Xətti fəzalar: Tutaq ki, həqiqi və yaxud komleks ədədlər meydanıdır. Tərif 1

Lemma 1.1. alt fəzanın koölçüsü 1-ə bərabərdir: .
İsbatı. götürək, yəni . Aydındır ki, belə element var, yoxsa eyniliklə sıfr olardı. Ümumiliyi pozmadan fərz etmək olar ki, , əks halda nöqtəsinin əvəzinə nöqtəsinə baxarıq. Hər bir element üçün nöqtəsinə baxaq. Onda
,
yəni . Deməli, , . Buradan görünür ki, fəzası həqiqətən 1 ölçülüdür, yəni -in koölçüsü 1-ə bərabərdir. ■
Lemma 1.2. Koölçüsü 1-ə bərabər olan hər bir alt fəza üçün elə xətti funksionalı tapmaq olar ki, olsun.
İsbatı. Şərtə görə elə vardır ki, elementini , şəklində yazmaq olar. Belə ayrılış yeganədir. Dogrudan da, tutaq ki, , ayrılışı da mövcuddur. Onda . Buradan olduqda, olar, bu isə olmasına ziddir. Deməli, və . funksionalını kimi təyin edək. Aydındır ki, xətti funksionaldır və . ■
Tərif 5. Tutaq ki, koölçüsü 1-ə bərabər olan hər hansı alt fəzadır. Onda fəzanın -ə nəzərən hər bir qonşuluq sinfi alt fəzasına paralel olan hipermüstəvi adlanır. Xüsusi halda, alt fəzanın özü nöqtəsini özündə saxlayan, yəni koordinat başlanğıcdan keçən hipermüstəvi adlanır. Başqa sözlə hipermüstəvidirsə, onda o -dən hər hansı elementi qədər paralel köçürmə ilə alınır:
.
Teorem 3. Aşağıdakı hökmlər doğrudur:
1) Əgər alt fəzası koölçüsü 1-ə bərabər olan hər hansı alt fəzaya paralel hipermüstəvi və olarsa, onda elə yeganə xətti funksionalı vardır ki, .
2) xətti funksional üçün çoxluğu -ə paralel hipermüstəvidir.
İsbatı. 1) şərtini isbat edək. Tutaq ki, , . Onda elementi üçün , . funksionalını kimi təyin edək. Aydındır ki, olduqda olar. Tutaq ki, digər xətti funksionalı vardır ki, , . Aydındır ki, üçün . Onda element üçün , və
, yəni .
İndi 2) şərtini isbat edək. nöqtəsini qeyd edək. Onda elementini , şəklində göstərmək olar. Deməli, çoxluğu -ə paralel hipermüstəvidir. ■
Beləliklə, -də təyin olunan bütün trivial olmayan xətti funksionallar ilə -də koordinat başlanğıcdan keçməyən bütün hipermüstəvilər arasında qarşılıqlı birqiymətli uyğunluq qurulur.
Biortoqonal sistemlər.
Tərif 6. Tutaq ki, , ,..., xətti fəzasında xətti asılı olmayan xətti funksionallar sistemidir və , ,..., elə vektorlar sistemidir ki,
, .
Onda sisteminə sisteminin qoşma sistemi deyilir.