Xi bob. Qatorlar nazariyasi elementlari

Ishorasi o‘zgaruvchi qatorlar. Endi ishorasi navbatlanuvchi sonli qatorlarni xususiy hol sifatida o‘z ichiga oluvchi ishorasi o‘zgaruvchi qatorlarni qaraymiz.

2-TA’RIF: Agar sonli qatorning hadlari orasida musbat qiymatlilari ham, manfiy qiymatlilari ham bo‘lsa, u ishorasi o‘zgaruvchi qator dеb ataladi.
Ishorasi o‘zgaruvchi sonli qatorlarni
(7)
ko‘rinishda yozsak, unda u_n (n=1,2,3, ∙ ∙ ∙ ) ishoralari ixtiyoriy bo‘lishini yana bir marta ta’kidlab o‘tamiz.
Masalan,
,

ishorasi o‘zgaruvchi sonli qatorlar bo‘ladi.
Ishorasi o‘zgaruvchi (7) sonli qator yaqinlashuvini tekshirish uchun uning hadlarini absolut qiymatlaridan tuzilgan
(8)
musbat hadli sonli qatorni qaraymiz. Bu holda (7) sonli qator yaqinlashuvining yetarli sharti ushbu teorema orqali ifodalanadi.

2-TEOREMA: Agar (8) qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, unda (7) qator ham yaqinlashuvchi bo‘ladi.

Isbot: S_n va ||S_n|| orqali mos ravishda (7) va (8) sonli qatorlarning n-xususiy yig‘indilarini belgilaymiz. Bundan tashqari va orqali mos ravishda S_n xususiy yig‘indiga kiruvchi musbat ishorali hadlar va manfiy ishorali hadlarning absolut qiymatlari yig‘indilarini belgilaymiz. va (n=1,2,3, ∙ ∙ ∙ ) musbat qiymatli va monoton o‘suvchi sonli ketma-ketliklarni tashkil etadi. Teorema shartiga ko‘ra mavjud va chekli. Bu yerdan, tenglikka asosan, monoton o‘suvchi va (n=1,2,3, ∙ ∙ ∙ ) ketma-ketliklar yuqoridan A musbat son bilan chegaralangan ekanligi kelib chiqadi. Bu xulosadan o‘z navbatida limitlar mavjud va chekli ekanligini ko‘ramiz. Va nihoyat, ekanligidan hamda limit xossalaridan foydalanib,

natijani olamiz. Bundan, ta’rifga asosan, ishorasi o‘zgaruvchi (7) sonli qator yaqinlashuvchi ekanligiga ishonch hosil etamiz. Teorema isboti yakunlandi.
Misol sifatida
(9)
ishorasi o‘zgaruvchi sonli qatorning yaqinlashuvini tekshiramiz. Buning uchun uning hadlari absolut qiymatlaridan tuzilgan
(10)
sonli qatorni qaraymiz. Bu qatorda |cosnα|≤1ekanligidan uning uchun

majoranta qator bo‘ladi. Bu qator parametri p=3>1 bo‘lgan umumlashgan garmonik qator sifatida yaqinlashuvchi. Demak (10) qator yaqinlashuvchi va shu sababli (9) qator ham yaqinlashuvchi bo‘ladi.

3.