Xi bob. Qatorlar nazariyasi elementlari
Absolut va shartli yaqinlashuvchi qatorlar
Yüklə 1,16 Mb.
|
- Bu səhifədəki naviqasiya:
- 3-TA’RIF
- Tayanch iboralar
- Takrorlash uchun savollar
- Testlardan namunalar
- Mustaqil ish topshiriqlari
|
Absolut va shartli yaqinlashuvchi qatorlar. Yuqorida ko‘rib o‘tilgan 2-teoremadagi shart ishorasi o‘zgaruvchi (7) sonli qator yaqinlashuvi uchun yetarli, ammo zaruriy bo‘lmaydi. Demak (7) qator yaqinlashuvchi ekanligidan (8) qatorning yaqinlashuvchiligi har doim ham kelib chiqmaydi. Masalan,
(11) ishorasi navbatlanuvchi (demak ishorasi o‘zgaruvchi ) sonli qator Leybnits alomatiga ko‘ra yaqinlashuvchi. Ammo uning hadlarining absolut qiymatlaridan tuzilgan sonli qator parametri p=0.5<1 bo‘lgan umumlashgan garmonik qator sifatida uzoqlashuvchi bo‘ladi. 3-TA’RIF: Agar (8) qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, unda ishorasi o‘zgaruvchi (7) sonli qator absolut yaqinlashuvchi dеyiladi. Agar (8) qator uzoqlashuvchi bo‘lib, ishorasi o‘zgaruvchi (7) sonli qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, unda (7) shartli yaqinlashuvchi qator dеb ataladi. Masalan, (9) qator absolut , (11) qator esa shartli yaqinlashuvchidir. Absolut yaqinlashuvchi sonli qatorlar chekli yig‘indilarga o‘xshash xususiyatlarga ega bo‘ladi. Masalan, ularni o‘zaro qo‘shganda, ayirganda yoki ko‘paytirganda yana absolut yaqinlashuvchi sonli qatorlar hosil bo‘ladi. Bundan tashqari ular uchun quyidagi teorema ham o‘rinlidir. 3-TEOREMA: qator absolut yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi S bo‘lsin. Unda bu qator hadlarining o‘rinlarini ixtiyoriy ravishda almashtirishdan hosil bo‘lgan sonli qator ham absolut yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi ham S bo‘ladi. Bu teoremani isbotsiz qabul etamiz. Ammo shartli yaqinlashuvchi sonli qatorlar uchun yuqoridagi teorema tasdig‘i o‘rinli bo‘lmaydi. Bu mashhur olmon matematigi G.Riman (1826–1866 y.) tomonidan isbotlangan ushbu teoremadan kelib chiqadi. 4-TEOREMA: qator shartli yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi S bo‘lsin. Unda bu qator hadlarining o‘rinlarini shunday almashtirish mumkinki, natijada hosil bo‘lgan sonli qator yig‘indisi oldindan berilgan ixtiyoriy S0≠S soniga teng bo‘ladi. Bundan tashqari sonli qator uzoqlashuvchi bo‘lishiga ham erishish mumkin. Bu teoremaning isboti ancha murakkab bo‘lgani uchun buni ham isbotsiz qabul etib, undagi tasdiqni ushbu misol orqali ko‘rsatish bilan chegaralanamiz. Bizga ma’lumki, oldin ko‘rib o‘tilgan (2) sonli qator shartli yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi S=ln2. Bu qator hadlarining joylarini shunday almashtiramizki, bitta musbat haddan keyin ikkita manfiy had kelsin: Berilgan va hosil etilgan sonli qatorlarning n-xususiy yig‘indilarini mos ravishda Sn va kabi belgilaymiz. Bu holda quyidagi tenglikka ega bo‘lamiz: . Bu yerdan quyidagi natijalar kelib chiqadi: . Demak, , ya’ni hosil qilingan qator yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi berilgan qator yig‘indisining yarmiga teng. XULOSA Oldin ko‘rib o‘tilgan taqqoslash,Dalamber, Koshi va integral alomatlari faqat musbat hadli sonli qatorlar xarakterini aniqlashga imkon beradi. Endi bu masalani ixtiyoriy hadli sonli qatorlar uchun qaraymiz. Bunday qatorlarning xususiy holi bo‘lmish ishorasi navbatlanuvchi sonli qatorlarning yaqinlashuvi Leybnits alomati yordamida aniqlanadi. Bu alomat qator yig‘indisini baholash imkonini ham beradi. Umumiy holda berilgan ishorasi o‘zgaruvchi sonli qatorni tekshirish uchun uning hadlarining absolut qiymatlaridan tuzilgan musbat hadli qatordan foydalaniladi. Agar bu qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, unda ishorasi o‘zgaruvchi sonli qator ham yaqinlashuvchi bo‘ladi va u absolut yaqinlashuvchi deyiladi. Ammo teskari tasdiq har doim ham o‘rinli bo‘lmaydi. Berilgan ishorasi o‘zgaruvchi qator yaqinlashuvchi bo‘lib, uning hadlarining absolut qiymatlaridan tuzilgan qator uzoqlashuvchi bo‘lishi mumkin. Bu holda berilgan qator shartli yaqinlashuvchi deb ataladi. Absolut yaqinlashuvchi sonli qatorda uning hadlari o‘rinlarini ixtiyoriy ravishda o‘zgartirganimizda, uning yig‘indisi o‘zgarmay qoladi. Bu xossa shartli yaqinlashuvchi qatorlar uchun bajarilmasligi Riman teoremasida ko‘rsatiladi. Tayanch iboralar
Takrorlash uchun savollar Qachon sonli qator ishorasi navbatlanuvchi deb ataladi ? Ishorasi navbatlanuvchi sonli qatorlarga misollar keltiring. Leybnits alomatining mohiyati nimadan iborat ? Leybnits alomatining shartlari nimadan iborat ? Ishorasi o‘zgaruvchi sonli qatorlar qanday ta’riflanadi ? Ishorasi o‘zgaruvchi sonli qatorlarga misollar keltiring . Ishorasi o‘zgaruvchi qatorlar yaqinlashuvining yetarli sharti qanday ifodalanadi ? Qachon sonli qator absolut yaqinlashuvchi deyiladi ? Absolut yaqinlashuvchi sonli qatorga misollar keltiring . Absolut yaqinlashuvchi qator qanday xossaga ega ? Shartli yaqinlashuvchi sonli qator qanday ta’riflanadi ? Shartli yaqinlashuvchi sonli qatorlarga qanday misollar bilasiz ? Riman teoremasida nima tasdiqlanadi ? Testlardan namunalar Qaysi shartda sonli qator ishorasi navbatlanuvchi bo‘ladi ? A) un+ un+1<0 (n=1,2,3, ∙∙∙) ; B) un– un+1<0 (n=1,2,3, ∙∙∙) ; C) un∙ un+1>0 (n=1,2,3, ∙∙∙) ; D) un∙ un+1<0 (n=1,2,3, ∙∙∙) ; E) to‘g‘ri javob keltirilmagan . Quyidagi qatorlarning qaysi biri ishorasi navbatlanuvchi bo‘ladi ? A) ; B) ; C) ; D) ; E) keltirilgan barcha qatorlar ishorasi navbatlanuvchidir . Leybnits alomatida ishorasi navbatlanuvchi sonli qator yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun uning hadlariga quyidagi shartlardan qaysi biri qo‘yiladi ? A) ; B) ; C) ; D) ; E) . Leybnits alomatida ishorasi navbatlanuvchi sonli qator yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun uning hadlariga quyidagi shartlardan qaysi biri qo‘yiladi ? A) ; B) ; C) ; D) ; E) . Agar Leybnits alomatiga asosan ishorasi navbatlanuvchi sonli qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, uning yig‘indisi S uchun quyidagi tasdiqlardan qaysi biri o‘rinli bo‘ladi ? A) S=u1 ; B) S>u1 ; C) S≥u1 ; D) S≤u1 ; E) S≠u1 . Quyidagi ishorasi navbatlanuvchi sonli qatorlardan qaysi biri yaqinlashuvchi emas ? A) ; B) ; C) ; D) ; E) keltirilgan barcha qatorlar yaqinlashuvchi . Quyidagilardan qaysi biri ishorasi o‘zgaruvchi qator bo‘lmaydi ? A) ; B) ; C) ; D) ; E) keltirilgan barcha qatorlar ishorasi o‘zgaruvchi bo‘ladi . Ishorasi o‘zgaruvchi (1) sonli qator bo‘yicha musbat hadli (2) qator tuzilgan. Qachon (1) qator shartli yaqinlashuvchi deb ataladi ? Agar (1) qator yaqinlashuvchi bo‘lsa ; Agar (2) qator yaqinlashuvchi bo‘lsa ; Agar (1) qator yaqinlashuvchi, (2) qator esa uzoqlashuvchi bo‘lsa ; Agar (1) va (2) qatorlarning ikkalasi ham yaqinlashuvchi bo‘lsa ; Agar (1) va (2) qatorlarning birortasi yaqinlashuvchi bo‘lsa . Quyidagi qatorlardan qaysi biri absolut yaqinlashuvchi bo‘ladi ? A) ; B) ; C) ; D) ; E) keltirilgan barcha qatorlar absolut yaqinlashuvchi bo‘ladi . Mustaqil ish topshiriqlari Quyidagi ishorasi navbatlanuvchi qator yaqinlashuvini Leybnits alomati yordamida tekshiring. Qator yaqinlashuvchi bo‘lsa uning yig‘indisini baholang. . Ushbu ishorasi navbatlanuvchi sonli qatorni absolut yoki shartli yaqinlashuvchiligini aniqlang: . Yüklə 1,16 Mb. Dostları ilə paylaş:
|