Xi bob. Qatorlar nazariyasi elementlari

Dalamber alomati. Yuqorida ko‘rilgan taqqoslash alomatlaridan foydalanish uchun majoranta qatorni topishga to‘g‘ri keladi va bu masala har doim ham osonlik bilan yechilmaydi. Shu sababli ko‘p hollarda berilgan sonli qatorning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanligini uning u_n (n=1,2,3, ∙∙∙) hadlari orqali aniqlashga imkon beradigan alomatlardan foydalanishga to‘g‘ri keladi. Bunday alomatlardan biri farang matematigi J.Dalamber (1717-1783y.) tomonidan topilgan.

3-TEOREMA (Dalambеr alomati): Berilgan musbat hadli sonli qator uchun
(3)
limit mavjud bo‘lsin. Bu holda d<1 bo‘lganda qator yaqinlashuvchi, d>1 bo‘lganda esa uzoqlashuvchi bo‘ladi.
Isbot: Dastlab d<1 holni ko‘ramiz. Teoremadagi (3) shart va sonli ketma-ketlik limiti ta’rifiga asosan har qanday ε>0 soni uchun (biz q=ε+d<1 deb olamiz) shunday N soni topiladiki, barcha n≥N uchun
(4)
tengsizliklar o‘rinli bo‘ladi. Oxirgi tengsizlikdan foydalanib, quyidagi tengsizliklarga ega bo‘lamiz:

.
Bu yerdan ko‘rinadiki sonli qator uchun

sonli qator majoranta bo‘ladi. Bu majoranta qatorda q<1 bo‘lgani uchun u yaqinlashuvchi bo‘ladi. Unda, taqqoslash alomatiga ko‘ra, qator yaqinlashuvchi ekanligini ko‘ramiz. Bu qatorga chekli sondagi u₁, u₂, ∙ ∙ ∙ , u_N–1 hadlarni qo‘shish orqali berilgan sonli qator yaqinlashuvchi ekanligini ko‘ramiz.
Endi d>1 holni qaraymiz. Bu holda ε>0 sonini shunday tanlaymizki, d– ε>1 bo‘lsin. Bu holda, yuqoridagi (4) tengsizlikka asosan, barcha n≥N uchun

natijani olamiz. Bu yerdan ko‘rinadiki, barcha n≥N uchun qator hadlari u_n o‘suvchi va shu sababli bo‘ladi. Demak, sonli qator uzoqlashuvchi, chunki uning uchun qator yaqinlashuvining zaruriy sharti bajarilmaydi.
Izohlar: 1. Agar d=1 bo‘lsa, qator yaqinlashuvchi ham, uzoqlashuvchi ham bo‘lishi mumkin va shu sababli bu holda boshqa alomatlardan foydalanishga to‘g‘ri keladi.
2. Agar bo‘lsa , qator uzoqlashuvchi bo‘ladi .
Misol sifatida
1) , 2) , 3) , 4)
musbat hadli sonli qatorlarni Dalamber alomati yordamida tekshiramiz.
1) .
Demak, bu qator uchun 1/3= d <1 va shu sababli qator yaqinlashuvchidir.
2) .
Demak, bu qator uzoqlashuvchi ekan.
3) .
Bu yerda d=1 bo‘lgani uchun Dalamber alomati orqali bu qator yaqinlashuvi yoki uzoqlashuvi haqida xulosa chiqarib bo‘lmaydi. Ammo bu garmonik qator bo‘lgani uchun u uzoqlashuvchi bo‘ladi.
4) .
Bu yerda ham d=1 bo‘lgani uchun Dalamber alomati yordamida bu qator haqida xulosa chiqarib bo‘lmaydi. Ammo oldin (§1, (3) misolga qarang) bu qator yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi S=1 ekanligi ko‘rsatilgan edi.

3.