Xi bob. Qatorlar nazariyasi elementlari

Ayrim funksiyalarning Makloren qatorlari . Dastlab bir nechta f(x) elementar funksiyalar uchun Makloren qatorlarini yozib, ularning yaqinlashish sohasini va berilgan f(x) funksiyaga yaqinlashuvini tekshiramiz.

• 
  f(x)=sinx. Bu funksiya uchun ixtiyoriy tartibli hosila mavjud va ularni birin-ketin topamiz:
  

,
.
Bu yerdan quyidagi tengliklarga ega bo‘lamiz:

.
f(x)=sinx funksiya Makloren qatorining qoldiq hadini baholash uchun uning hosilalarini, keltirish formulalariga asosan,

ko‘rinishda yozish mumkinligidan foydalanamiz. Bu yerdan ixtiyoriy x uchun |f⁽ⁿ⁾(x) |≤1 ekanligi kelib chiqadi. Demak, 2-teoremaga asosan, f(x)=sinx funksiyaning Makloren qatori (–∞, ∞) oraliqda yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi shu funksiyaning o‘ziga teng, ya’ni
. (12)

• 
  f(x)=cosx. Bu funksiya uchun ham ixtiyoriy tartibli hosila mavjud va ular
  

,

tengliklar bilan aniqlanadi. Bu yerdan quyidagi tengliklarga ega bo‘lamiz:

.
f(x)=cosx funksiya uchun ham uning hosilalarini

ko‘rinishda yozish mumkinligidan foydalanib, ixtiyoriy x uchun |f⁽ⁿ⁾(x) |≤1 ekanligini ko‘ramiz. Demak, 2-teoremaga asosan, f(x)=cosx funksiyaning Makloren qatori (–∞, ∞) oraliqda yaqinlashuvchi va
(13)
tenglik o‘rinlidir.

• 
  f(x)=e^x . Bu funksiyaning ixtiyoriy tartibli hosilasi mavjud va f ⁽ⁿ⁾(x)=e^x va f ⁽ⁿ⁾(0)=1 (n=0,1,2,∙∙∙) bo‘ladi. Bundan tashqari, ixtiyoriy A musbat soni uchun [–A, A] kesmada f ⁽ⁿ⁾(x)<e^A (n=0,1,2,∙∙∙), ya’ni (9) shart bajariladi. Bulardan, f(x)=e^x funksiyaning Makloren qatori (–∞, ∞) oraliqda yaqinlashuvchi va
  

(14)
ko‘rinishda bo‘lishi kelib chiqadi.

• 
  f(x)=shx. Giperbolik sinus deb ataladigan bu funksiyaning Makloren qatorini topish uchun dastlab (14) qatorda x o‘zgaruvchini –x bilan almashtiramiz:
  

. (15)
(14) va (15) Makloren qatorlarni hadma-had ayirish orqali (–∞, ∞) oraliqda o‘rinli bo‘lgan
(16)
natijani olamiz.

• 
  f(x)=chx. Giperbolik kosinus deb ataladigan bu funksiyaning Makloren qatorini topish uchun (14) va (15) qatorlarni hadlab qo‘shamiz:
  

. (17)
Bu qatorning ham yaqinlashish oralig‘i (–∞, ∞) bo‘ladi.

• 
  f(x)=(1+x)^α . Bunda α- ixtiyoriy o‘zgarmas sonni ifodalaydi. Bu funksiyaning hosilalarini topamiz:
  

,
.
Berilgan f(x)=(1+x)^α funksiyaning Makloren qatori (–1,1) oraliqda yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi funksiyani o‘ziga teng bo‘lishini ko‘rsatish mumkin, ya’ni

(18)
munosabat o‘rinli bo‘ladi. Bu darajali qator binomial qator deb ataladi.
Izoh: Agar (15) qatorda α=n=1,2,3, ∙∙∙ , ya’ni natural songa teng bo‘lsa, unda m>n holda f^(m)(x)=0 bo‘ladi. Natijada (15) qator chekli yig‘indiga aylanib, undan

ya’ni Nyuton binomi (I bob, §3, (5) ga qarang) kelib chiqadi.
Binomial qatorning kelgusida qo‘llaniladigan ikkita xususiy holini qaraymiz:
; (19)

. (20)
(20) Makloren qatorida (2k–1)!! belgi 2k–1 va ungacha bo‘lgan toq sonlar, (2k)!! esa 2k va ungacha bo‘lgan juft sonlar ko‘paytmasini ifodalaydi .

•