Xi bob. Qatorlar nazariyasi elementlari

Darajali qatorlar. Endi (1) funksional qatorning xususiy holini qaraymiz.

3-TA’RIF: Ushbu ko‘rinishdagi funksional qator
(6)
darajali qator dеb ataladi. Bu qatorda а_n ( n=0,1,2,3,∙ ∙ ∙) o‘zgarmas sonlar bo‘lib, ular darajali qatorning koeffitsiyеntlari dеyiladi.
Har qanday darajali qator uchun x=0 uning yaqinlashish nuqtasi bo‘ladi, ya’ni uning yaqinlashish sohasi hech qachon bo‘sh to‘plam bo‘lmaydi. (6) darajali qatorning yaqinlashish sohasi atigi 27 yil umr ko‘rgan, ammo bu qisqa davrda matematika rivojlanishiga juda katta hissa qo‘shgan norvegiyalik matematik N.Abelning (1802–1829 y.) ushbu teoremasi yordamida topiladi.
1-TEOREMA (Abel teoremasi): а) Agar (6) darajali qator biror x₀≠0 nuqtada yaqinlashuvchi bo‘lsa, unda bu qator x o‘zgaruvchining |x|<|x₀| shartni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida absolut yaqinlashuvchi bo‘ladi ;
b) agar (6) darajali qator biror x₀ nuqtada uzoqlashuvchi bo‘lsa, unda bu qator x o‘zgaruvchining | x | > | x₀ | tеngsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida uzoqlashuvchi bo‘ladi.
Isbot: a) Teorema shartiga asosan

sonli qator yaqinlashuvchi shu sababli, qator yaqinlashuvining zaruriy shartiga ko‘ra, bo‘ladi. Bu holda shunday M>0 soni mavjudki, (6) qatorning barcha hadlari uchun (*) tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.
Qaralayotgan (6) darajali qatorni quyidagi ko‘rinishda yozamiz:
. (7)
Bu qator hadlarining absolut qiymatlaridan tuzilgan quyidagi
(8)
musbat hadli sonli qatorni qaraymiz. Yuqoridagi (*) tengsizlikka asosan bu qator uchun
(9)
majoranta qator bo‘ladi. Agar |x|<|x₀| shart bajarilsa, unda (9) qator hadlari maxraji q=|x/x₀|<1 bo‘lgan geometrik progressiyani tashkil etadi va shu sababli yaqinlashuvchi bo‘ladi. Bu yerdan, |x|<|x₀| shartda , (8) qator yaqinlashuvchi ekanligi kelib chiqadi. Unda, taqqoslash alomatiga ko‘ra, (7) yoki (6) darajali qator |x|<|x₀| sohada absolut yaqinlashuvchi bo‘ladi.
b) (6) darajali qator x=x₀ nuqtada uzoqlashuvchi va |x₁|>|x₀| bo‘lsin. Biz (6) qator x=x₁ nuqtada yaqinlashuvchi deb faraz qilamiz. Unda, teoremaning a) qismiga asosan, bu qator x o‘zgaruvchining |x|<|x₁| shartni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida, jumladan x=x₀ nuqtada yaqinlashuvchi bo‘ladi. Bu esa teorema shartiga ziddir. Demak, farazimiz noto‘g‘ri va |x|>|x₀| shartda qator uzoqlashuvchi bo‘ladi. Teorema to‘liq isbotlandi.
Abel teoremasidan foydalanib (6) darajali qatorning yaqinlashish sohasi ko‘rinishi haqida quyidagi xulosaga kelamiz. Agar x₀ (6) qatorning yaqinlashish nuqtasi bo‘lsa, unda (–|x₀|, |x₀|) oraliqdagi barcha nuqtalarda qator absolut yaqinlashuvchi bo‘ladi. Agar biror x₁ nuqtada (6) qator uzoqlashuvchi bo‘lsa, unda [–|x₁|, |x₁|] kesmadan tashqaridagi barcha nuqtalarda qator uzoqlashuvchi bo‘ladi. Bundan kelib chiqadiki, shunday R≥0 soni mavjudki, |x|<R holda (6) qator absolut yaqinlashuvchi, |x|>R bo‘lganda esa – uzoqlashuvchi bo‘ladi. Shunday qilib, quyidagi teorema o‘rinli ekanligi isbotlandi:
2-TEOREMA: Har qanday (6) darajali qator (–R, R) , R≥0, ko‘rinishdagi koordinata boshiga nisbatan simmetrik biror oraliqda yaqinlashuvchi bo‘ladi .
3-TA’RIF: (–R, R) darajali qatorning yaqinlashish oralig‘i , R≥0 esa–yaqinlashish radiusi dеb ataladi.
Izoh: Yaqinlashish oralig‘ining chegaralarida, ya’ni x=±R nuqtalarda (6) darajali qator yaqinlashuvchi ham, uzoqlashuvchi ham bo‘lishi mumkin.
Ba’zi darajali qatorlarning (oldin ko‘rilgan (d) qatorga qarang) yaqinlashish sohasi faqat bitta x=0 nuqtadan iborat (R=0), ba’zilari esa barcha nuqtalarda (R=∞) yaqinlashuvchi bo‘lishi mumkin.

3.