Xarakteristik funksiyalar tarifi va asosiy xossalari

1.2 Diskret tasodifiy miqdor tarqoqligining sonli xarakteristikalar

X va Y tasodifiy miqdorlarning yig’indisi deb shunday X+Y tasodifiy miqdorga aytiladiki, uning mumkin bo’lgan qiymatlari X ning mumkin bo’lgan har bir qiymati bilan Y ning mumkin bo’lgan har bir qiymati yig’indilariga teng; X+Y ning mumkin bo’lgan qiymatlarining ehtimolliklari bog’liqmas X va Y tasodifiy miqdorlar uchun qo’shiluvchilarning ehtimolliklari ko’paytmasiga teng; bog’liq tasodifiy miqdorlar uchun esa qo’shiluvchilardan birining ehtimolligi bilan ikkinchisining shartli ehtimolligi ko’paytmasiga teng.

1.1-xossa.Ikkita tasodifiy miqdor yig’indisining matematik kutilmasi qo’shiluvchilarning matematik kutilmalari yig’indisiga teng:
.
1.1-natija.Bir nechta tasodifiy miqdorlar yig’indisining matematik kutilmasi qo’shiluvchilarning matematik kutilmalari yig’indisiga teng.
1-misol.Ikkita shashqoltosh tashlanganda tushishi mumkin bo’lgan ochkolar yig’indisining matematik kutilmasi topilsin.
Yechish. X orqali birinchi shashqoltoshda va Y orqali ikkinchi shashqoltoshda tushishi mumkin bo’lgan ochkolar sonini belgilaymiz. Bu miqdorlarning mumkin bo’lgan qiymatlari bir xil bo’lib, 1, 2, 3, 4, 5 va 6 ga teng, chunonchi bu qiymatlarning har birining ehtimolligi 1/6 ga teng.
Birinchi shashqoltoshda tushishi mumkin bo’lgan ochkolar sonining matematik kutilmasini topamiz:
.
ekanligi ham ravshan.
Izlanayotgan matematik kutilma quyidagiga teng:
.
1.2-xossa. Har birida A hodisaning ro’y berish ehtimolligi r o’zgarmas bo’lgan n ta bog’liqmas tajribada bu hodisaning ro’y berishlari sonining matematik kutilmasi tajribalar sonini bitta sinovda hodisaning ro’y berish ehtimolligiga ko’paytirilganiga teng:
.
2-misol. Bitta korxona tekshirilganda hujjat yuritishdagi xatolarni aniqlash ehtimolligi ga teng. Agar 10 marta korxonalar tekshirilgan bo’lsa, xatolarni aniqlashlar jami sonining matematik kutilmasi topilsin.
Yechish. Har bir tekshirishda xatolarni aniqlash boshqa tekshirishlar natijasiga bog’liq emas, shuning uchun qaralayotgan hodisalar bog’liqmasdir, binobarin, izlanayotgan matematik kutilma quyidagicha:
(marta xatolarni aniqlash).
Ayrim tasodifiy miqdorlar bir xil matematik kutilmalarga ega bo’lsalarda, mumkin bo’lgan qiymatlari har xil bo’ladi. Masalan, quyidagi taqsimot qonunlari bilan berilgan X va Y diskret tasodifiy miqdorlarni ko’rib chiqaylik:


1.1 – ж а д в а

	–0,01	0,01
	0,5	0,5

va


1.2– ж а д в а л

	–100	100
	0,5	0,5

Bu miqdorlarning matematik kutilmalarini topaylik:

;
.
Bu erda ikkala miqdorning matematik kutilmalari bir xil, mumkin bo’lgan qiymatlari esa har xil, bunda X ning mumkin bo’lgan qiymatlari uning matematik kutilmasiga yaqin, Y ning mumkin bo’lgan qiymatlari esa o’zining matematik kutilmasidan ancha uzoq. Shunday qilib, tasodifiy miqdorning faqat matematik kutilmasini bilgan holda uning qanday qiymatlar qabul qi-lishi mumkinligi haqida ham, bu qiymatlar matematik kutilma atrofida qanday sochilganligi haqida ham biror mulohaza yuritish mumkin emas.
Boshqacha qilib aytganda, matematik kutilma tasodifiy miqdorni to’liq xarakteristikalarilamaydi. Shu sababli matematik kutilma bilan bir qatorda boshqa sonli xarakteristikalarilar ham qaraladi.
X — tasodifiy miqdor va M(X) uning matematik kutilmasi bo’lsin. Tasodifiy miqdorning chetlanishi deb ayirmaga aytiladi.
Amaliyotda ko’pincha tasodifiy miqdorning mumkin bo’lgan qiymatlarining o’rtacha qiymati atrofida tarqoqligini baholash talab qilinadi. Masalan, artilleriyada otilgan snaryadlar urib tushirilishi lozim bo’lgan nishon atrofiga qanchalik yaqin tushishini bilish muhimdir.
Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi (tarqoqligi) deb tasodifiy miqdorning o’zining matematik kutilmasidan chetlanishi kvadratining matematik kutilmasiga aytiladi:
. (1.2.1)
Dispersiyani hisoblash uchun ko’pincha quyidagi formuladan foydalanish qulay bo’ladi:
. (1.2.2)