’k rangdagi sharlar soni Y tasadofiy miqdor bo’lsin. (X,Y) ikki o’lchovli tasadofiy miqdorning birgalikdagi taqsimot qonunini tuzing. X va Y tasodifiy miqdorlarning alohida taqsimot qonunlarini toping.
X tasadofiy miqdorqabul qilishi mumkin qiymatlari: 0 va 1: Y tasadofiy miqdorning qiymatlari ham 0 va 1. Mos ehtimolliklarni hisoblaymiz:

;

(X,Y) vaktorning taqsimot jadvali quyidagicha ko’rinishga ega:

Y		0		1
X
0		1			2
		6		6
1		2			1
		6		6

Bu yerdan kelib chiqadi. X va Y tasadofiy miqdorlarning alohida taqsimot qonunlarni quyidagi ko’rinishda bo’ladi.
va

2.2 Xarakteristik funksiyalar va uning xossalari
Taqsimot funksiya bilan bir qatorda u haqidagi hamma ma‘lumotni o’z ichiga oluvchi xarakteristik funksiyalardan ham foydalaniladi. Xarakteristik funksiya yordamida bog’liqsiz tasodifiy miqdorlarning yig’indisining taqsimotini topish, sonli xarakteristikalarni hisoblash bir muncha osonlashadi.
X tasadofiy miqdorning xarakteristik funksiyasi tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi bo’lib, uni yoki orqali belgilaymiz. Shunday qilib, ta’rifga ko’ra:
. (2.2.1)
Agar X tasadofiy miqdor qiymatlarni ehtimolliklar bilan qabul qiluvchi diskter tasadofiy miqdor bo’lsa, u holda uning xarakteristik funksiyasi
(2.2.2)
formula orqali, agar zichlik funksiyasi bo’lgan uzluksiz tasadofiy miqdor bo’lsa, u holda uning xarakteristik funksiyasi
(2.2.3)
formula orqali aniqlanadi.
Xarakteristik funksiyaning xossalari:

1. 
   Barcha uchun quyidagi tengsizlik o’rinli:
   

2. 
   Agar bo’lsa, bu yerda a va b o’zgarmas sonlar, u holda
   

3. 
   Agar X va Y tasodifiy miqdorlar bog’liqsiz bo’lsa, u holda X+Y yig’indining xarakteristik funksiyasi X va Y tasodifiy miqdorlarlarning xarakteristik funksiyalari ko’paytmasiga teng:
   

4. 
   Agar X tasadofiy miqdorning k-tartibli boshlang’ich momenti mavjud bo’lsa, u holda unga mos xarakteristik funksiyaning k-tartibli hosilasi mavjud bo’lib, uning t=0 dagi qiymati
   

Isboti. 1. chunki

2.
3. Bu xossa n ta bog’liqsiz tasodifiy miqdorlar yig’indisi uchun ham o’rinlidir.

1. 
   Hisoblashdan ko'rinadiki Demak t=0 bo’lsa,
   

4-xossadan

(2.2.4)