Xi bob. Qatorlar nazariyasi elementlari

§5. TЕYLOR VA MAKLORЕN QATORLARI

• 
  Tеylor va Maklorеn qatorlari.
  
• 
  Ayrim funksiyalarning Makloren qatorlari .
  

1. 
   Tеylor va Maklorеn qatorlari. Ma’lumki berilgan ushbu
   

(1)
darajali qatorning yig‘indisi (x₀–R, x₀+R) yaqinlashish oralig‘ida ixtiyoriy marta differensiallanuvchi biror S(x) funksiyani aniqlaydi. Endi bu masalani teskarisini, ya’ni yig‘indisi berilgan f(x) funksiyaga teng bo‘lgan (1) darajali qatorni topish masalasini qaraymiz. Albatta bunda f(x) funksiya biror x=x₀ nuqta va uning qandaydir atrofida ixtiyoriy marta differensiallanuvchi deb hisoblanadi. Bu muammo juda ko‘p nazariy va amaliy masalalarni yechishda paydo bo‘ladi va ularning ayrimlarini keyinchalik ko‘rib o‘tamiz. Buning uchun x=x₀ nuqtaning biror atrofida
(2)
tenglik o‘rinli deb faraz qilamiz. Bu tenglikdagi a_n (n=0,1,2,∙∙∙) koeffitsiyentlarni topamiz. Dastlab (2) darajali qatorda x=x₀ deb a₀=f(x₀)= f⁽⁰⁾(x₀) ekanligini ko‘ramiz. Endi (2) darajali qatorni hadlab differensiallab,

tenglikka ega bo‘lamiz va undan a₁=f ′(x₀)= f ⁽¹⁾(x₀) natijani olamiz. Oxirgi darajali qatorni yana bir marta differensiallab,

darajali qatorni hosil etamiz va unda x=x₀ deb a₂=f′′(x₀)/(2∙1)= f⁽²⁾(x₀)/2! ekanligini ko‘ramiz. Bu jarayonni davom ettirib, (2) darajali qator koeffitsiyentlari uchun
(3)
formulani hosil qilamiz.
(3) formula orqali topiladigan a_n koeffitsiyentlardan foydalanib, ushbu darajali qatorni hosil etamiz:
. (3)
1-TA’RIF: (3) darajali qator f(x) funksiya uchun Teylor qatori deb ataladi.
Shuni ta’kidlab o‘tish kerakki, (3) qatorga o‘xshash qatorlar dastlab 1694 yilda shveytsariyalik buyuk matematik I. Bernulli tomonidan qaralgan, ammo (3) ko‘rinishda ingliz matematigi B.Teylor (1685–1731 y.) tomonidan 1812 yilda chop etilgan.
Berilgan f(x) bo‘yicha hosil qilingan (3) Teylor qatorini qarayotganimizda quyidagi uch hol bo‘lishi mumkin:

• 
  (3) darajali qator x=x₀ nuqtadan boshqa barcha nuqtalarda uzoqlashuvchi ;
  
• 
  (3) qator yaqinlashuvchi, ammo uning yig‘indisi berilgan f(x) funksiyadan farqli boshqa bir funksiyadan iborat. Bunga misol sifatida
  

(4)
funksiyani qaraymiz. Bu funksiya ixtiyoriy marta differensiallanuvchi va uning barcha hosilalari x₀=0 nuqtada f ⁽ⁿ⁾(0)=0 (n=0,1,2,∙∙∙) shartni qanoatlantirishini ko‘rsatish mumkin. Shu sababli (4) funksiyaning Teylor qatori ko‘rinishda bo‘lib, uning yig‘indisi S(x)=0≠f(x) funksiyadan iboratdir;

• 
  (3) qator yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi berilgan f(x) funksiyaga teng .
  

Biz uchun oxirgi hol bo‘lishi maqsadga muvofiq va buning uchun f(x) funksiya qanday shartni qanoatlantirishi kerakligini aniqlaymiz. Bu maqsadda f(x) funksiya va uning (3) Teylor qatori bo‘yicha hosil qilingan ushbu funksiyani qaraymiz:
. (5)
2-TA’RIF: (5) funksiya f(x) funksiya Teylor qatorining n-qoldiq hadi deyiladi.
(3) va (5) tengliklardan bevosita quyidagi teorema kelib chiqadi:
1-TEOREMA: Berilgan f(x) funksiyaning (3) Teylor qatori x=x₀ nuqtaning biror atrofida yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi f(x) funksiyaga teng bo‘lishi uchun uning (5) qoldiq hadi shu atrofdagi barcha x nuqtalarda
(6)
shartni qanoatlantirishi zarur va yetarlidir.
Shunday qilib, (6) shart bajarilganda

yoki , qisqacha qilib yozganda,
(7)
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Agar f(x) funksiya (1) ko‘rinishdagi biror darajali qatorga yoyilsa, bu qator albatta (7) Teylor qatoridan iborat bo‘lishi tushunarlidir. Bundan f(x) funksiya darajali qatorga yoyilsa, bu qator yagona ravishda aniqlanishi kelib chiqadi.
(6) shartni bevosita tekshirish qiyin va shu sababli Teylor qatorining (5) qoldiq hadini
(8)
ko‘rinishda yozish mumkinligidan foydalanamiz (bu tasdiqni isbotsiz qabul etamiz).
3-TA’RIF: (8) tenglik f(x) funksiya uchun Teylor qatorining Lagranj ko‘rinishidagi n-qoldiq hadi deyiladi.
Teylor qatorining Lagrang ko‘rinishidagi (8) qoldiq hadidan foydalanib, (6) shart bajarilishi uchun yetarli shartni topamiz.
2-TEOREMA: Agar f(x) funksiya va uning hosilalari biror [x₀–α, x₀+α] kesmada yuqoridan bir xil son bilan chegaralangan, ya’ni biror musbat M soni uchun
(9)
tengsizliklar o‘rinli bo‘lsa, unda (6) shart bajariladi .
Isbot: (9) shart bajarilganda, (8) formulaga asosan, (5) qoldiq hadni quyidagicha baholash mumkin:
.
Bu yerdan (6) shart bajarilishi uchun
(10)
ekanligini ko‘rsatish kifoya. Agar 0≤α≤1 bo‘lsa, (10) tenglik bajarilishi ravshan va shu sababli α>1 holni qarash yetarli. Bu holda u_n= αⁿ/n! deb belgilasak, unda

tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bu yerdan biror N soni uchun n>N bo‘lganda u_n+1< u_n , ya’ni u_n monoton kamayuvchi ketma-ketlik ekanligini ko‘ramiz. Bundan tashqari u_n >0 , ya’ni bu ketma-ketlik quyidan chegaralangan. Shu sababli monoton ketma-ketlik limiti haqidagi teoremaga asosan limit mavjud . Bu holda
.
Demak, haqiqatan ham (10) tenglik o‘rinli va shu sababli (6) shart bajariladi.
Odatda Teylor qatorida x₀=0 bo‘lgan hol, ya’ni
(11)
darajali qator keng qo‘llaniladi.
4-TA’RIF: (11) darajali qator f(x) funksiyaning Makloren qatori deb ataladi.
Makloren qatori uchun qoldir hadning Lagranj ko‘rinishi quyidagicha bo‘ladi:
.

2.