Egri chiziqli integralni mavjudligi. Biz ikkinchi tur integralni mavjud bo‘lishligining ba’zi yetarli shartlarini ko‘rib chiqamiz.
Egri chiziqli integralni mavjudligi. Biz ikkinchi tur integralni mavjud bo‘lishligining ba’zi yetarli shartlarini ko‘rib chiqamiz.
Aytaylik, to‘g‘rilanuvchi AB egri chiziq tenglamalar bilan berilgan bo‘lib, va funksiyalar oraliqda uzluksiz, funksiya shu oraliqda uzluksiz hosilaga ega va parametrning qiymatiga A nuqta, qiymatida B nuqta mos kelsin (3-rasm).
funksiya uchun integral yig‘indini tuzamiz:
yig‘indini t o‘zgaruvchi orqali ifodalaymiz.
Ikkinchi tur egri chiziqli integral.
Fazoda aniq yo'nalishli silliq (gladkoy) AB egri chiziq berilgan bo'lib, unda P(x,y,z), Q (x,y,z) va R (x,y,z) funksiyalar aniqlangan bo'lsin odatdagicha bu egri chiziqni A=Ao, A1,..., An-1, An=B nuqtalar bilan Ai Ai+1 yoylarga ajratib har bir Ai Ai+1 yoychada ixtiyoriy M( ,7. ,Ct ) nuqta olib quyidagicha yig'indi tuzamiz.
z B
AAi Mi Ai+1 0 y
x
n—1
X [(£, 7 , C ) Ax, + Q(^i, 7, C ) Ay, + ,7 ,C, ) Az ] (2)
1=0
Axt, Ayt va Azt lar Ai Ai+1 yoyning mos ravishda ox,oy, va oz o'qlariga
bo'lgan proeksiyasi max{Axi} =^1,max{Ayi} =^2, max{Azi} =^3, deylik
Ta'rif: Agar AB egri chiziqda aniqlangan f(x,y) funksiya uchun tuzilgan (1) yig'indi %—da AB egri chiziqni Ai, Ai+i yoylarga bo'lish usuliga va har bir Ai, Ai+i yoychada Mi (^-p i) nuqtani tanlab olish usuliga bog'liq bo'lmagan limitga ega bo'lsa, bu limitga f(x,y) funksiyadan AB egri chiziq bo'yicha olingan
Ta'rif: Agar AB egri chiziqda aniqlangan f(x,y) funksiya uchun tuzilgan (1) yig'indi %—da AB egri chiziqni Ai, Ai+i yoylarga bo'lish usuliga va har bir Ai, Ai+i yoychada Mi (^-p i) nuqtani tanlab olish usuliga bog'liq bo'lmagan limitga ega bo'lsa, bu limitga f(x,y) funksiyadan AB egri chiziq bo'yicha olingan
birinchi tip egri chiziqli integral deyiladi va J f (x, y)ds deb belgilanadi. Demak.
(AB)
n—1
lim ° = lm Z f (£, )Asi = Jf (x, y)ds
%—0 %—0 J
i=0 (AB)
Birinchi tur egri chiziqli integralning asosiy xossalari: