Xi bob. Qatorlar nazariyasi elementlari

f(x)=ln(1+x). (19) qatorda x o‘zgaruvchini t bilan almashtirib va bu

qatorni (0, x) oraliqda (|x|<1) hadlab integrallab, ushbu Makloren qatorini hosil etamiz:
. (21)
(21) darajali qator sifatida x=1 nuqtada ham yaqinlashuvchi bo‘lishi oldin (§4, (16) ga qarang) ko‘rsatilgan edi. Endi x=1 nuqtada bu qatorning yig‘indisi S=ln2 bo‘lishini, ya’ni
(22)
tenglik o‘rinli ekanligini ko‘rsatamiz. Buning uchun

ayniyatni [0, 1] kesma bo‘yicha hadlab integrallaymiz:

.
Bu yerdan (22) tenglik quyidagicha keltirib chiqariladi:
.
Demak, (21) Makloren qatorining yaqinlashish sohasi (–1,1] yarim oraliqdan iboratdir.

• 
  f(x)=arctgx . (19) darajali qatorda x o‘zgaruvchini t² bilan almashtirib va bu qatorni (0, x) oraliqda (|x|<1) hadlab integrallab,
  

(23)
Makloren qatoriga ega bo‘lamiz. Bu darajali qator x=±1 chegaraviy nuqtalarda Leybnits shartlarini qanoatlantiruvchi va shu sababli yaqinlashuvchi bo‘lgan ishorasi navbatlanuvchi sonli qatorga aylanadi. Yuqoridagiga o‘xshab, x=±1 bo‘lganda uning yig‘indisi S=arctg(±1)= ±π/4 bo‘lishini ko‘rsatish mumkin. Shu sababli (23) Makloren qatorining yaqinlashish sohasi [–1, 1] kesmadan iboratdir.

• 
  f(x)=arcsinx . (20) darajali qatorda x o‘zgaruvchini –t² bilan almashtirib va hosil bo‘lgan qatorni (0, x) oraliqda (|x|<1) hadlab integrallab, berilgan funksiyaning ushbu
  

(24)
Makloren qatorini hosil qilamiz. Bu qator x=±1 nuqtalarda ham yaqinlashuvchi va yig‘indisi arcsin(±1)= ±π/2 bo‘lishini ko‘rsatish mumkin. Demak, (24) Makloren qatorining yaqinlashish sohasi [–1, 1] kesmadan iboratdir.
Bu qatorlardan foydalanib boshqa funksiyalarning Makloren qatorlarini topish mumkin. Misol sifatida f(x)=cos²x funksiyaning Makloren qatorini aniqlaymiz. Buning uchun uni
(25)
ko‘rinishda yozamiz. Endi y=cosx funksiyaning (13) Makloren qatorida x o‘zgaruvchini 2x bilan almashtirib, y=cos2x funksiya Makloren qatorini hosil etamiz:
.
Bu natijani (25) tenglikka qo‘yib, berilgan funksiyaning Makloren qatoriga ega bo‘lamiz:



XULOSA
Yig‘indisi berilgan ixtiyoriy marta differensiallanuvchi funksiyaga teng bo‘ladigan darajali qatorlarning mavjudligi va ularni topish masalasi Teylor va uning xususiy holi bo‘lgan Makloren qatorlari yordamida o‘rganiladi. Bunda berilgan funksiya bo‘yicha tuzilgan darajali qatorning yaqinlashish oralig‘ini topish va bu qator yig‘indisini berilgan funksiyaga teng bo‘lish shartlarini aniqlash masalalari qaraladi. Bunda Makloren qatorining Lagranj ko‘rinishidagi qoldiq hadi muhim ahamiyatga ega bo‘ladi. Asosiy elementar va ayrim elementar funksiyalarning Makloren qatorlari topilib, ularning yaqinlashish sohasi aniqlanadi.
Tayanch iboralar

* Teylor qatori * Qoldiq had * Teylor qatorining yaqinlashishi * Qoldiq hadning Lagranj ko‘rinishi * Makloren qatori * Binomial qator

Takrorlash uchun savollar

1. 
   Funksiyaning Teylor qatori qanday aniqlanadi?
   
2. 
   Teylor qatorining yaqinlashishi to‘g‘risida nima deyish mumkin?
   
3. 
   Teylor qatorining qoldiq hadi deb nimaga aytiladi?
   
4. 
   Teylor qatorining yaqinlashishi uchun zaruriy va yetarli bo‘lgan shart nimadan iborat?
   
5. 
   Teylor qatorining qoldiq hadi Lagranj ko‘rinishida qanday ifodalanadi?
   

6. 
   Teylor qatori yaqinlashishining yetarli sharti nimadan iborat?
   
7. 
   Makloren qatori qanday ta’riflanadi?
   
8. 
   sinx va cosx funksiyalarning Makloren qatori qanday ko‘rinishda bo‘ladi?
   
9. 
   e^x, giperbolik sinus va cosinus funksiyalarning Makloren qatorini yozing.
   
10. 
    Binomial qator deb nimaga aytiladi?
    
11. 
    ln(1+x) funksiyaning Makloren qatori qanday topiladi?
    
12. 
    arcsinx va arctgx funksiyalarning Makloren qatori qanday ifodalanadi?
    

Testlardan namunalar

1. 
   Teylor qatori qayerda to‘g‘ri ifodalangan?
   

A) ;
B) ;
C) ;
D) ;
E) .

2. 
   Berilgan f(x) funksiyaning x–x₀ darajalari bo‘yicha Teylor qatorining yaqinlashuvi haqidagi quyidagi tasdiqlardan qaysi biri o‘rinli bo‘la oladi?
   

A) qator faqat x=x₀ nuqtada yaqinlashuvchi;
B) qator biror oraliqda yaqinlashuvchi, ammo uning yig‘indisi f(x) funksiyaga teng emas;
C) qator biror oraliqda yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi f(x) funksiyaga teng;
D) keltirilgan barcha tasdiqlar o‘rinli bo‘la oladi;
E) keltirilgan barcha tasdiqlar o‘rinli bo‘la olmaydi.

3. 
   Agar R_n(x) berilgan f(x) funksiya Teylor qatorining qoldiq hadi bo‘lsa, bu qatorning yig‘indisi (a,b) oraliqda f(x) funksiyaga teng bo‘lishi uchun qaysi shart zarur va yetarli?
   

A) (a,b) oraliqda R_n(x) yuqoridan chegaralangan;
B) (a,b) oraliqda R_n(x) quyidan chegaralangan;
C) (a,b) oraliqda ;
D) (a,b) oraliqda R_n(x) monoton o‘suvchi;
E) (a,b) oraliqda R_n(x) monoton kamayuvchi.

4. 
   Berilgan f(x) funksiyaning x–x₀ darajalari bo‘yicha Teylor qatorining R_n(x) qoldiq hadi Lagranj ko‘rinishida qanday ifodalanadi?
   

A) ;
B) ;
C) ;
D) ; E) .

5. 
   Berilgan f(x) funksiyaning x–x₀ darajalari bo‘yicha Teylor qatorining yig‘indisi (a,b) oraliqda shu funksiyaning o‘ziga teng bo‘lishi uchun qanday shart yetarli bo‘ladi?
   

A) (a,b) oraliqda biror chekli M soni uchun |f(x)|≤M;
B) (a,b) oraliqda biror chekli M soni uchun |f(x)|≥M;
C) (a,b) oraliqda biror chekli M soni va barcha n=0,1,2, ∙∙∙ uchun |f ⁽ⁿ⁾(x)|≤M;
D) (a,b) oraliqda biror chekli M soni va barcha n=0,1,2, ∙∙∙ uchun |f ⁽ⁿ⁾(x)|≥M;
E) to‘g‘ri javob keltirilmagan.

6. 
   Berilgan f(x) funksiyaning Makloren qatori qayerda to‘g‘ri ko‘rsatilgan?
   

A) ;
B) ;
C) ;
D) ;
E) .

7. 
   darajali qator yig‘indisi qayerda to‘g‘ri ko‘rsatilgan?
   

A) cos2x; B) ; C) ; D) ; E) .


Mustaqil ish topshiriqlari

1. 
   Ushbu y=f(x) funksiyalarning Makloren qatorlarini toping:
   

a) f(x)=sinnx+cosnx ; b) f(x)=ln(n+x) ; c) f(x)=(1+nx)^–1 .

2. 
   Quyidagi Makloren qatorining yig‘indisini ifodalovchi y=f(x) funksiyani toping:
   

.