3. Aylana tashqarisidagi bir nuqtadan unga o’tkazilgan ikki kesuvchi orasidagi burchak. 3- teorema. Aylananing tashqarisidagi bir nuqtadan unga o'tkazilgan ikki kesuvchi orasidagi burchak kesuvchilar orasidagi yoylar va ) ayirmasining yarmiga teng.
Isbot. - aylana tashqarisidagi nuqta, va kesuvchilar bo'1sin. bo'lishini isbotlaymiz. Buning uchun va nuqtalarni birlashtiramiz (5-rasm).
ga tashqi burchak bo'ladi. Demak, , bundan . Ammo va . Bularni o'z o'rinlariga qo'ysak:
Demak, . Teorema isbotlandi.
4. Aylana tashqarisidagi bir nuqtadan unga o’tkazilgan ikki urinmaning xossasi. 4- teorema. Aylana tashqarisidagi bir nuqtadan unga ikkita urinma o'tkazilsa, ularning o'sha nuqtadan urinish nuqtalarigacha bo'Igan kesmalari teng va aylananing markazi ular orasidagi burchak bissektrisasida yotadi, bu burchak bilan urinmalar tiralgan yoy ayirmasiga teng.
Isbot. va to'gri chiziqlar aylanaga va nuqtalardan o'tuvchi urinmalar, esa burchak bissektrisasi bo'lsin. va markazning da yotishi hamda ekanini ko'rsatamiz (6- rasm).
va radiuslar o'tkazilsa, va bo'lgani uchun: va to'g'ri burchakli. , chunki gipotenuza umumiy, . Uchburchaklarning tengligidan: . Endi va va bo'lgani uchun markaz doimo bissektrisada yotadi. Aylana tashqarisidagi bir nuqtadan o'tkazilgan ikki kesuvchi orasidagi burchakni o'lchash haqidagi teoremaga asosan:
Demak, bo'ladi. Teorema isbotlandi.
3-masala. Aylananing va nuqtalari uni nisbatdagi yoylarga bo'ladi. va nuqtalardan urinmalar o'tkazilib, bir-biri bilan kesishguncha davom ettirilgan. Hosil bo'lgan uchburchakning burchaklarini toping.
Yechish. 1) , urinish nuqtalariga urinmalar o'tkazishdan hosil bo'lgan uchburchak bo'lsin (7-rasm). va burchaklarni topamiz:
